Resúmenes

 Sacsayhuaman Michael Harris, Roberto Miatello, Ariel Martin Pacetti y Gonzalo Tornaría
Formas modulares: construcción y aplicaciones

Las formas modulares aparecieron naturalmente en el contexto de las diferenciales holomorfas de ciertos cocientes del semiplano de Poincaré. Su estudió creció notablemente con los trabajos de Hecke sobre los hoy en día llamados operadores de Hecke actuando en el espacio de formas modulares, y con las L-series asociadas a las formas modulares.

Junto con el avance teórico de las formas modulares, surgen importantes trabajos sobre el problema de poder construirlas. Es aquí donde aparece la relación entre formas modulares, formas cuadráticas y los símbolos modulares. En este curso comenzaremos por las definiciones y propiedades básicas de las formas modulares, y avanzaremos en el problema de su construcción y varias aplicaciones de las mismas.

  1. Formas modulares: definición, motivación, relación con diferenciales invariantes, ejemplos (Eisenstein).
  2. Subgrupos de congruencia y grupos fuccianos: definición de la forma de volumen, definición de los grupos de congruencias y fuccianos, definición de las formas modulares para estos grupos y formas cuspidales.
  3. Formas cuadráticas generales: definición, función theta asociada a formas definidas positivas, fórmula de transformación, relación con formas modulares.
  4. Operadores de Hecke: definición, propiedades, ecuación funcional de las autoformas. Modularidad de curvas elípticas (en términos de igualdad de L-series).
  5. Algebras de cuaterniones: definición, ideales, ejemplos, clasificación. Ordenes de Eichler.
  6. Algebras de cuaterniones definidas: relación con las formas modulares, operadores de Hecke, problema de la base de Eichler.
  7. Definición de adeles, e interpretación de las formas modulares como funciones de adeles. Operadores de Hecke en los adeles.
  8. Formas de Hilbert: definición clásica, interpretación en terminos de funciones de adeles, operadores de Hecke. Expansión de Fourier y L-series.
  9. Curvas de Shimura: definición, formas modulares cuaterniónicas y la correspondencia de Jacquet-Langlands en el caso más sencillo
  10. Curvas elípticas como cocientes de curvas de Shimura.
Pablo Candela, Javier Cilleruelo, Juanjo Rué y Julia Wolf, asistidos por Ana Zumalacárregui
Combinatoria Aditiva

La combinatoria aditiva puede definirse como el estudio de estructuras en conjuntos aditivos (como los números enteros y los grupos abelianos, por ejemplo). Aunque esta disciplina no es nueva, ésta ha sufrido un desarrollo dramático en los últimos años, y actualmente se ha convertido en una área de investigación muy fructífera y activa debido en parte a sus interacciones con otras áreas de las matemáticas, como la teoría ergódica, el análisis funcional y la probabilidad, entre otros. En esta unidad se realizará una introducción al caso clásico (abeliano). Introduciremos temas centrales del área, y mostraremos su interacción con distintas áreas de la matemática, como la probabilidad, la teoría de grafos y las estructuras algebraicas sobre grupos abelianos finitos, entre otros.

  1. Estructura de conjuntos suma
  2. El fenómeno suma-producto
  3. El método polinomial
  4. Conjuntos de Sidon
  5. El uso del análisis de Fourier
  6. Lemas de eliminación y aplicaciones

Marc Hindry y Marusia Rebolledo
 Charlas asociadas por Ricardo Menares y Fernando Rodriguez Villegas
Introducción a la teoría de las curvas elípticas ; funciones zeta y funciones L que vienen de la geometría

Este curso es una introducción a la teoría geométrica y aritmética de las curvas elípticas y de las funciones L que les están asociadas. Tales curvas aparecen naturalmente en el estudio de ecuaciones diofánticas; son el primer ejemplo donde no se puede aplicar sistemáticamente, como se hace para las cónicas, el principio de Hasse o el método de la cuerda/tangente. Son también las variedades abelianas más simples (dimensión 1). Las estructuras diversas de estas curvas y los lazos, via las funciones L, con objetos de naturaleza algebraica (representaciones Galoisianas) o analítica (formas modulares), están en el corazón de numerosos resultados y preguntas actuales en la geometría aritmética. Entre estos resultados, el más conocido es ciertamente el Último Teorema de Fermat.

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La función L que permite estos lazos es una serie de Dirichlet del mismo tipo que la función zeta de Riemann. Las series de Dirichlet y la función zeta de Riemann fueron introducidas para demostrar los principales teoremas acerca de la distribución de números primos. El éxito de este método ha llevado a introducir análogos llamados funciones L de Hasse-Weil asociados a las curvas elípticas. Presentaremos estas series, sus principales propriedades -- algunas apenas conjeturadas como la "hipótesis de Riemann"– y sus relaciones con la aritmética de las curvas elípticas.

  1. Curvas elípticas sobre un cuerpo : definición y ley de grupo
  2. Curvas elípticas sobre un cuerpo local y reducción
  3. Puntos racionales y puntos de torsión
  4. Funciones "zeta" clásicas
  5. Funciones L de Hasse-Weil
  6. Valor en s=1

Misha Belolipetsky y Harald Helfgott
Grupos y expansores

Un expansor es un grafo en el cual todo conjunto de puntos esta conectado a muchos otros. Un grafo así tiene muchas propiedades deseables: por ejemplo, una caminata aleatoria en un grafo expansor se vuelve equidistribuida muy rápidamente.

Si bien es facil probar que los grafos expansores son muy comunes, probar que un grafo dado es un expansor no es trivial. Las estrategias existentes involucran el álgebra, la geometría, la teoría de números, la combinatoria...

La primera mitad del curso estara dedicada a un estudio de técnicas combinatorias (Helfgott, Bourgain-Gamburd, etc.). Luego estudiaremos técnicas geométricas, concentrándonos en una construcción debida a Gromov que utiliza cocientes del medio-espacio superior \( \mathbb{H}^3\).

Andrzej Zuk
Análisis y geometría en grupos

Se discutirán en detalle los siguientes problemas clásicos en teoría de grupos:

  1. Problema de Burnside: grupos de torsión infinitos, finitamente generados.
  2. Problema de Milnor: grupos de crecimiento intermedio.
  3. Problema de Day: grupos amenables exóticos.
  4. Problema de Siegel: generación finita de reticulados.
  5. Problema de Atiyah: variedades cerradas con nu ́meros L2 de Betti irracionales.
  6. Construcción de Margulis: grafos expansivos.
  7. Problema de Gromov: crecimiento exponencial uniforme.

Para tratar esos problemas se estudiar ́an los siguientes temas:

  1. Grupos generados por autómatas.
  2. Amenabilidad y propiedad (T).
  3. Grupos y grafos al azar.
  4. Invariantes L2 de grupos y variedades.
  5. Paseos al azar en grupos y grafos.

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