1M001 - Analyse et algèbre pour les sciences - UPMC 2014-2015

année précédente / année suivante

section MIPI 15 - Laurent KOELBLEN

Polycopié et feuilles d'exercices.

Les documents suivants servent de base pour les cours donnés en amphi. Ils ont été élaboré en 2013-2014 par Patrick Polo.

• Chapitre 1, R, borne supérieure et conséquences
• Chapitre 2, limite et continuité
• Chapitre 3, dérivabilité, théorème des accroissements finie, variations des fonctions
• Chapitre 4, fonctions usuelles
• Chapitre 5, développements limités

• Feuille d'exercices n°1, R, continuité, limites
• Feuille d'exercices n°2, dérivabilité, théorème des accroissements finie, variations des fonctions
• Feuille d'exercices n°3, fonctions usuelles, développements limités, formule de Taylor
• Feuille d'exercices n°4, équations différentielles linéaires du 1er ordre, plan affine, espace affine de dimension 3
• Feuille d'exercices n°5, nombres complexes
• Feuille d'exercices n°6, polynômes

À partir du 3 novembre 2014 (9^e cours) le cours s'appuie sur le polycopié de Sylvie Delabrière (Chapitres 8 à 12).

• polycopié de Sylvie Delabrière

Mise à jour :
Dimanche 16 novembre 2014, 14:30

Questions de cours pouvant être demandées en TD

• énoncé de la propriété de la borne supérieure
• énoncé du théorème 1.15 des valeurs intermédiaires
• énoncé du théorème 1.18 sur les suites adjacentes
• énoncé du théorème 1.21 des bornes atteintes
• construction par dichotomie, dans le théorème 1.21 des bornes atteintes, d'un point c de l'intervalle fermé I tel que f(c) soit la borne inférieur de f(I)
• énoncé du théorème 2.17 sur le lien entre continuité et limite en un point et la preuve de : ( f continue en x=a ) ==> ( lim f(x) = f(a) quand x --> a )
• définition 3.1 de la dérivabilité par limite du taux d'accroissement
• définition 3.3 de la dérivabilité par existence d'un développement limité à l'ordre 1
• énoncé du théorème 3.11 sur la dérivabilité d'une fonction composée
• énoncé du théorème 3.14 sur la dérivabilité d'une somme, produit ou quotient de fonctions dérivables
• théorème 3.24 des accroissements finis
• théorème 3.35 de l'application réciproque (continuité et dérivabilité de l'application réciproque)
• définitions, propriétés et tracés approximatifs des fonctions usuelles ln(x), exp(x), x^a (a réel quelconque)
• croissance comparée des fonctions exp(ax), x^b et ln(x)^c en + infini et en 0
• définitions, propriétés et tracés approximatifs des fonctions usuelles sin(x), cos(x), tan(x), Arcsin(x), Arccos(x), Arctan(x), sh(x), ch(x), th(x), Argsh(x), Argch(x), Argth(x)
• définition d'un DL
• théorème d'intégration d'un DL
• théorème de Taylor-Young
• DL des fonctions usuelles : 1/(1-x) ; 1/(1+x) ; ln(1+x) ; Arctan(x) ; Argth(x) ; exp(x) ; ch(x) ; sh(x) ; sin(x) ; cos(x) ; (1+x)^a
• théorème de Taylor-Lagrange
• savoir traiter un exemple simple de DL où intervienne : somme, produit, composition
• Définition et résolution d'une équation différentielle homogène
• Définition et résolution d'une équation différentielle sans second membre
• savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant dont le second membre est composé de xⁿ, exp(bx), sin(cx) et cos(cx)
• savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre par la méthode de variation de la constante
• l'ensemble des définitions et des propriétés portant sur les nombres complexes en particulier : exp(z) et les racines n-ième de l'unité

Nouvelles questions de cours (cours du 24 novembre 2014)

• théorème de la division euclidienne des polynômes
• multiplicité d'une racine : définition et caractérisation à l'aide des polynômes dérivés
• théorèmes de factorisation des polynômes dans C[X] et R[X]

1^er cours — Lundi 8 septembre 2014

Chapitre 1 : l'ensemble R des nombres réels, la propriété de la borne supérieure et ses conséquences

• description des ensembles de nombres N, Z, Q, propriétés de Q
• théorème 1.1 : existence et propriété de l'ensemble R des nombre réels, propriété de la borne supérieure
• définition 1.3 : majorant, minorant, caractérisation de la borne supérieure
• exemple 1.7 et remarque 1.8 : racine carrée de 2
• définiion 1.9 : valeur absolue
• définiion 1.10 : intervalles, intervalles ouverts, fermés, etc.
• définition 1.12 voisinages d'un point de R
• définition 1.13 : fonctions continues en un point
• définition 1.14 : fonctions continues sur un intervalle
• théorème 1.15 : théorème des valeurs intermédiaires (la démonstration sera reprise au prochain cours)

2^e cours — Lundi 15 septembre 2014

• théorème 1.15 : théorème des valeurs intermédiaires (démonstration)
• proposition 1.16 : convergence des suites croissantes majorées et décroissantes minorées
• théorème 1.18 : convergence des suites adjacentes
• théorème 1.21 : une fonction continue sur un intervalle fermée est bornée et atteint ses bornes

3^e cours — Lundi 22 septembre 2014

Chapitre 2 : limites et continuité

• définition 2.2 : limite d'une suite réelle
• définition 2.14 : point adhérents à un domaine D de R
• définitions 2.4 2.5 et 2.6 : limite finie ou infinie d'une fonction en point de R ou en plus ou moins l'infini
• théorème 2.7 : unicité de la limite
• théorème 2.17 : lien entre la continuité et la limite d'une fonction en un point de R
• théorème 2.8 et 2.11 : opérations algébriques sur les limites de suites et de fonctions

4^e cours — Lundi 29 septembre 2014

• théorème 2.12 : limites et inégalités larges
• théorème 2.15 : théorème des gendarmes
• définition 2.18 2.19 et 2.22 : limites à gauche, à droite, prolongement par continuité
• exemples : limites à gauche et à droite de E(x) en un entier n, de 1/x en 0
• exemple : prolongement par continuité de x.sin(1/x)

Chapitre 3 : dérivabilité

• définition 3.1 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par limite du taux d'accroissement
• remarque 3.7 interprétation graphique de la dérivabilité
• définition 3.3 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par l'existence d'un développement limité à l'ordre 1
• corollaire 3.6 : si f est dérivable en a, elle est aussi continue en a
• définitions 3.8 et 3.9 : fonctions dérivables sur un intervalle, dérivées successives, fonctions de classe Cⁿ, etc
• théorème 3.14 : dérivabilité d'une somme, produit ou quotient de fonctions dérivables (admis)
• théorème 3.11 : dérivabilité d'une fonction composée
• remarque 2.12 et proposition 3.13 : fonction dérivée de xⁿ ou n est un entier positif ou négatif
• corollaire 3.17 : dérivabilité d'une fonction polynomiale et d'une fraction rationnelle
• définition 3.19 : extremum local
• proposition 3.21 : condition nécessaire pour que f(x) ait un extremum local en x=a

5^e cours — Lundi 6 octobre 2014

• théorème 3.23 de Rolle
• théorème 3.24 des accroissements finis
• définition 3.27 : fonctions croissantes, décroissantes, monotones
• théorème 3.29 : caractérisation du sens de variation par le signe de la dérivée
• définition 3.32 : application réciproque
• théorème 3.35 de l'application réciproque (continuité et dérivabilité de l'application réciproque)

Chapitre 4 : fonctions usuelles

• 4.1 à 4.4 : définition et propriétés de la fonction logarithme
• 4.5 et 4.6 : définition et propriétés de la fonction exponentielle
• 4.9 : définition de la fonction puissance

6^e cours — Lundi 13 octobre 2014

• reprise :
  • 4.1 à 4.4 : définition et propriétés de la fonction logarithme
  • 4.5 et 4.6 : définition et propriétés de la fonction exponentielle
  • 4.9 : définition de la fonction puissance
• théorèmes de croissance comparées
  • proposition 4.7 : lim x/ln(x) en + infini et en 0
  • corrollaire 4.8 : lim exp(x)/x en + infini et en 0
  • proposition 4.10 : croissance comparée des fonctions exp(ax) x^b et ln(x)^c en + infini et en 0
• notation : avec e=exp(1) on a exp(x) = e^x
• introduction des fonctions sin(x) et cos(x)

7^e cours — Lundi 20 octobre 2014

• défintions et propriétés :
  • fonctions trigonométriques sin(x) et cos(x)
  • fonctions réciproques : Arcsin(x) et Arccos(x)
  • fonctions tan(x) et Arctan(x)
  • fonctions hyperboliques sh(x), ch(x) et th(x)
  • fonctions réciproques Argsh(x), Argch(x) et Argth(x)

8^e cours — Lundi 27 octobre 2014

Chapitre 5 : Développements limités et formules de Taylor

• Définition et proposition 5.1
• Définition 5.5 : notation « petit o »
• énoncé du théorème 5.7 : intégration d'un DL
• énoncé du théorème 5.8 de Taylor Young
• énoncé du théorème 5.19 de Taylor Lagrange
• Développement limités des fonctions usuelles : 1/(1-x) ; 1/(1+x) ; ln(1+x) ; 1/(1+x²) ; 1/(1-x²) ; Arctan(x) ; Argth(x) ; exp(x) ; ch(x) ; sh(x) ; sin(x) ; cos(x) ; (1+x)^a ; 1/√(1+x²) ; 1/√(1-x²) ; Argsh(x) ; Arcsin(x)

9^e cours — Lundi 3 novembre 2014

• démonstration du théorème 5.7 : intégration d'un DL
• démonstration du théorème 5.8 de Taylor Young
• démonstration du théorème 5.19 de Taylor Lagrange
• Opérations algébriques sur les développements limités : somme, produit, composition, exemples (le développement limité de 1/f(x) a été traité comme cas particulier du développement limité de 1/(1-u(x))
• Développement limités des fonctions usuelles : tan(x) et th(x) à l'ordre 5

Chapitre 8 (polycopié de Sylvie Delabrière) : équations différentielles linéaires d'ordre 1

• Définition 8.1.1 : équation différentielle homogène (aussi dite sans second membre)
• Théorème 8.1.2 : solutions d'une équation différentielle homogène
• Définition 8.2.1 : équation différentielle avec second membre
• Théorème 8.2.2 / Corollaire 8.2.3 / Proposition 8.2.4 : solutions d'une équation différentielle avec second membre
• (aucun exemple n'a été traité en cours : ce sera fait au prochain cours.)

10^e cours — Lundi 17 novembre 2014

• méthode dite de variation de la constante
• exemple
• solution d'une équation différentielle (E) y'-ay = b(x) — dite à coefficient constant — dont le second membre b(x) est somme et produit de fonctions puissances entières xⁿ, d'exponentielles exp(bx) et de fonctions trigonométriques sin(cx) et cos(cx)
• exemples

Chapitre 9 (polycopié de Sylvie Delabrière) : Le corps des nombres complexe et exponentielle complexe

• rappel des propriétés de + et x sur l'ensemble des nombres réels et rappel de la définition de la structure de corps
• définition : C = R² avec les opérations (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b') et (a,b) x (a',b') = (aa'-bb',ab'+ba')
• vérification de l'existence de l'élément neutre pour la multiplication et de l'existence d'un inverse de tout élément non nul.
• notations : (1,0)=1 (élément neutre de la multiplication), (0,1) = i, z=(a,b)=a+ib, i²=-1
• inclusion naturelle de R dans C, partie réelle, partie imaginaire, conjugué
• représentation géométrique des nombres complexes : affixe z d'un point M de R²
• module d'un nombre complexe : |z| est la distance OM
• argument d'un nombre complexe : angle entre l'axe Ox et la droite (OM)
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = |z| (cos t + i sin t)
• définition de exp(it) et de exp(a+ib)
• vérification de la formule exp(z+z') = exp(z) x exp(z') à l'aide des formules trigonométriques
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = r exp(it) où r est le module et t l'argument de z
• formules : exp(nz) = exp(z)ⁿ où n est un entier relatif
• racine n-ième de l'unité, solutions de l'équation zⁿ=1 : exp(2ikπ/n) où 0≤k<n (il y a exactement n racine)

Chapitre 11 : Polynômes à coefficients réels ou complexes

• définitions : opérations + et x, dérivation, degré d'un polynôme (par convention deg 0 = -∞), polynômes constants, K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans K (K=R ou K=C), si P∈K[X] et x∈K, on note P(x) l'évaluation de P en x
• proposition K[X] est un anneau commutatif
• théorème de la division euclidienne : pour tous polynômes A et B à coefficients dans K, avec B≠0, il existe un unique couple de polynôme (Q,R) à coefficients dans K tel que A=BQ+R et deg R < deg B
• exemple : pour A=X⁴+X+1 et B=X²-X+1, on a Q=X²+X et R=1 
• définition et proposition : déf. : a est racine de P si P(a)=0 ; prop. : on a alors P=(X-a)Q ; déf. : a est racine simple si Q(a)≠0 ; déf. : a est racine multiple d'ordre m si P=(X-a)^mQ avec Q(a)≠0 ; prop. : a est racine multiple d'ordre m si et seulement si P(a)=0, P'(a)=0, P''(a)=0, ... , P^(m-1)(a)=0 et P^(m)(a)≠0
• théorème de d'Alembert : tout polynôme P à coefficient dans C a une racine dans C ; conséquence : tout polynôme P à coefficient dans C s'écrit de façon unique  P=c(x-a₁)^m₁...(X-a_r)^m_r avec c,a₁,...,a_r∈C et m₁+...+m_r=deg P
• proposition : si z∈C est racine d'un polynôme P∈R[X], alors le conjugué de z est aussi racine de P, avec le même ordre de multiplicité
• corrolaire : tout polynôme P à coefficient dans R s'écrit de façon unique  P=c(x-a₁)^m₁...(X-a_r)^m_rQ₁^n₁...Q_s^n_s où c,a₁,...,a_r∈R, Q₁,...Q_s sont des polynômes de degré 2 à coefficient réels sans racine réelle, et m₁+...+m_r+2(n₁+...+n_s)=deg P
• Exemple : factorisation de X⁵-1 ; dans C[X] on a X⁵-1 = (X-1)(X-e^2iπ/5)(X-e^4iπ/5)(X-e^6iπ/5)(X-e^8iπ/5) ; dans R[X] on a X⁵-1 = (X-1)(X²-2cos(2π/5)X+1)(X²-2cos(4π/5)X+1)