Introduction aux équations dispersives

Jacek Jendrej

Courriel: jendrej AT imj-prg.fr

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Présentation

L'objectif de ce cours est d'introduire des notions fondamentales de la théorie des équations aux dérivées partielles dites « dispersives ». Ces équations modélisent les ondes dispersives, c'est-à-dire les ondes dont la vitesse de propagation dépend du nombre d'onde. La dispersion est cruciale dans la description de plusieurs phénomènes physiques, voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Dispersion_(mécanique_ondulatoire).

Dans la première partie du cours, nous présentons une théorie générale des équations dispersives linéaires. Ensuite, nous nous intéresserons aux ondes dispersives non linéaires, en nous focalisant sur le cas de l'équation de Klein-Gordon.

Contenu

• Équations dispersives linéaires et leurs résolution par la transformation de Fourier. Relation de dispersion. Lemme de la phase stationnaire. Notion de vitesse de groupe d'une onde. Description asymptotique des ondes dispersives en temps grand. Estimations de dispersion.
• Équation de Klein-Gordon non linéaire. Caractère bien posé (problème de Cauchy). Description asymptotique des solutions en temps grand dans différents régimes asymptotiques. Scattering non linéaire.
• Si le temps le permet: Scattering modifié en dimension 1. Formes normales.

Prérequis

Bibliographie

• Muscalu, Camil & Schlag, Wilhelm, Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Volumes 1 and 2. Cambridge University Press, 2013.
• Sulem, Catherine et Sulem, Pierre-Louis, The Nonlinear Schrödinger Equation. Self-Focusing and Wave Collapse. Springer, 1999.
• Tao, Terrence, Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis. AMS, 2006.
• Whitham, Gerald B., Linear and Nonlnear Waves. John Wiley & Sons, 1974.

Notes de cours

Feuilles d'exercices

Les numéros correspondent aux numéros des exercices dans le poly:

Dernière modification : 6/5/2025