Analyse pour le CAPES (ACAP)

• ACAP : Analyse pour le CAPES (Licence C)
  Programme : intégrale de Riemann, intégrales impropres, suites et séries de fonctions, séries de Fourier.
  Cours : Le mardi de 14h à 16h
  Travaux dirigés : Le mardi de 16h15 à 17h15 et le mercredi de 10h à 12h.
  

Documents disponibles

• Rédaction du cours (version du 10 novembre 2003, format PDF)
• Énoncé du devoir à la maison
• Énoncé du partiel du 12 novembre
  
• liste des étudiants

Compte rendu des séances

• 23 septembre.
  Fonctions en escalier, leur intégrale. Fonctions réglées. Rappels sur la continuité uniforme.
  Donné en exercice : dimension et base de l'espace des fonctions en escalier adaptées à une subdivision donnée.
• 30 septembre.
  Rappels d'analyse (suites, limites; toute suite croissante majorée converge; suites adjacentes; théorème d'encadrement; sous-suites; d'une suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente) Fonctions réglées. Définition. Une fonction continue est réglée. Exemples : Fonctions continues par morceaux. Somme, produit de fonctions réglées sont des fonctions réglées.
  Travaux dirigés : Correction de l'exercice sur les fonctions en escalier Début de l'exercice 4.
• 1er octobre.
  Travaux dirigés : Correction de l'exercice 4. Interrogation: 1) définir une fonction en escalier 2) \int_0^\pi x\sin(x)\, dx
• 7 octobre.
  Fonctions intégrables. Intégrale d'une fonction intégrable.
  Travaux dirigés : Début de l'exercice 1 (Cesàro)
• 8 octobre.
  Travaux dirigés : Fin de l'exercice 1. Début de l'exercice 9 (questions a, b, c) Pour le 14: exercice 8 (Wallis)
• 14 octobre.
  Propriétés de l'intégrale. Les sommes de Riemann d'une fonction intégrable convergent vers l'intégrale lorsque le pas tend vers 0.
  Travaux dirigés : Correction de l'exercice 8.
• 15 octobre.
  Travaux dirigés : Fin de l'exercice sur Wallis Fin de l'exercice 9. Exercice 10 (fin un peu allusive).
• 21 octobre.
  Lien entre calcul différentiel et intégral. Changement de variables, intégration par parties.
• 22 octobre.
  Interrogation
• 3 novembre.
  Intégrales impropres
• 4 novembre.
  Suites de fonctions, convergence simple, convergence uniforme (la norme d'une fonction est définie). Passage à la limite dans une intégrale : - intégrale usuelle, avec convergence uniforme - intégrale impropre : énoncé du th. de convergence dominée et démonstration dans le cas de convergence uniforme.
• 5 novembre.
  Correction du devoir à la maison
• 12 novembre.
  Correction du dernier exercice (primitives de 1/(1-2a\cos(x)+a^2)).
  Suites de fonctions: convergence uniforme et continuité, dérivabilité Séries de fonctions. Convergence normale.

Antoine Chambert-Loir