Groupes et algebres de Lie - 2025

References :

1) J. Faraut ; Analyse sur les groupes de Lie: Une introduction. Edition Calvage et Mounet 2018.

2) Un polycopié sera actualisé chaque semaine.

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cours 12/01 :
1) Définition de groupes topologiques et propriétés générales.
2) Exemples de sous groupes de GL(n,R).

cours 14/01 :
1) Décomposition polaire de GL(n,R).
2) Définition et quelques propriétés des espaces homogènes.
3) Action de SO(n) sur la sphère. Corollaire : SO(n) est connexe.

cours 15/01 :
1) Décomposition de Gram pour GL(n,R).
2) Définition de l'application exponentielle.
3) Propriétés de l'application exponentielle. Quelques calculs d'exponentielles.
4) det(exp (X))=exp(tr(X)).

cours 22/01 :
1) L'application exponentielle est un diffeomorphisme local à l'origine
2) L'application exponentielle de Sym(n,R) sur P(n,R) (les matrices symétriques positives définies) est un homéomorphisme.
3) Formules pour exp(tX)exp(tY)) et exp(tX)exp(tY)exp(-tX)exp(-tY) à l'ordre 2 en t.
4) Le groupe de Heisenberg.
5) Groupes linéaires (i.e. sous-groupes fermés de GL(n,R)).
6) Groupes à un paramètre.
7) Algèbre de Lie d'un groupe de Lie linéaire.
8) Définition d'algèbre de Lie abstraite.

cours 28/01:
1) Exemples classiques d'algèbres de Lie.
2) L'application adjointe.
3) Exp(ad_X)=Ad_exp(X).
4) Un sous-groupe de Lie linéaire est une sous-variétée plongé.

cours 29/01:
1) Un sous-groupe de Lie linéaire est une sous-variétée plongé. Fin de la démonstration.
2) Homomorphismes de groupes de Lie et morphismes de leur algèbres de Lie.

cours 05/02 :
1) Relation entre morphismes des groupes et les morphismes de leur algèbres. En particulier, si G et H sont connexes et df:Lie(G)->Lie(H) est un isomorphisme alors f:G->H est un revetement.
2) SU(2)->SO(3) (représentation adjointe) est un revetement de degré deux.
3) Endomorphismes, automorphismes et dérivations d'une algèbre de Lie.
4) Der(g)=Lie(Aut(g)).
5) Idéal d'une algèbre de Lie.
6) Définition d'algèbres simples. Exemple : sl(2,R) est simple.
7) Algèbres résolubles et nilpotentes.

cours 12/02 :
1) Définition de représentation d'un groupe topologique et d'une algèbre de Lie sur un espace vectoriel.
2) Une représentation d'un groupe de Lie linéaire induit une représentation de son algèbre de Lie.
3) Énoncé et preuve du théorème d'Engel.
4) Les représentations nilpotentes sont triangulaires supérieures strictes dans une base appropriée.
5) Énoncé du théorème de Lie pour les algèbres (sur C) résolubles.
6) Les représentations des algèbres de Lie (sur C) résolubles sont triangulaires supérieures dans une base appropriée.

cours 19/02 :
1) Définition d'algèbre de Lie semi-simple.
2) Définition de rad(g) et énoncé du théorèm de Levi-Malcev : g = s+rad(g).
3) Définition de la forme de Killing.
4) Exemple : forme de Killing de gl(n,K).
5) Énoncé du critère de Cartan pour la résolubilitée : si la forme de Killing d'une algèbre de Lie est nulle alors elle est résoluble (admis).
6) Une algèbre de Lie est semi-simple si et seulement son radical est trivial et si et seulement si sa forme de KIlling est non-dégénérée (critère de Cartan pour la semi-simplicitée)
7) Décomposition d'une algèbre semi-simple en idéaux simples.

cours 25/02 :
1) Classification des algèbres de Lie de dimension plus petite ou égale à trois.

cours 26/02 :
1) Fin de la classification.
2) Ennoncé de la classification des algèbres de Lie simples sur C.
3) Les représentations irréductibles de Lie(SL(2,C)).

cours 12/03 :
1) Existence de la measure de Haar admise pour les groupes topologiques localement compactes.
2) Calcul de la mesure pour les groupes difféomorphes à des ouverts euclidiens.
3) Fonction modulaire. Groupes compacts sont unimodulaires (la mesure invariante à gauche est aussi invariante à droite).
4) Définition de représentation d'un groupe topologique.

cours 18/03 :
1) Exemples de représentations de groupes finis. La représentation regulière.
2) Représentation dual, somme directe et produit tensoriel.
3) Représentations de groupes : Existence d'un produit hermitian invariant.

cours 19/03 :
1) Lemme de Schur.
2) Unicité de la décomposition d'une représentation en représentations irréductibles.
3) Caractères.
4) Moyennes.

cours 26/03 :
1) Relations d'orthogonalité pour les coefficients des représentations irréductibles.
2) Relations d'orthogonalité pour les caractères.
3) Le nombre de représentations irréductibles (non-isomorphes) coincide avec le nombre de classes de conjugaisons.

cours 01/04 :
1) Tables de caractères.
2) Exemples: Le groupe de permutation à trois éléments, le groupe diédral.

cours 02/04 :
1) Relations d'orthogonalité pour les coefficients des représentations irréductibles d'un groupe compact.
2) Énoncé du théorème: les représentations irréductibles d'un groupe compact sont de dimension finie (admis).
3) Démonstration du théorème de Peter-Weyl.

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