2M261

2M261

2M261 printemps 2019 (CS A lundi 8h30)

Evaluation du cours: note de CC (en TD) sur 20, partiel P sur 30, examen final F sur 50, puis note d'écrit E = max(P+F, 8F/5) sur 80, puis note finale N = max(CC+E, 5E/4) sur 100.

Examen du 21 mai 2019 sujet du 21/5/19 et son corrigé: corrigé du 21/5/19

2M261 printemps 2018 (CS A lundi 8h30)

Evaluation du cours: note de CC (en TD) sur 25, partiel P sur 25, examen final F sur 50, puis note d'écrit E = max(P+F, 3F/2) sur 75, puis note finale N = max(CC+E, 4E/3) sur 100.

Examen du 30 mai 2018 sujet du 30/5/18 et son corrigé: corrigé du 30/5/18

Deux références possibles, en français ou en anglais, sont:
(*) Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, t.2 Analyse (éditions ultérieures par Jean-Marie Arnaudiès et Henri Fraysse), Dunod, 1977.
(*) Serge Lang, Undergraduate Analysis, Springer-Verlag, 2005.

Contenu et progression du cours (P. Polo): Le contenu est celui du polycopié 2016-17 de l'auteur, disponible plus bas chapitre par chapitre. Les séances de cours ne suivront pas l'ordre des chapitres, car on essaiera de présenter à chaque cours un ou plusieurs points intéressants et importants, pris à différents endroits du polycopié. La progression du cours sera également différente entre les deux amphis (CS A de P. Polo le lundi et CS B de Joao Pedro dos Santos le mercredi) mais au final le même contenu sera couvert (à quelques détails près). Un résumé au jour le jour du cours sera donné plus bas et mis à jour au fur et à mesure. En attendant la correction dans le polycopié des coquilles existantes, voici déjà une liste de coquilles:
Chap.2, p. 22, ligne 1: supprimer T(R)= (la série considérée n'est pas T(R), mais le reste de l'argument est correct.)
Chap.2, p. 22, dans la formule (3) et le terme de droite de (4), il manque les coefficients a_n
Chap.2, p.22, note de bas de page: remplacer le premier 2M216 par 2M261
Chap.2, p.25, lignes 3 et 4: remplacer a_n par u_n (deux fois).

Polycopié 2016-17:
Chap. 0: Rappels Chap.0 v. du 19/3/2018 avec ajout d'une démo plus simple du Th. 4.7 dans le cas C¹.
Chap. 1: Séries normalement convergentes et exponentielle complexe Chap.1
Chap. 2: Séries entières: disque de convergence, théorème d'Abel. Séries de Dirichlet Chap.2
Chap. 3: Intégrales dépendant d'un paramètre Chap.3
Chap. 4: Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre Chap.4
Chap. 5: Séries de Fourier Chap.5 v. du 19/3/2018: ajout du Th. de Fejér 21.7, Th. de Parseval 21.12 prouvé sous hyp. plus faibles, coquilles corrigées dans 21.4
Chap. 6: Equations différentielles Chap.6

Avancement du cours 2018:

Cours 1 (22/1/18). Rappels sur C : conjugaison complexe, valeur absolue, inégalité triangulaire (cf. 1.2). Disques ouverts ou fermés dans C (5.1), fonctions continues de C dans C (5.2).
Théorème (Prop. 4.5). Toute limite uniforme de fonctions continues est continue. Attention, c'est faux pour la convergence simple: prendre f_n(x) = xⁿ entre 0 et 1.
Rappel: R et C sont complets cf. Th. 1.5.
Définition des séries de fonctions et de la convergence normale:
Théorème (7.1). Si une série de fonctions converge normalement alors elle converge uniformément vers sa limite.
Définition des séries entières et:
Théorème (9.3). Soit S une série entière telle que la série S(c) converge pour au moins un c non nul. Alors il existe R > 0 (éventuellement égal à +infini) tel que pour tout réel r < R, la série entière converge normalement sur le disque fermé de rayon r, et pour tout z de valeur absolue > R, S(z) diverge. On appelle R le rayon de convergence de S. Si z appartient au disque de rayon R, la série S(z) peut converger ou diverger, selon les cas. Deux exemples:
(a) somme des zⁿ pour n >= 0, (b) somme des zⁿ/n² pour n > 0.

Cours 2 (mardi 23/1/18). (cours avancé pour rattraper le lundi 2 avril férié). Retour sur un point oublié dans le cours 1: pour des fonctions f,g : C -> C les résultats suivants, bien connus pour les fonctions R -> R, sont valables: si f et g sont continues en un point z, alors f+g et fg le sont. Par conséquent, tout polynôme est une fonction continue. D'autre part, si f est continue en un point z et g continue au point f(z), alors la composée de f et g est continue au point z.
Théorème (suite du Th. 9.3). Toute série entière est continue sur son disque de convergence.
Définition de la notion de partie ouverte U de C (5.6) puis pour une application f : U -> C, notion de dérivabilité (au sens complexe) en un point z (5.8). Puis énoncé du théorème fondamental:
Théorème 9.9. Soit S une série entière de rayon de convergence R > 0. Sur le disque de convergence, on peut dériver ou primitiver S en dérivant ou primitivant terme à terme. De plus, la primitive est unique si l'on impose la valeur au point 0.
Exemples: (a) pour z de valeur absolue < 1, somme des nz^n-1 pour n > 0, (b) pour x réel de valeur absolue < 1, somme des xⁿ/n pour n > 0.
Enoncé sans démonstration des critères de d'Alembert et de Cauchy-Hadamard pour la détermination du rayon de convergence (Corollaire 9.18).

Cours 3 (29/1/18). Pour une suite réelle (u_n) minorée par un réel a, définition de lim sup u_n: c'est +infini si la suite n'est pas majorée; si elle est majorée par un réel M alors pour tout entier n, on note v_n le sup des u_k pour k >= n; c'est un réel <= M et la suite (v_n) est décroissante et minorée par a, donc converge vers une limite L, qu'on appelle lim sup u_n. Cette définition est équivalente à celle donnée dans le polycopié (9.14). On a alors démontré le:
Théorème 9.17. Soit S la série entière associée à une suite complexe (a_n). Pour tout entier positif n, notons u_n la racine n-ième de la valeur absolue de a_n et L = lim sup u_n. Alors le rayon de convergence de S est 1/L.
Pour en déduire le corollaire 9.18, on a démontré le :
Lemme. Si (u_n) converge vers une limite L alors lim sup u_n = L.
Notant b_n la valeur absolue de a_n, on a aussi rappelé le résultat, vu en 2M260, que si la limite des b_n+1/b_n existe et vaut L, alors la suite (u_n) converge vers L.
Comme exemple d'application, on a démontré le:
Théorème 7.2. La série exp(z) = 1 + z + z²/2 + z³/3! + ... a pour rayon de convergence +infini. Elle définit donc une fonction continue et dérivable sur C et en dérivant terme à terme on voit que exp'(z) = exp(z).
Puis on a démontré le:
Théorème (Prop. 6.1). Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
On en a déduit le:
Théorème 7.2 (suite). Pour tout u,v dans C on a exp(u+v) = exp(u)exp(v). Comme exp(0)=1 on en déduit que exp(z)(exp(-z) = 1 donc exp(z) est non nul pour tout z et l'application exp est un morphisme de groupes de (C, +) vers le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls.
On a aussi montré que le conjugué de exp(z) est l'exponentielle du conjugué de z, et donc que pour tout réel t, exp(it) est de valeur absolue 1 (cf. Th. 7.2, point 5). On note cos(t) sa partie réelle et sin(t) sa partie imaginaire.

Cours 4 (5/2/18). Pour tout a fixé dans C on a montré, en dérivant terme à terme, que la dérivée de la série entière S(z) = exp(az) est S'(z) = a exp(az).
Puis, pour t réel on a écrit les séries entières cos(t) et sin(t), définies comme les parties réelle et imaginaire de exp(it). En dérivant terme à terme, on a montré que cos'(t) = -sin(t) et sin'(t) = cos(t). Puis on a fait en détail l'exercice 1 de la feuille suivante:
exponentielle complexe
c'est-à-dire on a montré (en suivant Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, pages 1-3) le:
Théorème. 1) Il existe un unique réel a > 0 et < 2 tel que exp(ia) = i.
2) L'application t -> exp(it) est un morphisme de groupes surjectif de (R, +) sur le cercle unité, et son noyau est Z4a. On définit le réel pi = 3,1415926... comme étant 2a.
3) De plus, l'application exp est un morphisme de groupes surjectif de (C, +) sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls et son noyau est Z2i pi.

Ensuite, on est passé au chapitre 6 sur les équations différentielles. (Ce chapitre est indépendant des chapitres 3,4,5.) En utilisant les propriétés de l'exponentielle on a montré le:
Théorème. Soient a,b dans C. L'unique solution y de l'équation différentielle y'(z) = ay(z) telle que y(0)=b est donnée par y(z) = b exp(az).
On a démontré le corollaire 9.11, oublié dans le cours 2:
Corollaire 9.11. Les coefficients d'une série entière convergente S sont déterminés par la formule a_n = S⁽ⁿ⁾(0)/n! où S⁽ⁿ⁾ désigne la dérivée n-ième de S.
En utilisant ceci, on a montré directement qu'il existe une unique série entière y(z) = somme des c_n zⁿ (où les c_n sont des coefficients inconnus) vérifiant y(0) = b et y'(z) = ay(z): ceci donne des relations linéaires qui déterminent les c_n de proche en proche. On a généralisé ceci en énonçant le:
Théorème 24.2, point (i). Voir le polycopié, page 98
On l'a démontré dans le cas d=1, en expliquant que la démonstration est similaire pour d arbitraire.

Cours 5 (12/2/18). On a traité le théorème 3.3 (Inégalité d'Abel) et ses deux corollaires 3.4 et 3.5 (règles d'Abel et de Dirichlet). Ceci fournit des critères de convergence utiles pour des séries numériques qui ne sont pas absolument convergentes (Exemple 3.6).
Puis, pour les séries de fonctions, on a donné les règles d'Abel ou de Dirichlet uniformes, qui fournissent des critères de convergence uniforme utiles pour des séries de fonctions qui ne sont pas normalement convergentes. De façon plus détaillée, on a donné:
* premièrement, une règle d'Abel uniforme (Th. 10.1) et son application au cas où une série entière converge en un point du bord de son disque de convergence (Th. 10.2 et Remarques 10.3),
* deuxièmement, une règle de Dirichlet uniforme (Th. 10.5) et son application au calcul de la somme de la série F(t) = somme des exp(int)/n pour n > 0 et 0 < t < 2 pi : la vérification des hypothèses du Th. 10.5 est faite dans l'exemple 10.6 et le calcul explicite de F(t), qui utilise la détermination principale du logarithme complexe, est faite dans la Prop. 10.7.

Cours 6 (19/2/18). On a commencé le Chap. 5 Séries de Fourier. (Ce chapitre est indépendant des chapitres 3 et 4, qui seront traités en dernier.) On n'a pas traité la section 19 de ``motivations physiques''. On a commencé par expliquer que l'un des objectifs du chapitre est de démontrer le:
Théorème 21.3. Toute fonction dérivable et 2 pi périodique est la somme de sa série de Fourier.
Ensuite, on a donné la définition des espaces préhilbertiens complexes: Déf. 20.6 du polycopié. Dans la version antérieure du poly, le suffixe pré- manquait mais cela a été corrigé le 19/2/2018. Pour un intervalle fermé borné I, on a montré que l'espace V des fonctions continues de I à valeurs dans C, muni du produit scalaire défini en 20.1, est un espace préhilbertien complexe. On a calculé le produit scalaire des fonctions e_n, cos_p et sin_p (Prop. 20.3).
Dans un espace préhilbertien V, on a démontré le:
Théorème 20.7 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) avec, comme conséquence, le fait que l'application qui à x associe la racine carrée du produit scalaire de x avec lui-même, est une norme sur V.
Ceci ne figurait pas dans la version antérieure du poly mais a été ajouté le 19/2/2018.
On a défini l'orthogonal d'un sous-espace W (Déf. 20.8) et admis le théorème suivant, qui sera vu en 2M271 (au moins dans sa version réelle).
Théorème (Prop. 20.10). Tout espace préhilbertien de dimension finie possède au moins une base orthonormée.
En utilisant cela, on a démontré le:
Th. 20.11 : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
Pour terminer, on a remarqué que pour x non nul et y arbitraire, le vecteur pi(y) qui intervient dans la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz est la projection orthogonale de y sur la droite W engendrée par x.

Cours 7 (26/2/18). On a continué le chapitre 5: on a introduit l'espace vectoriel V des fonctions qui sont seulement continues par morceaux; il est noté M⁰ en 20.23. Sur cet espace, le ``produit scalaire'' défini en 20.24 n'est plus ``défini positif'' mais seulement ``positif''. On a dit que cela suffit pour avoir l'inégalité de Cauchy-Schwarz (revoir la démonstration), ce qui entraîne que l'application N, qui à x associe la racine carrée du produit scalaire de x avec lui-même, vérifie les propriétés d'une norme sauf l'axiome de séparation, i.e. N(x) = 0 n'entraîne pas nécessairement x = 0. On dit que N est une semi-norme.
Dans toute la suite, on s'est placé dans un espace vectoriel V muni d'un tel ``produit scalaire'' seulement supposé positif. On a montré les résultats suivants:
Proposition 20.9. Toute famille orthonormée est libre, donc est une base du sous-espace qu'elle engendre.
Théorème de Pythagore (Prop. 20.13).
plus deux corollaires ne figurant pas dans le polycopié. Soit (e₁,...,e_n) une famille orthonormée finie et soit W le sous-espace qu'elle engendre. Alors:
Corollaire 20.13.1. Pour tout x non nul dans W, on a N(x) > 0.
Corollaire 20.13.2. Pour tout v dans V, la projection orthogonale p_W(v) définie en 20.11 est l'unique élément w de W tel que v - w soit orthogonal à W.
Puis on a démontré le très important:
Corollaire 20.14 (Forme abstraite de l'inégalité de Bessel). En conservant les notations précédentes et en notant d_k(x) la valeur absolue du produit scalaire c_k(x) = (e_k,x) on a:
N(v)² = N(v- p_W(v))² + somme des d_k(x)² pour k variant de 1 à n
et ceci est donc supérieur ou égal à la somme des d_k(x)².
Puis pour f dans M⁰, définition des coefficients de Fourier ``exponentiels'' c_k(f) et de la somme partielle S_N(f) de la série de Fourier de f comme la projection orthogonale de f sur un certain sous-espace W_N de dimension 2N+1 engendré par des fonctions exponentielles. Cet espace est aussi engendré par 2N+1 fonctions cosinus ou sinus, qui en forment une base, d'où la définition des coefficients de Fourier ``trigonométriquess'' a_k(f) et b_k(f), cf. Définitions 20.16 et 20.17.
Puis l'on a démontré la:
Proposition 20. 18 (Inégalité de Bessel).
et l'on en a déduit le:
Corollaire 20.20. Pour f dans M⁰, les coefficients de Fourier c_k(f), c_-k(f), a_k(f) et b_k(f) tendent vers 0 quand n tend vers l'infini.
Enfin, on a commencé la démonstration du
Théorème de Dirichlet 21.3. Pour toute fonction 2pi-périodique f dérivable par morceaux et tout réel x, la suite S_N(f)(x) tend, quand N tend vers l'infini, vers la demi-somme des limites à gauche et à droite de f en x (donc vers f(x) si f est continue en x).
Pour tout x dans R, on a montré que S_N(f)(x) est l'intégrale de -pi à pi de la fonction qui à t associe f(x+t) D_N(t), où D_N(t) est le N-ième ``noyau de Dirichlet'' défini dans la formule (2) avant le Th. 21.3.

Cours 8 (5/3/18). On est revenu sur la forme ``trigonométrique'' des séries de Fourier (coefficients a_n et b_n) puis l'on a calculé la série de Fourier de la fonction f de l'exemple 22.1. On a montré des images de la convergence des sommes partielles de la série de Fourier vers la fonction f, en faisant voir le ``phénomène de Gibbs''. Puis on a fini la démonstration du théorème de Dirichlet 21.3. Ensuite on a introduit le noyau de Fejér delta_N (moyenne arithmétique des N premiers noyaux de Dirichlet) et l'on a montré des images comparant les graphes d'un noyau de Dirichlet et d'un noyau de Fejér de même indice N. Puis on a démontré le:
Théorème de Fejér. Soit f dans M⁰. Pour tout x, la suite S_N(f)(x) converge au sens de Césaro vers la demi-somme des limites à gauche et à droite de f en x (donc vers f(x) si f est continue en x). De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle fermé borné sur lequel f est continue.
(Ce th. ne figure pas dans le polycopié pour le moment; il sera ajouté prochainement.)

Cours 9 (12/3/18). On a démontré l'assertion de convergence uniforme dans le théorème de Fejér, en énonçant sans le démontrer le Théorème de Heine 21.10 puis l'on a démontré le:
Théorème 21.12 (égalité de Parseval). Elle est valable pour tout f dans M⁰.
On a illustré ceci par l'exemple 23.1, qui permet de montrer que la somme des 1/n² vaut pi²/6. Puis on a démontré le théorème de dérivation 22.1.

Cours 10 (19/3/18). On a fini le chapitre 5 en démontrant le théorème de convergence normale 22.4. Puis l'on est revenu sur un point oublié dans le chapitre 0, que l'on formule ci-dessous en tenant compte de la remarque 4.9:
Théorème 4.7. Soit I un intervalle de R et (f_n) une suite de fonctions continues I -> C.
(1) On suppose que la suite (f_n) converge vers une fonction f, de façon uniforme sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. Alors f est continue sur I et pour tout a < b dans I, l'intégrale de a à b de f est la limite quand n tend vers l'infini de l'intégrale de a à b de f_n.
(2) On suppose que:
(a) la suite (f'_n) converge vers une fonction g, de façon uniforme sur tout intervalle fermé borné contenue dans I.
(b) il existe au moins un point c de I tel que la suite (f_n(c)) converge.
Alors la suite (f_n) converge vers une fonction f, de façon uniforme sur tout intervalle fermé borné contenu dans I, et f est dérivable de dérivée g.
On a démontré le point (1) et, dans le cas plus simple où les f_n sont supposées de classe C¹, on a démontré la 1ère assertion de (2). Le fait que f est dérivable résulte alors des égalités ci-dessous, où lim_n désigne la limite lorsque n tend vers l'infini et où I(c,x;h) désigne l'intégrale de c à x d'une fonction continue h:
f(x) = f(c) + lim_n I(c,x;f_n) = f(c) + I(c,x;g)
où la 2ème égalité découle du point (1) appliqué à la suite (f'_n). Puisque g est continue, l'égalité ci-dessus montre alors que f est dérivable de dérivée g.
Ceci termine la partie du cours qui est au programme du partiel du 26 mars. On a ensuite commencé le chapitre 3: on a défini les ``intégrales dépendant d'un paramètre'', cf. préambule du chapitre et Prop. 13.1, dans le cas le plus simple où U est aussi un intervalle de R. On a énoncé le Th. de continuité (Prop. 13.1) et, afin de le démontrer, on a énoncé et démontré le Théorème de Lebesgue 21.9 (voir la nouvelle version du chap.5, page 97), et énoncé le Théorème de Heine 21.10.

Semaine du 26 mars: PARTIELS. (pas de cours ni TD!)

Lundi 2 avril : férié! Pas de cours!

Cours 11 (9/4/18). On démontrera le Th. de Heine 21.10 puis la Prop. 13.1, le Th. de dérivation 13.2 et le Corollaire 13.3 (Théorème de Fubini sur un rectangle). Puis on commencera le chapitre 4: Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre.

Semaines du 16 et 23 avril: VACANCES!

Cours 12 (30/4/18) : dernier cours. On finira le chapitre 4.

2M261 printemps 2017 (amphi B)

Evaluation du cours: 20 pts pour deux devoirs sur table en TD + 5 pts pour la participation en TD + 75 points pour l'examen final.

Examen du 15/5/17: Exam-15mai et son corrigé: Corr-15mai

Des références possibles, en français ou en anglais, sont:
(*) Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, t.2 Analyse (éditions ultérieures par Jean-Marie Arnaudiès et Henri Fraysse), Dunod, 1977.
(*) Serge Lang, Undergraduate Analysis, Springer-Verlag, 2005.
(*) Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, Princeton University Press, 2003.

Notes de cours (amphi B):
Préambule: Préambule (v. du 20/1/17 avec notations)
Chap. 0: Rappels Chap.0 (v. du 15/2/17 avec précisions ajoutées dans la démo du Th. 4.7)
Chap. 1: Séries normalement convergentes et exponentielle complexe Chap.1 (v. du 5/5/17 avec correction d'une coquille dans 7.3, signalée par Louis Germain.)
Chap. 2: Séries entières: disque de convergence, théorème d'Abel. Séries de Dirichlet Chap.2 (v. du 15/2/17: précisions ajoutées dans la Sect.10 sur les règles d'Abel et de Dirichlet uniformes, et Th. 11.4 augmenté. Le 15/2: correction signalée par Amine Rezgui: à la fin de 9.14, x < alpha remplacé par x < c (2 fois).)
Chap. 3: Intégrales dépendant d'un paramètre Chap.3 (v. du 15/2/17: Prop. 13.1 et Th. 13.2 énoncés pour les fonctions à valeurs complexes.)
Chap. 4: Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre Chap.4 (v. du 13/4/17: ajout des énoncés 15.10 à 15.12.)
Chap. 5: Séries de Fourier Chap.5 (version du 16/4/17: identique à celle du 20/3/17 mais avec +2 dans la pagination.)
Chap. 6: Equations différentielles Chap.6 (version du 5/5/17 avec correction d'une erreur dans 24.4(b), signalée par He Yunfan.)

Feuilles de TD (amphi B) B-TD1 (v. du 20/1/17) B-TD2 (v. du 31/1/17) B-TD2bis (v. du 27/2/17: erreur de signe dans 1.5 corrigée) B-TD3 (v. du 7/2/17) B-TD4 (v. du 27/2/17)

Avancement du cours 2017:
Cours 1 (18/1/17): Valeur absolue sur C, inégalité triangulaire. Fonctions continues ou dérivables de C dans C.
Théorème: toute limite uniforme de fonctions continues est continue. Attention, c'est faux pour la convergence simple: prendre f_n(x) = xⁿ entre 0 et 1.
Rappel: R et C sont complets cf. 2M216. Critère de Cauchy uniforme pour les suites de fonctions puis séries de fonctions normalement convergentes.
Théorème: la série exp(z) = 1 + z + z²/2 + z³/3! + ... définit une fonction continue sur C et dérivable en 0 de dérivée 1. De plus, le conjugué complexe de exp(z) est l'exponentielle du conjugué.
Définitions des séries numériques absolument convergentes, puis Théorème: le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes, de sommes A et B, est une série absolument convergente, de somme AB.
Corollaire: (1) on a exp(z)exp(u) = exp(z+u) pour tous z,u dans C.
(2) exp est dérivable sur C et exp'(z) = exp(z) pour tout z.
(3) Pour tout réel t, exp(it) est de valeur absolue 1. On note cos(t) sa partie réelle et sin(t) sa partie imaginaire.

Cours 2 (25/1/17): On a énoncé la Prop. 7.3, en renvoyant pour les démonstrations à la feuille de TD1. Puis on a commencé le chap.2 et traité 9.1 à 9.10 inclus.

Cours 3 (1/2/17): Fin de la section 9 puis transformation d'Abel (3.1 à 3.5) et Th. d'Abel 10.1. Application: 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = log(2).

Cours 4 (8/2/17): Retour sur l'inégalité d'Abel (Th. 3.1) et les critères d'Abel (3.4) et de Dirichlet (3.5). Puis 10.3 et 10.4. La section 11 n'a pas été traitée (elle sera peut-être faite en TD). Puis début du Chap.3: Intégrales dépendant d'un paramètre. La section 12 étant considérée comme vue en 2M216, on a énoncé et démontré le résultat fondamental de continuité 13.1

Cours 5 (15/2/17): Suite et fin de la section 13. Début du Chap.4: Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre. Début de la section 15 jusqu'au théorème de continuité.

Cours 6 (22/2/17): Fin de la section 15. Puis section 16: définition de la convolution (16.1), énoncé sans démonstrations de ses propriétés (16.2) et solution de l'équation de la chaleur (16.3).

Cours 7 (1/3/17): Suite du Chap.4: section 17. Transformations de Fourier et de Laplace. Application de Laplace aux systèmes d'équations différentielles et de Fourier à l'équation de la chaleur.

Cours 8 (8/3/17): La section 18 du Chap.4: Règle d'Abel pour les intégrales, a été remise à plus tard afin de commencer le Chap.5: Séries de Fourier. On a traité la section 19, puis la section 20 jusque 20.20.

Cours 9 (15/3/17): Suite du Chap.5: on a traité 20.21 à 20.24, puis la section 21 jusqu'au th. de Dirichlet 21.3. On est ensuite revenu sur les deux écritures des séries de Fourier (avec exponentielles complexes ou bien sinus et cosinus), cf. 20.16--20.17, puis fait le début de l'exemple 22.1.

Cours 10 (22/3/17): Fin du Chap.5.

Cours 11 (29/3/17): Retour sur un oubli dans le Chap.4: si les intégrales F(x) convergent uniformément alors une primitive est obtenue en primitivant sous l'intégrale. Ceci complète le théorème 15.8 de dérivabilité des intégrales uniformément convergentes. Puis section 18: inégalité d'Abel pour les intégrales et application au calcul de l'intégrale de Dirichlet 18.4.

Vacances du 1er au 17 avril

Cours 12 (19/4/17): (prévisions) Chap.6 Equations différentielles: Th. 23.1 (rappel de L1), puis séries entières solutions d'EDO linéaires à coefficients analytiques (section 24), puis rappels sur la transformation de Laplace appliquée à la résolution de systèmes d'EDO linéaires (25.1). Si le temps le permet, on énoncera aussi le théorème général 25.4 sur les EDO linéaires d'ordre n. FIN DU COURS!