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Dans ce texte on introduit une notion de hauteur pour les sous-schémas d'une variété arithmétique. Dans le cas particulier d'un sous-schéma de dimension (générique) nulle de l'espace projectif, on donne pour ces hauteurs une estimation qui prend la forme d'une formule de Hilbert-Samuel arithmétique, généralisant ainsi des résultats de M. Laurent sur les hauteurs de matrices d'interpolation. Les trois premiers termes du développement asymptotique ainsi obtenu peuvent s'analyser comme suit : le premier est linéaire, de coefficient donné par la hauteur du cycle associé au sous-schéma considéré ; le second est logarithmique et s'exprime en fonction des longueurs des jets du sous-schéma à l'infini ; enfin le troisième est une constante rendant compte de la ramification du sous-schéma et de la hauteur de son cône tangent. L'article s'achève par une étude du terme d'erreur de cette formule lorsque le sous-schéma est réduit : on montre que celui-ci se décompose en somme de contributions locales qui décroissent en valeur absolue. Ceci admet une interprétation agréable en termes de géométrie hermitienne et de cohomologie. |