Programme

• Définitions de base, fonctions continues, voisinages, dénombrabilité.
• Espaces métriques, suites, boules, fermés, adhérence, partie dense.
• Espaces métriques complets, compacts (par les suites), produit de deux espaces métriques.
• Les espaces Rⁿ; RⁿxR^m=R^n+m; compacts de R et de Rⁿ
• Cas des espaces euclidiens.
• Espaces connexes, définition, exemples, connexité par arcs, boules de Rⁿ.
• Espaces normés, cas de Rⁿ, espaces de Banach, applications linéaires continues.

• Dérivée d'une fonction f : [a,b] ->E espace de Banach. Théorème de la moyenne. Primitive d'une application continue.
• Applications de classe C1 d'un ouvert W de Rⁿ dans R^d via les dérivées partielles. Théorème des accroissements finis.
• Applications de classe C2 (dérivées partielles secondes continues). Théorème de Schwarz
• Optimisation: Convexité dans un espace vectoriel normé, formes linéaires.
• Extréma:
• sur un ouvert de Rⁿ , conditions du premier et du second ordre, hessienne;
• sur une variété localement paramétrée, multiplicateurs de Lagrange, second ordre.

• Logarithmes complexes.
• Principe du prolongement analytique.
• Formule de Cauchy pour des lacets «élémentaires».

Le cours polycopié

Les énoncés et corrigés des examens antérieurs

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