Cours de Master 1 de mathématiques, 4M004,
FONCTIONS CLASSIQUES,
Université Paris 6,
premier semestre 2017 - 2018
Les cours ont lieu le mercredi de 10:45 à 12:45, salle 14.24.105
et
le vendredi de 10:45 à 12:45, salle 14.24.201.
Les travaux dirigés ont lieu le mardi de
13:45 à 16:45, salle 14.24.105
et le mercredi de 13:45 à 16:45, salle 14.24.105.
DERNIER COURS VENDREDI 15 DÉCEMBRE, 10:45-12:45, salle 14.24.201.
Cours : Nicolas Lerner nicolas.lerner@imj-prg.fr
T.D. : Cédric Boutillier
cedric.boutillier@upmc.fr
Objectifs de l'UE:
Le but de ce cours est de fournir une étude approfondie
des fonctions les plus classiques des mathématiques.
Les fonctions étudiées dans ce cours constituent des exemples
significatifs de fonctions
reliées à divers problèmes mathématiques (théorie des nombres, analyse, équations différentielles, physique mathématique).
La liste des fonctions étudiées constitue un réservoir important d'exemples significatifs qui pourront notamment être utiles aux agrégatifs.
Prérequis:
Calcul différentiel et intégral.
Thèmes abordés:
Théorie élémentaire des fonctions holomorphes et méromorphes
d'une variable complexe. Développements eulériens (produits infinis, fonctions
cotan, sin, Gamma). Méthode d'Euler-MacLaurin. Fonction Zeta de Riemann,
théorème des nombres premiers. Fonctions de Bessel, fonctions d'Airy.
Fonctions de Legendre. Fonctions d'Hermite.
Plan du cours
1. Introduction
1.1. Les fonctions classiques.
1.2. Fonctions holomorphes.
1.3. Le logarithme complexe.
Fichier Mathematica, ch.1.
2. La fonction Gamma
2.1. Définition, premières propriétés.
2.2. La fonction Gamma sur la droite réelle.
2.3. Dessins.
Fichier Mathematica, ch.2.
3. La méthode d'Euler-Maclaurin
3.1. La série harmonique.
3.2. Polynômes de Bernoulli.
3.3. Formule d'Euler-Maclaurin.
Fichier Mathematica, ch.3.
4. Développements eulériens
4.1. Produits infinis.
4.2. Développements eulériens pour cotan, sinus.
4.3. Formules de Gauss et de Weierstrass pour la fonction Gamma.
Fichier Mathematica, ch.4.
5. La fonction Zeta de Riemann
5.1. Introduction.
5.2. Nombres de Bernoulli et valeurs de Zeta(2n).
5.3. Estimation du reste d'Euler-Maclaurin.
Fichier Mathematica, ch.5.
6. Le théorème des nombres premiers
6.1. Prolongement de la fonction Zeta.
6.2. Le théorème des nombres premiers.
6.3. L'hypothèse de Riemann.
7. Equation fonctionnelle de la fonction Zeta
7.1. La formule de Stirling.
7.2. Développement de Stirling.
7.3. Equation fonctionnelle de la fonction Zeta.
8. Fonctions de Bessel
8.1. Introduction.
8.2. Équation différentielle de Bessel.
8.3. Utilisation des fonctions de Bessel.
9. Fonctions d'Airy
9.1. L'équation d'Airy.
9.2. Développements asymptotiques.
9.3. Dessins.
10. Oscillateur harmonique, fonctions d'Hermite
10.1. Polynômes d'Hermite.
10.2. Fonctions d'Hermite.
10.3. Oscillateur harmonique.
11. Appendice
11.1. Arithmétique élémentaire.
11.2. Sous-groupes additifs de R.
11.3. Fonctions holomorphes.
11.4. Coordonnées polaires, cylindriques, sphériques.
11.5. Fonction erf
L'examen final du 9 janvier 2018
et son corrigé.
L'examen final de seconde session du 29 mai 2018
et son corrigé.
mis à jour le 12 juin 2018.
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