Introduction aux équations dispersives

Jacek Jendrej

Courriel : jendrej AT imj-prg.fr

Dates et horaires

Sorbonne Université, Campus de Jussieu, salle 15/16 1.01

Du 5 janvier au 13 février 2026

Mercredi 8h50–10h50

Jeudi 8h50–10h50 (cours) et 16h–18h (TD)

Examen

Jeudi 19 février 2026, 9h00–12h00

Salle 15/16 1.01

Notes autorisées

Appareils électroniques interdits

Présentation

L'objectif de ce cours est d'introduire des notions fondamentales de la théorie des équations aux dérivées partielles dites « dispersives ». Ces équations modélisent les ondes dispersives, c'est-à-dire les ondes dont la vitesse de propagation dépend du nombre d'onde. La dispersion est cruciale dans la description de plusieurs phénomènes physiques, voir Dispersion (mécanique ondulatoire) .

Dans la première partie du cours, nous présentons une théorie générale des équations dispersives linéaires. Ensuite, nous nous intéresserons aux ondes dispersives non linéaires, en nous focalisant sur le cas de l'équation de Klein-Gordon.

Contenu

• Équations dispersives linéaires et leur résolution par la transformation de Fourier. Relation de dispersion. Lemme de la phase stationnaire. Vitesse de groupe. Description asymptotique en temps grand. Estimations de dispersion.
• Équation de Klein-Gordon non linéaire. Caractère bien posé (problème de Cauchy). Description asymptotique des solutions en temps grand. Scattering non linéaire.
• Si le temps le permet : scattering modifié en dimension 1. Formes normales.

Prérequis

Calcul différentiel ; équations différentielles ordinaires ; transformation de Fourier ; notions de base en analyse fonctionnelle et en équations aux dérivées partielles.

Il est recommandé d'avoir suivi les cours « HFE » et « EDP » proposés dans le programme M2.

Bibliographie

• Muscalu & Schlag, Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Cambridge University Press, 2013.
• Sulem & Sulem, The Nonlinear Schrödinger Equation, Springer, 1999.
• Tao, Nonlinear Dispersive Equations, AMS, 2006.
• Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, 1974.

Notes de cours

Polycopié (mis à jour progressivement, généralement avant chaque cours)