Court résumé de ma thèse


Feuilletages et résidu non commutatif longitudinal


Le but de cette thèse est de généraliser le résidu non commutatif, introduit en 1985 par Wodzicki au cas des opérateurs pseudo-diférentiels longitudinaux sur une variété feuilletée compacte munie d'une mesure transverse invariante. Nous étudions dans le cadre feuilleté l'équivalent des cinq caractérisations classiques du résidu d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété compacte et sans bord de dimension n :

  1. C'est un objet local : il est donné par l'intégration d'une densité sur la variété ne dépendant que du symbole d'ordre -n.
  2. Il est donné par le coefficient logarithmique de l'expansion asymptotique du noyau de Schwartz de l'opérateur P au voisinage de la diagonale.
  3. C'est un objet globalement défini : il est donné par le résidu de la fonction méromorphe sur C définie par Tr(P(z)), où P(z) est une fonction holomorphe d'opérateurs pseudo-différentiels vérifiant P(0)=P et ord(P(z))=ord(P)-z.
  4. Il s'exprime également en termes des coefficients du développement asymptotique du noyau de l'opérateur de la chaleur exp(tP) associé à P lorsque t tend vers 0.
  5. Enfin, il définit une trace résiduelle sur l'algèbre des opérateurs d'ordre entier ; si la variété considérée est connexe et de dimension supérieure ou égale à deux, c'est l'unique trace (à constante multiplicative près) sur l'algèbre des opérateurs d'ordre entier.
Nous étudions les opérateurs pseudo-différentiels longitudinaux, en nous appuyant sur la théorie des C^*-modules hilbertiens sur les C^*-algèbres du feuilletage. Cette approche nous permet de comprendre les puissances complexes d'un opérateur différentiel elliptique positif. Elle nous fournit également un cadre naturel pour exprimer l'analogue des espaces de Sobolev classiques, les modules de Sobolev longitudinaux. En utilisant la trace définie par une mesure transverse, nous définissons alors le résidu non-commutatif longitudinal, et nous montrons que les propriétés du résidu restent vérifiées, hormis l'unicité dans la dernière.