Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une
proportion positive de chiffres préassignés en base 2.
Nous rappellerons tout d'abord une généralisation de ce résultat
à toute base g ≥ 2. Nous présenterons ensuite un résultat
plus récent pour
l'ensemble des carrés. Plus précisément, pour toute
base g ≥ 2, nous obtenons une formule asymptotique
pour le nombre de carrés avec
une proportion c > 0 (explicite) de chiffres préassignés.
Notre preuve suit principalement la stratégie développée
par Bourgain pour les nombres premiers en base 2, avec de
nouvelles difficultés pour les carrés. Elle est fondée sur la
méthode du cercle et combine des techniques d'analyse
harmonique avec les propriétés arithmétiques
des carrés et des majorations des sommes de Weyl quadratiques.