Topologie des espaces métriques

Topologie des espaces métriques

Cours :

Alessandro Chiodo
Bureau : Institut Fourier, 230

Travaux dirigés :

Laurent Bessieres
Mikhail Zaidenberg

Contenu du cours :

Ce cours est une introduction élémentaire à la topologie des espaces métriques. Nous revisiterons tout d'abord la notion de continuité et de convergence dans le contexte des nombres réels. Ensuite nous situerons ces notions dans le cadre plus général des espaces métriques et des espaces topologiques. Dans ce contexte, nous étudierons les notions de compacité et complétude.

Prérequis :

Familiarité avec les notions de convergence et continuité pour les suites et les fonctions réelles (Niveau L1 et L2).
Voir Math en Ligne.

Textes:

Des notes de cours sont rédigées au fur et à mesure: Notes.
Nous ne suivrons pas un texte de façon systématique. Mais les références suivantes pourrons être utiles :

Evaluation :

Les contrôles auront lieu au courant des semaines : 26-30/9, 17-21/10, 7-11/12.
Le deuxième CC durera 3 heures et permettra de faciliter le choix entre parcours A ou B après la pause de la Toussaint.
La note de contrôle continu (CC) est une moyenne pondérée des trois notes de CC (se renseigner au près des responsables des TDs)
L'examen aura lieu entre le 3 et le 6 janvier.

Examen: Exercices et solutions

Journal du cours :

Complété au fur et á mesure.

Séance Date Sujet Remarques, questions posées
(1) 06/09/2011 14h15 Préliminaires sur les nombres réels.
§1.1 des Notes		  
(2) 07/09/2011 14h45 Suites.
§1.2 des Notes		  
(3) 13/09/2011 14h15 Développement décimal et dénobrabilité.
§1.3 et 1.4 des Notes		  
(4) 14/09/2011 14h45 Fonctions réelles.
§1.5 des Notes		 Lire la preuve du thm de Dini et repondre á la question qui suit.
(5) 14/09/2011 16h30 Espaces métriques et
espaces vectoriels normés.
Jusqu'à §2.1.2 des Notes		 Norme Lp faite en TD
(6) 20/09/2011 16h00 Espaces pré-hilbertiens,
boules et suites.
Jusqu'à §2.2 des Notes 		En TD: l'identité du parall.
caratérise les EVN pré-hilb.
(7) 21/09/2011 14h45 Fonctions continues.
§2.3 des Notes 		 
(8) 27/09/2011 16h00 Parties denses et espaces produits.
§2.4 et §2.5 des Notes 		 
(9) 28/09/2011 14h45 Équivalences entre distances.
§2.6 des Notes 		 
(10) 03/10/2011 09h45 Applications linéaires continues.
Debut §2.7, (thm. 2.32, 2.33 des Notes)		 Exemple d'application linéaire non continue (p.37 des Notes)
(11) 04/10/2011 16h00 La norme |||f|||.
Fin §2.7 des Notes		  
(12) 05/10/2011 14h45 Formes Linéaires;
§2.8 des Notes		  
(13) 05/10/2011 16h30 Topologie générale. Ouverts.
§3.1 des Notes		  
(14) 11/10/2011 14h15 Convergence et continuité
en termes d'ouverts.
§3.2 des Notes		  
(15) 11/10/2011 16h00 Interieur, adhérence, frontiére.
§3.3 des Notes		 Contre-exemple au Thm 3.21 (p.51 des Notes)
(16) 12/10/2011 14h45 Topologie, espace topologique.
Jusqu'á §3.4.2 des Notes		  
  Toussaint    
(17) 02/11/2011 14h45 Topologie quotient. Connexité.
§3.4.3 et le debut de §3.5 des Notes		 Questions sur intersections non connexes (p.60 des Notes)
(18) 09/11/2011 14h45 Espaces connexes par arcs.
Fin §3.5 des Notes		  
(19) 15/11/2011 16h00 Espaces compacts §4.1 des Notes  
(20) 16/11/2011 14h45 Compacité des espaces de fonctions §4.2 des Notes, Existence du prolongement, §4.3 des Notes  
(21) 22/11/2011 14h15 Existence du point fixe, §4.3 des Notes  
(22) 23/11/2011 14h45 Séries dans les espaces de Banach, §4.4 des Notes  
(23) 28/11/2011 09h45 Projection orthogonale et applications, §4.5 des Notes  
(24) 29/11/2011 14h15 Espaces compacts, §5.1 des Notes  
(25) 29/11/2011 16h00 Compacité dans les EVN, §5.2 des Notes  
(26) 30/11/2011 14h00 Topologie des espaces compacts, §5.3 des Notes  
(27) 07/12/2011 13h00 Théorème d'Ascoli, §5.4 des Notes  
(28) 07/12/2011 14h45 Théorème de Stone-Weierstrass, §5.5 des Notes