Cours fondamental de M2 : Géométrie Algébrique IIJean-François Dat, UPMC, 2009–2010 |
Où et quand : Les mercredis de 09h00 à 11h00 et les jeudis de 16h00 à 18h00 du 13/01/09 au 18/02/09, en salle 0D7.
Prérequis : On suppose connues les notions suivantes :
Notes de Cours 2010 : au 18 février pdf
Sujet de l'examen de mars 2010: pdf Corrigé partiel pdf .
Notes de Cours 2009 : pdf
Sujet de l'examen de février 2009: pdf (démesurément trop long).
Définition du faisceau de différentielles d'un morphisme et du faisceau conormal d'une immersion. Les deux suites exactes. Quelques exemples : espaces affines, projectifs, extensions non-séparables.
Rappels sur les suites régulières et le complexe de Koszul. Définition des immersions régulières. Morphismes différentiellement lisses.
Définitions et propriétés des morphismes non-ramifiés et étales. Rigidité des morphismes étales par déformation.
Définition des morphismes lisses. Différentes caractérisations, propriétés différentielles, existence de relèvements infinitésimaux (lissité formelle). Paires lisses et immersions régulières. Cas des variétés sur un corps.
Rappels. Cas des schémas normaux et localement factoriels.
Conditions locales et conditions globales. Exemples.
Brefs rappels sur Proj. L'espace projectif ℙn classifie les modules quotients localement libres de rang 1 de On+1.
Définition. Propriété universelle. Calculs explicites. Transformés stricts. Restriction d'un éclatement au diviseur exceptionnel. Cas des immersions régulières et paires lisses sur un corps. Morphismes birationnels projectifs et éclatements.
Prolongement d'applications rationnelles partiellement définies. Prolongement d'une action générique d'un groupe. Eclatements d'idéaux de Fitting et platification.
Pas de démonstration ici. Juste des explications des notions suivantes : désingularisation faible, forte, fonctorielle, plongée. Désingularisation et principalisation.
Quelques rappels sur les courbes. Désingularisation par normalisation ou par éclatements. Désingularisation plongée de courbes planes (avec probablement quelques résultats admis).
On expliquera une preuve relativement simple dûe à Bogomolov et Pantev. Nous aurons à introduire un peu de théorie d'intersection et des notions de géométrie torique.
On expliquera le contenu du théorème de De Jong, qui est un substitut remarquablement efficace au théorème de Hironaka en caractéristique positive. On terminera sur la notion de “réduction semi-stable” d'un schéma sur un anneau de valuation discrète. Le contenu précis de cette partie dépendra du temps restant.
Ce document a été traduit de LATEX par HEVEA