Groupes et algebres de Lie - 2024

References :

1) J. Faraut ; Analyse sur les groupes de Lie: Une introduction. Edition Calvage et Mounet 2018.

2) Un polycopié.

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cours 15/01 :
1) Définition de groupes topologiques et propriétés générales.
2) Exemples de sous groupes de GL(n,R).

cours 23/01 :
1) Décomposition polaire de GL(n,R).
2) Décomposition de Gram pour GL(n,R).
3) Définition et quelques propriétés des espaces homogènes.
4) Action de SO(n) sur la sphère. Corollaire : SO(n) est connexe.

cours 30/01 :
1) Définition de l'application exponentielle.
2) Propriétés de l'application exponentielle. Quelques calculs d'exponentielles.
3) det(exp (X))=exp(tr(X)).
4) L'application exponentielle de Sym(n,R) sur P(n,R) (les matrices symétriques positives définies) est un homéomorphisme.
5) L'application exponentielle est un diffeomorphisme local à l'origine.

cours 06/02 :
1) Calcul de la dérivée de l'application exponentielle en un point de M(n,R).
2) Logarithme d'une matrice.
3) Formules pour log(exp(tX)exp(tY)) et log(exp(tX)exp(tY)exp(-tX)exp(-tY)) à l'ordre 2.
4) Le groupe de Heisenberg.
5) Groupes linéaires (i.e. sous-groupes fermés de GL(n,R)).
6) Groupes à un paramètre.
7) Algèbre de Lie d'un groupe de Lie linéaire.
8) Définition d'algèbre de Lie abstraite.

cours 13/02:
1) Algèbre de Lie d'un groupe de Lie linéaire et exemples classiques d'algèbres de Lie.
2) L'application adjointe.
3) Exp(ad_X)=Ad_exp(X).
4) Un sous-groupe de Lie linéaire est une sous-variétée plongé.

cours 27/02:
1) Un sous-groupe de Lie linéaire est une sous-variétée plongé. Fin de la démonstration.
2) Formule intégrale pour log(exp(X)exp(Y))
3) Endomorphismes, automorphismes et dérivations d'une algèbre de Lie.
4) Der(g)=Lie(Aut(g)).

cours 06/03 :
1) Idéal d'une algèbre de Lie et sous-groupes distingués.
2) Relation entre morphismes des groupes et les morphismes de leur algèbres. En particulier, si G et H sont connexes et df:Lie(G)-->Lie(H) est un isomorphisme alors f:G-->H est un revetement.
3) Représentations d'un groupe et d'une algèbre.
4) SU(2)-->SO(3) (représentation adjointe) est un revetement de degré deux.
5) Algèbres résolubles et nilpotentes. Exemples.

cours 12/03 :
1) Définitions d'algèbres simples et semi-simples. Exemple : sl(2,C) est simple.
2) Les représentations irréductibles de Lie(SL(2,C)).

cours 19/03 :
1) Les représentations irréductibles de SU(2).
2) Énoncé du théorème d'Engel.
3) Les représentations nilpotentes sont triangulaires supérieures strictes dans une base appropriée.

cours 26/03 :
1) Preuve du théorème d'Engel.
2) Énoncé du théorème de Lie pour les algèbres résolubles.
4) Définition de la forme de Killing.
5) Exemple : forme de Killing de gl(n,K).
6) La décomposition de Jordan T=T_s+T_n correspond la décomposition de Jordan ad(T)=ad(T_s) + ad(T_n).
7) Énoncé du critère de Cartan pour la résolubilitée : si la forme de Killing d'une algèbre de Lie est nulle alors elle est résoluble (admis).
8) Énoncé : Une algèbre de Lie est semi-simple si et seulement son radical est trivial et si et seulement si sa forme de KIlling est non-dégénérée (critère de Cartan pour la semi-simplicitée).

cours 02/04 :
1)déemonstration du critère de Cartan pour la semi-simplicitée
2) Décomposition d'une algèbre semi-simple en idéaux simples.
3) Complexification d'une algèbre de Lie.
4) Une algèbre de Lie est résoluble si et seulmement si sa complexifiée est résoluble.
5) classification des algèbre de Lie semi-simples complexes.

cours 23/04 :
1) Algèbres de Lie réductives. g est réductive ssi g est la somme directe d'un idéal semi-simple et du centre de l'algèbre.
2) Une algébre de Lie de matrices invariante par l'adjointe (transposée conjuguée) est réductive. Exemples classiques.
3) Mesure de Haar (hors examen).
4) Fonction modulaire. Groupes compacts sont unimodulaires (hors examen).
5) Décomposition en représentations irréductibles d'une représentation d'un groupe compact (hors examen).

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