Institut de
Mathématiques de
Jussieu
Université Paris 7
Page personnelle d'Isabelle Gallagher
PLANNING DU COURS DE M1, Analyse Réelle
LUNDI 15 SEPTEMBRE
Espaces métriques complets
Suite de
Cauchy, espace et sous-espace complet
Espaces
métriques compacts.
Définition
Précompacité
(début de la
démonstration de l'équivalence
compacité/complétude+précompacité)
LUNDI 22 SEPTEMBRE
Espaces
métriques compacts (suite).
Précompacité (fin
de la
démonstration de l'équivalence
compacité/complétude+précompacité)
Approximation d'un compact par une
famille de
précompacts
Exemples,
cas de la dimension finie.
Espaces
de Banach.
Définition et exemples
LUNDI 29 SEPTEMBRE
Espaces de Banach (suite).
Séries dans les espaces de Banach.
Compacité et espaces de
Banach :
théorème de Riesz ; cube de Hilbert.
LUNDI 6 OCTOBRE
Espaces de Banach (suite et fin).
Compacité et espaces de Banach :
théorème d'Ascoli.
Espaces d'applications
linéaires ;
inversibilité d'applications linéaires sur un
Banach.
LUNDI 13 OCTOBRE
Espaces L^p.
Rappels d'intégration.
Espaces L^p :
inégalité de Jensen.
LUNDI 20 OCTOBRE
Espaces L^p (suite).
Inégalités de Hölder et
Minkowski.
L^p comme espace de Banach.
Densité des
fonctions en escalier
à support compact.
LUNDI 27 OCTOBRE
Espaces L^p (suite et fin).
Densité des
fonctions continues à support compact.
Séparabilité.
L'espace L^\infty.
Définition ; Banach
; non
séparabilité.
LUNDI 3 NOVEMBRE
Convolution.
Définition pour les
fonctions continues à support compact.
Inégalité de Young.
Définition pour des
fonctions dans L^p.
Approximation de
l'identité.
Densité des fonctions
C^\infty à support compact dans L^p.
LUNDI 10 NOVEMBRE
Chapitre 3 : espaces de Hilbert.
Définition du produit
scalaire ; définition des espaces pré-hilbertiens
et
hilbertiens.
Exemples.
Orthogonal d'un sous-ensemble.
Théorème de projection sur un convexe
fermé.
LUNDI 17 NOVEMBRE
Partiel.
LUNDI 24 NOVEMBRE
Chapitre 3 : espaces de Hilbert (suite
et fin).
Supplémentaire orthogonal.
Critère de totalité.
Bases hilbertiennes ; exemples.
Théorème de
Bessel-Parseval.
Chapitre 4 :
Séries de Fourier.
LUNDI 1 DECEMBRE
Chapitre 4 :
Séries de Fourier (suite et fin).
Définitions.
Propriétés des coefficients de Fourier.
Lien entre
régularité et décroissance des
coefficients.
Chapitre
5. Transformée de Fourier.
Définitions.
Théorème de Riemann-Lebesgue.
LUNDI 8 DECEMBRE
Chapitre
5. Transformée de Fourier (suite et fin).
Propriétés principales (dérivation,
convolution...)
Inversion de
Fourier.
Exemple de
résolution d'une EDP (équation des ondes).