Vendredi 22 novembre 2019
10h30 Marie-Claude Arnaud
Convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik en topologie C1 et C2
Abstract:
Les points fixes du semi-groupe de Lax-Oleinik (appelés aussi solutions KAM faibles) fournissent, dans le cas des hamiltoniens de Tonelli, des solutions faibles de l’équation de Hamilton-Jacobi H(x, du(x))=c ou de ses variantes (le cas amorti appelé aussi discounted, le cas à classe de cohomologie variable). Quand une telle solution u est continument différentiable (on parle alors de solution classique), son graphe est une variété lagrangienne invariante par le flot hamiltonien, différentiable si du l’est. Après avoir introduit les notions classiques, je vais m'intéresser à deux types de convergence: soit la convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik vers une solution (en topologie C0, ce résultat est dû à Fathi), soit la dépendance des solutions en fonction de paramètres. Dans ces deux cas, j’expliquerai :
- pourquoi la convergence en topologie C0 implique la convergence en topologie C1;
- avec une hypothèses supplémentaire sur la limite (par exemple quand la limite correspond à une dynamique KAM),
on a aussi convergence en un certain sens en topologie C2. Enfin, je donnerai un contre-exemple pour lequel on a convergence en topologie C1 et nulle part convergence en topologie C2. Il s’agit d’un travail commun avec Xifeng Su, de Beijing Normal University.
Attention: salle inhabituelle (salle 1516-411)
Convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik en topologie C1 et C2
Abstract:
Les points fixes du semi-groupe de Lax-Oleinik (appelés aussi solutions KAM faibles) fournissent, dans le cas des hamiltoniens de Tonelli, des solutions faibles de l’équation de Hamilton-Jacobi H(x, du(x))=c ou de ses variantes (le cas amorti appelé aussi discounted, le cas à classe de cohomologie variable). Quand une telle solution u est continument différentiable (on parle alors de solution classique), son graphe est une variété lagrangienne invariante par le flot hamiltonien, différentiable si du l’est. Après avoir introduit les notions classiques, je vais m'intéresser à deux types de convergence: soit la convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik vers une solution (en topologie C0, ce résultat est dû à Fathi), soit la dépendance des solutions en fonction de paramètres. Dans ces deux cas, j’expliquerai :
- pourquoi la convergence en topologie C0 implique la convergence en topologie C1;
- avec une hypothèses supplémentaire sur la limite (par exemple quand la limite correspond à une dynamique KAM),
on a aussi convergence en un certain sens en topologie C2. Enfin, je donnerai un contre-exemple pour lequel on a convergence en topologie C1 et nulle part convergence en topologie C2. Il s’agit d’un travail commun avec Xifeng Su, de Beijing Normal University.
Attention: salle inhabituelle (salle 1516-411)
Vendredi 29 novembre 2019
10h 30 Marco MAZZUCCHELLI :
Waist theorems for Tonelli hamiltonian system
In Tonelli Hamiltonian systems, the presence of action minimizing periodic orbits, usually called waists, often forces the existence of many other periodic orbits. In this talk we will first recall the known results along this line for surfaces: the existence of waists on suitable ranges of low energy levels, and the existence of infinitely many periodic orbits on almost every level in such a range. We will then discuss recent results valid in arbitrary dimension. Under suitable assumptions, we will prove the existence of waists on every energy level just above the so-called Mañé critical value. After perturbing the Hamiltonian with a generic potential, this will imply the existence of infinitely many periodic orbits on every such energy levels, and on almost all energy levels just below the Mañé critical value. This is joint work with Luca Asselle and Gabriele Benedetti.
Salle habituelle (15-25 502)
Waist theorems for Tonelli hamiltonian system
In Tonelli Hamiltonian systems, the presence of action minimizing periodic orbits, usually called waists, often forces the existence of many other periodic orbits. In this talk we will first recall the known results along this line for surfaces: the existence of waists on suitable ranges of low energy levels, and the existence of infinitely many periodic orbits on almost every level in such a range. We will then discuss recent results valid in arbitrary dimension. Under suitable assumptions, we will prove the existence of waists on every energy level just above the so-called Mañé critical value. After perturbing the Hamiltonian with a generic potential, this will imply the existence of infinitely many periodic orbits on every such energy levels, and on almost all energy levels just below the Mañé critical value. This is joint work with Luca Asselle and Gabriele Benedetti.
Salle habituelle (15-25 502)