Résumé de ma thèse


Feuilletages et résidu non commutatif longitudinal


Le résidu de Wodzicki d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété compacte de dimension n a été introduit en 1985 par Mariusz Wodzicki [8], après des travaux d'Adler, Guillemin et Manin. Un théorème démontré en 1988 par Connes [5] permet d'établir l'égalité (à un coefficient multiplicatif près) entre la trace de Dixmier d'un opérateur pseudo-différentiel d'ordre -n et le résidu non commutatif de cet opérateur. Le résidu non commutatif apparaît de plus en plus comme étant l'un des outils fondamentaux de la géométrie non commutative développée par Connes [5,6]. Il est par exemple l'outil principal utilisé par Connes et Moscovici [6,7] pour démontrer la formule de l'indice locale.

Le but de ma thèse est de généraliser les notions précédentes au cas des opérateurs pseudo-diférentiels longitudinaux sur une variété feuilletée compacte munie d'une mesure transverse invariante. Cela me conduit à développer certains outils de géométrie non commutative dans un cadre de type II (au sens de Murray - Von Neumann). En particulier, j'étudie les puissances complexes d'opérateurs différentiels elliptiques, je définis des C*-modules de Sobolev, et je démontre qu'un opérateur longitudinal de type " Dirac " permet de construire un triplet spectral de " type II " avec un spectre de dimension simple (au sens de Connes et Moscovici [6]). Grâce au travail de R. Prinzis, qui a défini la trace de Dixmier pour les algèbres de Von-Neumann de type II, M. Benameur et T. Fack [2] retrouvent un analogue feuilleté du théorème de Connes. Les propriétés de trace sur l'algèbre des opérateurs pseudo-différentiels d'ordre entier sont également reliées à des travaux récents sur les propriétés homologiques et cohomologiques des feuilletages mesurés (Benameur, Fack , Nistor) [1,3]. Il pourrait également donner une approche intéressante pour le calcul d'invariants géométriques et topologiques liés aux feuilletages (hautes signatures, invariants eta, Š ). Enfin mon travail est complémentaire de celui de R. Ponge [9] sur le résidu non-commutatif dans le sens transverse.

Je donne à présent un aperçu plus détaillé de ma thèse. Les deux premiers chapitres et la première partie du troisième sont essentiellement des chapitres de rappels. La fin du chapitre trois et les chapitres quatre et cinq présentent les résultats originaux de mon travail.

  • Le premier chapitre est consacré au rappel des notions géométriques et analytiques concernant les feuilletages : groupoïde d'holonomie, mesures longitudinales et transverses, C*-algèbre du feuilletage, trace définie par une mesure transverse invariante sur le feuilletage.

  • Le second chapitre revient brièvement sur quelques notions de base du calcul pseudo-différentiel classique, avant de s'intéresser à la définition du résidu de Wodzicki. On rappelle [11] cinq propriétés importantes qui caractérisent le résidu de Wodzicki d'un opérateur pseudo-différentiel P sur une variété compacte et sans bord de dimension n.
    1. C'est un objet local : il est donné par l'intégration d'une densité sur la variété ne dépendant que du symbole d'ordre -n.
    2. Il est donné par le coefficient logarithmique de l'expansion asymptotique du noyau de Schwartz de l'opérateur P au voisinage de la diagonale.
    3. C'est un objet globalement défini : il est donné par le résidu de la fonction méromorphe sur C définie par Tr(P(z)), où P(z) est une fonction holomorphe d'opérateurs pseudo-différentiels vérifiant P(0)=P et ord(P(z))=ord(P)-z.
    4. Il s'exprime également en termes des coefficients du développement asymptotique du noyau de l'opérateur de la chaleur exp(tP) associé à P lorsque t tend vers 0.
    5. Enfin, il définit une trace résiduelle sur l'algèbre des opérateurs d'ordre entier ; si la variété considérée est connexe et de dimension supérieure ou égale à deux, c'est l'unique trace (à constante multiplicative près) sur l'algèbre des opérateurs d'ordre entier.
    On conclut ce chapitre par une présentation de la théorie des puissances complexes d'un opérateur différentiel elliptique. Cette théorie fournit un exemple fondamental d'une famille holomorphe d'opérateurs.

  • Dans le chapitre 3 on étudie, en reprenant les travaux de Connes [4,5], les opérateurs pseudo-différentiels longitudinaux à support compact le long des feuilles d'un feuilletage. Ils peuvent être vus de manière globale comme des opérateurs pseudo-différentiels sur le groupoïde équivariants sous l'action du groupoïde. D'autre part, un tel opérateur est dans un ouvert trivialisant de la forme L×T famille de classe Ck d'opérateurs dans les plaques L×{t}. On utilise alors la théorie des C*-modules hilbertiens sur la C*-algèbre du feuilletage pour étudier les opérateurs pseudo-différentiels longitudinaux à support compact. Dans ce cadre, les opérateurs d'ordre strictement négatifs sont naturellement des éléments de la C*-algèbre, tandis que les opérateurs d'ordre nul sont des multiplicateurs de la C*-algèbre. Nous démontrons que les opérateurs elliptiques d'ordre strictement positif peuvent eux être décrits comme des opérateurs non bornés réguliers (au sens de S. Baaj) sur un C*-module hilbertien. Ceci permet, par exemple, de retrouver de manière très simple le fait qu'un opérateur longitudinal elliptique formellement auto-adjoint agissant sur les fonctions de carré intégrables du recouvrement d'holonomie d'une feuille est essentiellement auto-adjoint.

  • Dans le chapitre 4, nous étudions un analogue non commutatif des espaces de Sobolev : les modules de Sobolev longitudinaux, qui sont définis comme des C*-modules sur la C*-algèbre du feuilletage. L'intersection de ces espaces définit la classe des opérateurs régularisants sur le feuilletage (à support non compact), et permet ainsi de définir les opérateurs pseudo-différentiels longitudinaux à support non compact et d'étudier l'algèbre formée par ces opérateurs. Nous décrivons également dans ce cadre, et en utilisant les propriétés des opérateurs réguliers, les puissances complexes d'un opérateur différentiel elliptique positif A. Nous montrons que l'opérateur As obtenu par calcul fonctionnel dans un C*-module ne diffère d'un opérateur pseudo-différentiel longitudinal à support compact que par un opérateur régularisant à support non compact.

  • Dans le dernier chapitre enfin on généralise au cas d'une famille de classe Ck d'opérateurs les points de vue exposés jusque là pour définir le résidu de Wodzicki d'un opérateur pseudo-différentiel longitudinal, et on étudie dans le cadre feuilleté les propriétés correspondant aux cinq caractérisations classiques du résidu de Wodzicki évoquées plus haut. Les quatre premières caractérisations du résidu se transposent dans le cadre feuilleté. Cependant la situation est plus riche en ce qui concerne l'existence de traces sur l'algèbre des symboles totaux. En particulier, on démontre dans le cas des symboles transversalement lisses que la donnée d'une telle trace est équivalente à la donnée d'un courant fermé feuilleté ou d'une distribution transverse invariante par holonomie. On fait ensuite le lien avec la trace de Dixmier associée à une mesure transverse sur le feuilletage, et on termine en proposant une définition d'un triplet spectral de Von Neumann, susceptible d'amener au développement d'une formulation locale de l'indice " à la Connes-Moscovici " dans le cadre Von Neumann.



    Bibliographie succincte


    1. M. Benameur Foliated Group Actions and Cyclic Cohomology, Preprint 2001.

    2. M. Benameur & T. Fack On Von Neumann Spectral Triples, Preprint 2001.

    3. M. Benameur & V. Nistor Homology of complete symbols and Non-Commutative Geometry, Preprint 2001.

    4. A.Connes Sur la théorie non commutative de l'intégration in Algèbres d'opérateurs (Sém., Les Plans-sur-Bex,1978), pages 19-143. Springer, Berlin, 1981.

    5. A. Connes Noncommutative Geometry Academic Press Inc, San Diego, CA, 1994.

    6. A. Connes & H. Moscovici The local index formula in noncommutative geometry, in Geom. Funct. Anal. 5 (2) p 172-243, 1995.

    7. A. Connes & G. Skandalis The longitudinal index theorem for foliations, in Publ. Res. Inst. Math. Sci., 20 (6) p. 1139-1183, 1984.

    8. C. Kassel Le résidu Non Commutatif Exposé du séminaire Bourbaki n° 708, 1989.

    9. R. Melrose & V. Nistor Homology of pseudodifferential operators I Manifolds with boundary, Preprint, 1996.

    10. R. Ponge Calcul hypoelliptique sur les variétés de Heisenberg, résidu non commutatif et géomètrie pseudo-hermitienne, Thèse de doctorat, 2000.

    11. E. Schrohe Noncommutative residues, Dixmier's trace, and heat trace expansions on manifolds with boundary, in Geometric aspects of partial differential equations p 161-186, AMS, Providence, RI, 1999.