Cours fondamental de M2 : Géométrie Algébrique II

Où et quand : Les mercredis de 09h00 à 11h00 et les jeudis de 16h00 à 18h00 du 13/01/09 au 18/02/09, en salle 0D7.

Prérequis : On suppose connues les notions suivantes :

• anneaux commutatifs locaux, artininiens, noethériens, normaux (= intégralement clos), factoriels. Localisation, suites régulières.
• schémas (comme espaces localement annelés) réduits, irréductibles, intègres, noethériens, produits fibrés.
• morphismes d'immersion, finis, de type fini, plats, affines, projectifs, propres, séparés.
• faisceaux de modules : images inverses et directes. Faisceaux (quasi-)cohérents.
• dimension d'un anneau et d'un schéma.

Notes de Cours 2010 : au 18 février pdf

Sujet de l'examen de mars 2010: pdf Corrigé partiel pdf .

Notes de Cours 2009 : pdf

Sujet de l'examen de février 2009: pdf (démesurément trop long).

1  Compléments sur morphismes et régularité

1.1  Différentielles

Définition du faisceau de différentielles d'un morphisme et du faisceau conormal d'une immersion. Les deux suites exactes. Quelques exemples : espaces affines, projectifs, extensions non-séparables.

1.2  Immersions régulières

Rappels sur les suites régulières et le complexe de Koszul. Définition des immersions régulières. Morphismes différentiellement lisses.

1.3  Morphismes étales

Définitions et propriétés des morphismes non-ramifiés et étales. Rigidité des morphismes étales par déformation.

1.4  Morphismes lisses

Définition des morphismes lisses. Différentes caractérisations, propriétés différentielles, existence de relèvements infinitésimaux (lissité formelle). Paires lisses et immersions régulières. Cas des variétés sur un corps.

2  Diviseurs et faisceaux inversibles

2.1  Diviseurs de Weil, Cartier, et faisceaux inversibles

Rappels. Cas des schémas normaux et localement factoriels.

2.2  Diviseurs à croisements normaux

Conditions locales et conditions globales. Exemples.

3  Éclatements : définition et premières propriétés

3.1  Rappels sur morphismes projectifs et faisceaux très amples

Brefs rappels sur Proj. L'espace projectif ℙⁿ classifie les modules quotients localement libres de rang 1 de Oⁿ⁺¹.

3.2  Éclatement d'un faisceau d'idéaux

Définition. Propriété universelle. Calculs explicites. Transformés stricts. Restriction d'un éclatement au diviseur exceptionnel. Cas des immersions régulières et paires lisses sur un corps. Morphismes birationnels projectifs et éclatements.

3.3  Premières applications

Prolongement d'applications rationnelles partiellement définies. Prolongement d'une action générique d'un groupe. Eclatements d'idéaux de Fitting et platification.

4  Désingularisation. Autour du théorème de Hironaka

4.1  Le problème de la désingularisation

Pas de démonstration ici. Juste des explications des notions suivantes : désingularisation faible, forte, fonctorielle, plongée. Désingularisation et principalisation.

4.2  Cas des courbes

Quelques rappels sur les courbes. Désingularisation par normalisation ou par éclatements. Désingularisation plongée de courbes planes (avec probablement quelques résultats admis).

4.3  Existence d'une désingularisation faible, en caractéristique 0

On expliquera une preuve relativement simple dûe à Bogomolov et Pantev. Nous aurons à introduire un peu de théorie d'intersection et des notions de géométrie torique.

5  Altérations. Autour du théorème de De Jong

On expliquera le contenu du théorème de De Jong, qui est un substitut remarquablement efficace au théorème de Hironaka en caractéristique positive. On terminera sur la notion de “réduction semi-stable” d'un schéma sur un anneau de valuation discrète. Le contenu précis de cette partie dépendra du temps restant.

Ce document a été traduit de L^AT_EX par H^EV^EA