1M001 - Analyse et algèbre pour les sciences - UPMC 2013-2014

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section MIPI 15 - Laurent KOELBLEN

Polycopié et feuilles d'exercices :  consulter la page de la section MIPI 12 - Patrick POLO.

1^er cours — Lundi 9 septembre 2013

Chapitre 1 : l'ensemble R des nombres réels, la propriété de la borne supérieure et ses conséquences

• théorème 1.1 : existence et propriété de l'ensemble R des nombre réels, propriété de la borne supérieure
• définition 1.3 : majorant, minorant
• définiion 1.10 : intervalles, intervalles ouverts, fermés, etc.
• définition 1.12 voisinages d'un point de R
• définition 1.13 : fonctions continues en un point
• définition 1.14 : fonctions continues sur un intervalle
• théorème 1.15 : théorème des valeurs intermédiaires (la démonstration sera achevée au prochain cours)

2^e cours — Lundi 16 septembre 2013

• retour sur la définition 1.3 : caractérisation de la borne supérieure
• théorème 1.15 : théorème des valeurs intermédiaires (fin de la démonstration)
• proposition 1.16 : convergence des suites croissantes majorées et décroissantes minorées
• théorème 1.18 : convergence des suites adjacentes
• théorème 1.19 : intersection d'intervalles fermés emboîtés
• théorème 1.21 : une fonction continue sur un intervalle fermée est bornée et atteint ses bornes (la démonstration sera donné au prochain cours)

3^e cours — Lundi 23 septembre 2013

• théorème 1.21 : une fonction continue sur un intervalle fermée est bornée et atteint ses bornes (démonstration)

Chapitre 2 : limites et continuité

• définition 2.2 : limite d'une suite réelle
• définitions 2.4 2.5 et 2.6 : limite finie ou infinie d'une fonction en point de R ou en plus ou moins l'infini
• théorème 2.7 : unicité de la limite
• théorème 2.17 : lien entre la continuité et la limite d'une fonction en un point de R
• théorème 2.8 et 2.11 : opérations algébriques sur les limites de suites et de fonctions
• théorème 2.12 : limites et inégalités larges (la démonstration sera donné au prochain cours)
• définition 2.14 : point adhérents à un domaine D de R
• théorème 2.15 : théorème des gendarmes (la démonstration sera donné au prochain cours)

4^e cours — Lundi 30 septembre 2013

• théorème 2.12 : limites et inégalités larges (démonstration)
• théorème 2.15 : théorème des gendarmes (démonstration)
• définition 2.18 2.19 et 2.22 : limites à gauche, à droite, prolongement par continuité
• exemples : limites à gauche et à droite de E(x) en un entier n, de 1/X en 0
• exemple : prolongement par continuité de x.sin(1/x)

Chapitre 3 : dérivabilité

• définition 3.1 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par limite du taux d'accroissement
• définition 3.3 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par l'existence d'un développement limité à l'ordre 1
• remarque 3.7 interprétation graphique de la dérivabilité
• corollaire 3.6 : si f est dérivable en a, elle est aussi continue en a
• définitions 3.8 et 3.9 : fonctions dérivables sur un intervalle, dérivées successives, fonctions de classe Cⁿ, etc
• théorème 3.11 : dérivabilité d'une fonction composée
• théorème 3.14 : dérivabilité d'une somme, produit ou quotient de fonctions dérivables (admis)

5^e cours — Lundi 7 octobre 2013

• remarque 2.12 et proposition 3.13 : fonction dérivée de xⁿ ou n est un entier positif
• corollaire 3.17 : dérivabilité d'une fonction polynomiale
• corollaire 3.18 : dérivabilité de f(x)ⁿ où n est un entier positif
• définition 3.19 : extremum local
• proposition 3.21 : condition nécessaire pour que f(x) ait un extremum local en x=a
• théorème 3.23 : théorème de Rolle
• théorème 3.24 : théorème des accroissement finis
• définition 3.27 : fonctions croissantes, strictement croissantes, décroissantes, strictement décroissantes, monotones, strictement monotones
• théorème 3.29 : relation entre sens de variation et signe de la dérivée
• définition 3.32 : application réciproque
• exemples : y=x² et x=√y sur R⁺ ; y=ln(x) et x=exp(y) ; y=1/x et x=1/y
• remarque 3.37 : représentation graphique
• théorème 3.35 : si f(a)=b et si f est dérivable en x=a, alors f^-1 est dérivable en y=b et (f^-1)'(b) = 1 / f'(a) (à compléter)

6^e cours — Lundi 14 octobre 2013

• théorème 3.35 : continuité, sens de variation et dérivabilité d'une fonction réciproque

Chapitre 4 : fonctions usuelles

• définition 4.1 le logarithme néperien
• proposition 4.3 4.4 et 4.7 : propriétés du logarithme néperien
• définition 4.5 la fonction exponentielle
• théorème 4.6 et corollaire 4.8 : propriétés de la fonction exponentielle
• définiton et proposition 4.9 : la fonction « x puissance a »
• proposition 4.10 : croissances comparées des fonctions logarithme néperien, puissance et exponentielle
• notation 4.11 : exp(x) = e^x où e=exp(1)

7^e cours — Lundi 21 octobre 2013

• fonctions trigonométriques sin cos tan (rappels)
• fonctions trigonométriques réciproques Arcsin Arccos Arctan : définition, domaine de défintion, représentation graphique, dérivabilité et calcul de la dérivée
• fonctions hyperboliques sh ch th : définition, domaine de définition, représentation graphique, relations algébriques, dérivabilité et calcul de la dérivée
• fonctions hyperboliques réciproques Argsh Argch Argth : définition, domaine de définition, représentation graphique, dérivabilité et calcul de la dérivée

Chapitre 5 : développements limités

• définition et proposition 5.1 : développement limité
• définition 5.5 : notation o(xⁿ) et O(xⁿ) et ré-écriture d'un DL avec « o »

8^e cours — Lundi 28 octobre 2013

• rappels du cours précédent : notation f = o(g) « f égale petit-o de g » et définition d'un DL_n(a) de f(x)
• f admet un DL₀(a) ssi f est continue en x=a ; f admet un DL₁(a) ssi f est dérivable en x=a
• exemple d'une fonction qui a un DL₂(0) mais qui n'est pas 2 fois dérivable en x=0 : f(x) = x³sin(1/x) pour x≠0 et f(0)=0
• théorème 5.7 : intégration d'un DL
• théorème 5.8 de Taylor Young
• DL des fonctions usuelles en x=0 :
  par le théorème de Taylor Young : exp(x) / sh(x) / ch(x) / sin(x) / cos(x) / (1+x)^α / (1-x²)^-1/2 / (1+x²)^-1/2
  par formule algébrique : 1/(1-x) / 1/(1+x) / 1/(1-x²) / 1/(1+x²) ;
  par intégration des DL précédents : ln(1-x) / ln(1+x) / Arctg(x) / Argth(x) / Arcsin(x) / Arccos(x) / Argsh(x)
• théorème 5.14 : somme et produit de DL
• théorème 5.15 : composition de DL
• exemple : DL de 1/cos(x) = g( f(x) ) où f(x) = 1-cos(x) et g(x) = 1/(1-x)

9^e cours — Lundi 4 novembre 2013

• fin du chapitre 5 : théorème de Taylor Lagrange

Chapitre 6 : R², R³, produit scalaire, produit vectoriel, droites et plans

• définition : opérations usuelles sur R² et R³, combinaisons linéaires
• définition : points A, B, etc, vecteurs AB
• définition : base canonique (i,j) sur R² et (i,j,k) sur R³
• définition : familles libres, familles liées, vecteurs colinéaires, familles génératrices, bases
• définition : droite affine (AB) = Aff(A,B) : M∈Aff(A,B) si et seulement si les vecteurs AM et AB sont colinéaires
• définition : droite vectorielle Vect(v) engendrée par un vecteur v : w∈Vect(v) si et seulement si les vecteurs v et w sont colinéaires
• définition : la droite affine Aff(A,B) est dirigée par la droite vectorielle Vect( AB ) engendrée par le vecteur AB
• définition : plan affine Aff(A,B,C) où A,B,C ne sont pas alignés : M∈Aff(A,B,C) si et seulement si le vecteur AM est combinaison linéaire des vecteurs AB et AC
• définition : plan vectoriel Vect(u,v) où u et v ne sont pas colinéaires : w∈Vect(u,v) si et seulement si le vecteur w est combinaison linéaire des vecteurs u et v
• définition : le plan affine Aff(A,B,C) est dirigé par le plan vectoriel Vect( AB , AC ) engendré par les vecteurs AB et AC

10^e cours — Lundi 18 novembre 2013

• définition : produit scalaire u.v de 2 vecteurs de R² ou R³ et norme ||v|| d'un vecteur de R² ou R³
• propriétés du produit scalaire : bi-linéarité, symétrie
• définition : vecteurs orthogonaux
• propriétés de la norme : ||av|| = |a| ||v|| (où a∈R et où v est un vecteur), ||v||=0 si et seulement si v est le vecteur nul
• théorème : inégalité de Cauchy-Schwarz |u.v| ≤ ||u|| ||v|| avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires
• théorème : inégalité triangulaire ||u+v|| ≤ ||u||+||v|| avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires et de même sens (u=av avec a>0)
• définition : produit vectoriel u_∧v de 2 vecteurs de R³
• propriétés du produit vectoriel : bi-linéarité et antisymétrie, u_∧v est orthogonal à la fois à u et v
  
• vecteur normal à une droite de R² et équation d'une droite dans R²
• vecteur normal à un plan de R³ et équation d'un plan dans R³

Chapitre 7 : équations différentielles linéaires du 1^er ordre

• définition : équations différentielles linéaires homogène du 1er ordre : (E₀) y' = a(x) y où a(x) est une fonction définie et continue sur un intervalle ouvert I
• définition : équations différentielles linéaires du 1er ordre : (E) y' = a(x) y + b(x) où a(x) et b(x) sont des fonctions définies et continues sur un intervalle ouvert I
• théorème : l'ensemble des solutions de (E₀) est { λ exp(A(x)) , λ∈R } où A(x) est une primitive de a(x)
• théorème : si f₀(x) est une solution particulière de (E), alors l'ensemble des solutions de (E) est { f₀(x) + λ exp(A(x)) , λ∈R } où A(x) est une primitive de a(x)
• méthode de variation de la constante : si f(x) est une solution de (E) et si λ(x) = f(x) exp(-A(x)) alors λ'(x) = b(x) exp(-A(x)) ;
  d'où : si λ₀(x) est une primitive de b(x) exp(-A(x)) alors f₀(x) = λ₀(x) exp(A(x)) est une solution particulière de (E) 

11^e cours — Lundi 18 novembre 2013

Chapitre 8 : le corps des nombres complexes et l’exponentielle complexe

• rappel des propriétés de + et x sur l'ensemble des nombres réels et rappel de la définition de la structure de corps
• définition : C = R² avec les opérations (a,b) + (a’,b’) = (a+a’,b+b’) et (a,b) x (a’,b’) = (aa’-bb’,ab’+ba’) / vérification de l’existence de l’élément neutre pour la multiplication
    et de l’existence d’un inverse de tout élément non nul.
•  notations : (1,0)=1 (élément neutre de la multiplication),  (0,1) = i, z=(a,b)=a+ib, i²=-1
• inclusion naturelle de R dans C,  partie réelle, partie imaginaire, conjugué, module, propriété : |zz’|= |z|.|z’|
• représentation géométrique des nombres complexes : affixe z d’un point M de R, |z| est la norme du vecteur OM
• argument d’un nombre complexe : angle entre l’axe Ox et la droite (OM)
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = |z| (cos t + i sin t)
• interprétation géométrique de la multiplication par un nombre réel : homothétie de centre O et de rapport k ( z' = kz <=> OM’ = k.OM )
• interprétation géométrique de la multiplication par cos t + i sin t : rotation de centre O et d’angle t
• définition de exp(it) et de exp(a+ib)
• vérification de la formule exp(z+z’) = exp(z) x exp(z’) à l’aide des formules trigonométriques
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = r exp(it) où r est le module et t l’argument de z
• formules : exp(nz) = exp(z)ⁿ où n est un entier relatif
• racine n-ième de l’unité : exp(2ik\pi/n) où 0 <= k < n (il y a exactement n racine) représentation géométrique (polygone régulier sur le cercle de rayon 1)

12^e cours — Lundi 18 novembre 2013

Chapitre 9 : Polynômes à coefficients réels ou complexes

• définitions : opérations + et x, dérivation, degré d'un polynôme (par convention deg 0 = -∞), polynômes constants, K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans K (K=R ou K=C), si P∈K[X] on note P(x) l'évaluation de P en x (où x∈K)
  
• proposition K[X] est un anneau commutatif
• théorème de la division euclidienne : pour tous polynômes A et B à coefficients dans K, avec B≠0, il existe un unique couple de polynôme (Q,R) à coefficients dans K tel que A=BQ+R et deg R < deg B
• exemple : pour A=X⁴+X+1 et B=X²-X+1, on a Q=X²+X et R=1 
• définition et proposition : déf. : a est racine de P si P(a)=0 ; prop. : on a alors P=(X-a)Q ; déf. : a est racine simple si Q(a)≠0 ; déf. : a est racine multiple d’ordre m si P=(X-a) ^mQ avec Q(a)≠0 ; prop. : a est racine multiple d’ordre m si et seulement si P(a)=0, P'(a)=0, P''(a)=0, ... , P^(m-1)(a)=0 et P^(m)(a)≠0
• théorème de d’Alembert : tout polynôme P à coefficient dans C a une racine dans C ; conséquence : tout polynôme P à coefficient dans C s'écrit de façon unique  P=c(x-a₁)^m₁...(X-a_r)^m_r avec c,a₁,...,a_r∈C et m₁+...+m_r=deg P
• proposition : si z∈C est racine d'un polynôme P∈R[X], alors le conjugué de z est aussi racine de P, avec le même ordre de multiplicité
• corrolaire : tout polynôme P à coefficient dans R s'écrit de façon unique  P=c(x-a₁)^m₁...(X-a_r)^m_r Q₁^n₁...Q_s^n_r où c,a₁,...,a_r∈C, Q₁,...Q_s sont des polynômes de degré 2 à coefficient réels sans racine réelle, et m₁+...+m_r+2(n₁+...+n_s)=deg P
• relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme

Questions de cours :

• énoncé de la propriété de la borne supérieure
• énoncé du théorème 1.15 des valeurs intermédiaires
• théorème 1.18 sur les suites adjacentes et la démonstration
• énoncé du théorème 1.21 des bornes atteintes
• construction par dichotomie, dans le théorème 1.21 des bornes atteintes, d'un point c de l'intervalle fermé I tel que f(c) soit la borne inférieur de f(I)
• théorème 2.12 sur les limites et les inégalités larges et la démonstration
• théorème 2.15 des gendarmes et la démonstration
• énoncé du théorème 2.17 sur le lien entre continuité et limite en un point et la preuve de : ( f continue en x=a ) ==> ( lim f(x) = f(a) quand x --> a )
• définition 3.1 de la dérivabilité par limite du taux d'accroissement
• définition 3.3 de la dérivabilité par existence d'un développement limité à l'ordre 1
• énoncé du théorème 3.11 sur la dérivabilité d'une fonction composée et savoir traiter un exemple
• énoncé du théorème 3.14 sur la dérivabilité d'une somme, produit ou quotient de fonctions dérivables et savoir traiter un exemple
• proposition 3.21 et sa démonstration : condition nécessaire pour que f(x) ait un extremum local en x=a
• énoncé du théorème 3.24 des accroissements finis
• théorème 3.35 : dérivabilité d'une fonction réciproque
• définitions de ln(x) et exp(x), et savoir calculer en le justifiant, la dérivée de exp(x)
• définition x^a, et savoir calculer en le justifiant, la dérivée de x^a
• énoncé et démonstration de la proposition 4.7 : limite de ln(x) / x quand x tend vers +∞
• énoncé de la proposition 4.10 sur les croissances comparées des fonctions ln(x), exp(x) et x^a
• définition des fonctions Arcsin Arcos Arctan sh ch th Argsh Argch Argth, domaines de définition, représentations graphiques, dérivabilité et dérivée
• calcul détaillé de la dérivée de Arcsin (x), Arccos (x) ou Arctan (x)
• définition du développement limité d'une fonction f(x), en x=a, à l'ordre n.
• théorème d'intégration d'un DL
• théorème de Taylor Young
• DL_n(0) des fonctions usuelles : exp(x) / sin(x) / cos(x) / sh(x) / ch(x) / 1/(1-x) / ln(1-x) / ln(1+x) / 1/(1-x²) / 1/(1+x²) / Arctg(x) / Arcth(x)
• savoir démontrer l'existence et la formule du DL_n(0) de exp(x) et de 1/(1-x)
• savoir déduire les DL₃(0) de ln(1-x) et ln(1+x), les DL₄(0) de 1/(1-x²) et 1/(1+x²), et les DL₅(0) de  Arctg(x), Arcth(x) à partir du DL₂(0) de  1/(1-x)
• savoir faire un calcul simple de produit ou de composition de DL en x=0 comme sin(x)*ch(x) et exp(sin(x)) à l'ordre 3
• théorème de Taylor Lagrange
• inégalité de Cauchy-Schwarz avec la démonstration
• inégalité triangulaire avec la démonstration
• théorèmes de résolution des équations différentielles linéaires (homogènes et non homogènes) avec les démonstrations
• définition de |z| et montrer que |zz’|= |z|.|z’|
• définition de exp(it) et montrer que exp(i(t+t’)) = exp(it) x exp(it’)
• racines n-ième de l'unité
• théorème de la division euclidienne
• racine d'un polynôme, ordre de multiplicité, caractérisation de l'ordre de multiplicité par l'annulation des dérivées
• factorisation des polynômes à coefficients réels