Cours 1 : Systèmes linéaires et matrices : définitions TD1 Cours 2 : Algorithme du pivot de Gauss
Cours 3 : Vecteurs de R^n. Familles génératrices. Produit matrices-vecteurs. TD2 Cours 4 : Familles libres. Bases de R^n. TD3 Cours 5 : Espaces vectoriels. Sous-e.v. Sommes, sommes directes. TD4 Cours 6 :
Bases. Composantes. Dimension.
Cours 7 : Applications linéaires. Noyau, image, rang. Lien avec les matrices TD5 Cours 8 : Bases du noyau et de l'image d'une matrice. Formule du
rang. Produit de
matrices.
Cours 9 : Algèbre matricielle. Inversion. Changement de
base. TD6 ,
Cours 10 : Déterminants.
Cours 11 : Valeurs propres. Vecteurs propres. Polynôme caractéristique.
Cours 12 : Matrices diagonalisables, trigonalisables. Espaces euclidiens. TD7
rang d'une famille de vecteurs, d'une matrice ou d'une application linéaire
noyau d'une application linéaire
matrice d'une application linéaire E->F relativement à une base de E et une base de F données
valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'une matrice, diagonalisabilité
Théorèmes :
Toute matrice est équivalente à une unique matrice échelonnée réduite (par l'algo de Gauss)
Théorèmes de la base incomplète et de la base extraite
Théorème du rang
Formules de changement de base
Une matrice n*n avec n val propres distinctes est diagonalisable
Applications de l'algorithme de Gauss :
une famille de vecteurs est libre si la matrice de leurs coordonnées a autant de pos de pivot que de colonnes
une famille de vecteurs est génératrice si la matrice de leurs coordonnées a autant de pos de pivot que de lignes
rang d'une matrice = nbre de pos de pivot
dim du ker = nbre de colonnes qui ne sont pas de pivot
calcul d'un déterminant, calcul de l'inverse
Il est très fortement conseillé d'essayer de comprendre, si ce n'est déjà fait, les
démonstrations abstraites du cours, notamment celles utilisant la notion de combinaison
linéaire (par exemple celle du th de la base extraite et incomplète).