J'écris
un livre proposant une étude systématique, et aussi auto-suffisante
que possible, des courbes analytiques au sens de Berkovich. Il est
loin d'être terminé, mais j'ai choisi d'en mettre d'ores et déjà
une version
préliminaire en
ligne (elle date du 12/02/2014). Je précise que je n'ai pas encore
mis de références, mais que cette lacune sera évidemment réparée ;
et que je m'en tiens pour le moment à une rédaction purement
mathématique un peu sèche, qui sera ensuite complétée par de
nombreux paragraphes d'explication, de résumé de certaines preuves
un peu longues, d'exemples dans des cas particuliers significatifs et
plus simples que le cas général démontré (e.g. celui d'une courbe
projective, d'une courbe lisse, d'un corps de base algébriquement
clos...).
Voici une très brève esquisse
de ce qu'on peut trouver dans la version actuelle du manuscrit.
- Un
long chapitre de topologie consacré aux graphes réels (au sens de
Berkovich) et à l'action des groupes profinis sur ceux-ci.
- Des
rappels d'algèbre commutative et de géométrie algébrique, avec
une insistance particulière sur l'algèbre commutative graduée.
Celle-ci est très utile pour
l'étude locale des espaces de Berkovich (théorie de Temkin) ;
elle permet également de donner une présentation agréable de la
théorie des corps valués henséliens, et notamment de leurs
extensions modérément ramifiées, que je
reformule dans ce langage (en donnant les preuves) en raison du rôle
crucial qu'elle joue par la suite. Notons que j'utilise un langage
légèrement différent de celui de Temkin : je ne considère pas des anneaux gradués
au sens classique mais ce que j'appelle des «annéloïdes» -- un annéloïde est simplement une
union disjointe , et non une somme directe, de composantes homogènes. J'ai fait ce choix
parce qu'il permet d'éviter d'employer à tout bout de champ les adjectifs «gradué» ou «homogène»
dans les preuves, et parce qu'il n'a aucune incidence pratique : l'expérience montre que
lorsqu'on utilise le formalisme de Temkin,
on n'additionne jamais deux
éléments qui ne sont pas homogènes de même degré.
- Quelques
rappels généraux sur les espaces de Berkovich, assortis de preuves
de certains résultats techniques (théorèmes de descente,
algébrisation des courbes analytiques et formelles propres) qui ne
se trouvent pas, à ma connaissance, dans la littérature.
- Une
étude locale des courbes de Berkovich, fondée d'une part sur la
description explicite de la droite projective et de sa structure
d'arbre réel (que je refais intégralement), qui permet de prouver
que toute courbe est un graphe réel, et d'autre part sur un
résultat de modération analytique disant essentiellement que sur
une courbe lisse sur un corps algébriquement clos, toute branche
issue d'un point de type 2 admet une section qui est une couronne –
c'est pour ce dernier résultat que j'ai besoin de la théorie des
extensions valuées modérément ramifiées.
- Une
étude globale, déduite de l'étude locale menée ci-dessus. Elle
me permet de démontrer la paracompacité des courbes
analytiques, l'existence de «triangulations», et le fait que toute
courbe analytique compacte et génériquement quasi-lisse s'immerge
dans une courbe projective. J'étudie l'existence de triangulations
minimales dans le cas des courbes compactes (et traite aussi le cas
des courbes marquées).
- La
preuve du théorème de réduction semi-stable, à partir de
l'existence de triangulations.
Sur
le plan purement mathématique, avant la partie de lissage
rédactionnel et de reader-friendlisation du
manuscrit, je prévois de rajouter l'étude de quelques phénomènes
spécifiques à la valuation discrète (par exemple, la description
des modèles de Weierstraß d'une courbe elliptique dans le langage
des espaces de Berkovich).