Cours introductif du M2 "Mathématiques fondamentales" 2020-2021

Du  lundi 7 septembre au mercredi 14 octobre, le lundi 11h-13h et le mercredi 11h-13h. Les salles sont indiquées sur le site du master ci-dessus.

L'examen aura lieu le mercredi 28 octobre de 13h30 à 16h30 en salle 15-16-101.
Annales

Présentation
    Les ińegalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique sont des outils utiles dans divers domaines de l’analyse. Elles sont souvent lieés à de la convexité (ou à de la courbure positive) et à des phénomènes en grandes dimensions. Ce cours a pour but de présenter des techniques variées permettant d’établir des inégalités fonctionnelles et géométriques.
    Nous commencerons par la géométrie des mesures log-concaves sur R^n, qui sont l’analogue fonctionnel des ensembles convexes. Nous  ́etablierons l’inégalité de de Brunn-Minkowski et  ́etudierons quelques-unes de ses cons ́equences (inégalité isopérimétrique dans l’espace euclidien, sections des corps convexes, inégalité de concentration de Borell). Nous  ́etudierons ensuite des propriétés d’intégrabilité exponentielle et comme conséquence les inégalités de types Khintchine.
    Nous passerons ensuite plus spécifiquement aux inégalités de concentration pour la mesure gaussienne usuelle sur R^n et les matrices aléatoires gaussiennes. Comme application de ce phénomène de concentration, nous  ́etablirons le théorème de Dvoretzky qui affirme qu’en grandes dimensions, les sections (aléatoires) d’un corps convexe sont sphériques (ou plutôt ellipsoidales). Nous présenterons aussi le lemme de Johnson-Lindenstrauss utilisé en analyse de données.
    Nous nous intéresserons enfin aux inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique. Dans le cas gaussien, nous introduirons la méthode du semi-groupe de la chaleur, qui nous permettra  ́egalement de s’attaquer au problème isopérimétrique gaussien. Si le temps le permet, nous regardons les versions discrètes des inégalités spectrales de type Poincaré, en lien avec la constante de Cheeger, et nous  ́etudierons les graphes aléatoires d’Erdös-Rényi et les graphes expenseurs.

N.B. : On utilsera le vocabulaire de base des probabilités, mais aucune connaissance avancée en probabiltés n'est nécessaire pour ce cours.

Notes de cours
Ci-dessous, des notes de cours qui seront actualisées et corrigées au cours de la période.

1. Inégalité de Brunn-Minkoski
2. Convexité et log-concavité
3. Norme psi_alpha et inégalités de Khintchine
4. Inégalités de concentration gaussienne et applications
5. Remarques sur les inégalités de Poincaré, de Cheeger et de Sobolev logarithimique
6. Quelques mots sur la méthode du semi-groupe
   

Notes sur Dvoretzky-Rodgers

Bibliographie

• Michel Ledoux, The Concentration of Measure Phenomenon, A.M.S., 2001
  
• Roman Vershynin, High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science, Cambridge University Press, 2019.
  
• D. Bakry, I. Gentil and M. Ledoux, Analysis and geometry of Markov diffusion operators, Springer, 2014.