1M002
1M002 Suite et intégrales, algèbre linéaire 2013-2014
Synopsis du cours, par Sylvie Delabrière: Synopsis (version du 11/1/14)
L'évaluation de cette UE est uniquement en CC. La note sera obtenue comme suit :
Il y aura deux examens partiels de 3h en amphi. Chacun de ces examens sera noté sur 28 et la somme donnera une note E sur 56.
Par ailleurs, il y aura chaque semaine en TD une interrogation de 5 à 10mn portant sur des questions de cours qui auront été indiquées dans les cours d'amphi. Chacune de ces interros sera notée sur 2 et il y en aura 10 d'où un total de 20 points. Il y aura aussi pendant les TD, la semaine précédant chacun des 2 partiels en amphi, un devoir de 1h ou 1h30, noté sur 12 points. Comme 20 + 12 + 12 = 44, la somme de ces évaluations en TD donnera une note C sur 44.
Enfin, la note finale F sur 100 sera le sup de E+C et de 100 E/56, c'est-à-dire que les évaluations en TD ne peuvent qu'améliorer la note finale.
Pour tous les contrôles et examens: Aucun document autorisé. Calculatrices et téléphones portables interdits.
Devoir 1, groupes 23.2-3-5 (mercredi 26/2, 10h45)   Devoir 1, groupes 23.1-4 (jeudi 27/2, 13h45)
Examen partiel MIPI 21, 22, 23 du 8 mars   Corrigé
Devoir 2, tous groupes MIPI 23 (mercredi 9/4, 9h-10h30)   Corrigé du devoir 2
Pour tous les groupes de MIPI 23 le Devoir 2 aura lieu pendant un créneau d'amphi, le mercredi 9 avril, 9h-10h30 amphi B1
Polycopié pour l'amphi MIPI 23: page de couverture  table des matières (version du 24/3/14)
Chapitre 1 (version du 15/1/14 avec ajout de la déf. de idX)
Chapitre 2 (v. du 27/1/14: diffère de celle du 25/1 par l'ajout au début de 2.3.1 de quelques phrases sur la valeur initiale x(t0) et l'ajout des numéros 2.17, 2.18 (déterminants 2 x 2) et 2.19 (conditions initiales). v. du 29/1: dans l'exo. 2.22 correction de +6un en -6un)
Chapitre 3 (v. du 14/2/14: coquilles corrigées le 11/2: dans 3.26 l'égalité correcte est t(AB) = tB tA et dans 3.5.1, trois lignes en-dessous de (S), -b y1 corrigé en -c y1 et le 14/2 dans 3.51: dét. inchangé dans le cas (c 2) ou (l 2), et multiplié par alpha dans le cas (c 1) ou (l 1). )
Chapitre 4 (version provisoire (et presque finale) du 2/3/14)
Chapitre 5 version du 3/4/14. Corrections par rapport à celle du 17/3: dans 5.36 (2) remplacer -1/(X-1) par -1/(X+1) dans chaque ligne de la formule 1/Q(X) = ..., et dans la 3ème ligne remplacer -2X-2 par -X-2 et 2X-2 par X-2). Ajouts le 24/3: remarque 5.39 sur la décomp. en éléments simples et Section 5 sur les sommes de Riemann (et de Darboux). Le 3 avril: correction de coquilles dans la preuve de 5.26 et 5.27, signalées par P. Charollois.
Chapitre 6 (version du 24/3/14)
Chapitre 7 (version du 3/4/14) Le 3 avril: corrections signalées par Chemsedine Bchir et Anas Ezouhri (merci à eux!): dans 7.3(i) les vecteurs u(ei) sont exprimés dans la base C (et non B!). Dans 7.5 l'application linéaire de F dans G est notée v (et non g!). Dans 7.13(ii) la matrice de passage P est inutile.
Feuilles de TD: MIPI23-ev-al  esp. vect. et applic. linéaires (v. du 25/1 avec 2 typos corrigés dans les exos 3, 4 et question 10.1 récrite)
MIPI23-ed-slr  équa. diff. et suites récurrentes linéaires (v. du 30/1 avec coquilles corrigées dans 6.2, 8.2, 9.2, 9.5 et dans l'exo 5 correction de +6un en -6un)
MIPI23-mat-sys-det.pdf  matrices, systèmes linéaires, déterminants (v. du 12/2 avec exo 1 modifié et indication ajoutée dans l'exo 6)
MIPI23syst-inv-BWC.pdf  systèmes linéaires, calculs d'inverses de matrices, début des exos sur les suites
MIPI23-suites.pdf  exos sur les suites récurrentes (+ un exo (**) démontrant que le corps C est algébriquement clos) (version du 27/2)
MIPI23-int.pdf  exos sur primitives et intégrales
MIPI23-int2.pdf  2ème feuille d'exos sur primitives et intégrales
MIPI23-chgtbase.pdf  exos sur changements de bases, polynômes caractéristiques et diagonalisation (version du 1/4 avec une correction dans 3.4 et quelques modifs dans les exos 3 et 4)
MIPI23-diago.pdf  exos sur réduction des endomorphismes (= diagonalisation) et applications. version du 9 avril : Exo 3 encore récrit, en particulier A remplacée par sa transposée (chaque colonne a pour somme 1) et corrections dans l'Exo 6 signalées par Alexis Chevalier (merci à lui!).
MIPI23-diagobis.pdf  l'exo 3 de la feuille précédente repris avec des valeurs numériques explicites
Groupe 23.5: à compter du 12/2/14, les interros de cours dans le groupe 23.5 auront lieu aléatoirement mercredi ou jeudi.
Déroulement du cours pour l'amphi MIPI 23:
cours 1 du 15/1/14: "Rappel" sur la notion de groupe abélien, d'anneau commutatif (exemples: Z,Q,R,C) ou non commutatif (exemple: l'anneau de matrices Mn(R) pour n > 1), de corps commutatif (exemples: Q,R,C). Dans toute la suite, on dira simplement "corps" au lieu de "corps commutatif" et l'on désignera par K un corps. (On ne perd rien à supposer que K = R ou C.)
On a défini les notions de K-espace vectoriel, de combinaison linéaire, de sous-espace vectoriel, et donné des exemples.
On a défini les applications linéaires et endomorphismes, la notion d'application injective, le noyau Ker(f) d'une application linéaire. On a ensuite défini les notions de valeurs propres, espaces propres et vecteurs propres d'un endomorphisme. Une précision: pour tout ensemble V (par exemple un esp. vect.) on note idV l'application identité de V, définie par idV(x) = x pour tout x de V.
Enfin on a démontré que la composée de deux applications linéaires est une application linéaire. (Cette démonstration est une question de cours).
cours 2 du 16/1/14: On a terminé le chap.1 du poly, à l'exception du numéro 1.34 Coordonnées dans une base. De façon plus détaillée, on a donné les définitions de famille libre ou liée, famille génératrice, base, (ce sont 3 questions de cours) démontré la proposition-clé 1.28, puis défini les familles libres maximales ou génératrices minimales et montré que ce sont des bases. Puis on a énoncé et démontré le "théorème fondamental des espaces vectoriels de dimension finie" 1.32. Son énoncé est une question de cours.
cours 3 du 22/1/14: On a fini le chap.1, en définissant les coordonnées dans une base. Puis, pour les fonctions d'un intervalle I de R à valeurs dans C, on a introduit les notions de dérivabilité et de primitive. Puis on a introduit la technique de "Primitivation par parties" souvent appelée "Intégration par parties" (IPP) et on l'a illustrée par le calcul des primitives d'une exponentielle multipliée par un polynôme. On a ensuite étudié le cas d'une exponentielle fois un cosinus (ou sinus) et montré l'usage que l'on peut faire des nombres complexes, en particulier de l'exponentielle complexe exp(ibt) = cos(bt) + i sin(bt). Une Q. cours sur l'exp. complexe (2.5). Puis on a appliqué cela en revenant sur les Equations Différentielles Linéaires (EDL) du 1er ordre à coeff. constants, déjà vues en 1M001: Q. cours (2.7).
cours 4 du 23/1/14: On a étudié les EDL du 2ème ordre à coeff. constants, d'abord dans le cas "homogène": Th. 2.9 (Q. cours), puis dans le cas où le second membre est la partie réelle d'une exponentielle complexe: Th. 2.16 (Q. cours). Enfin, on a énoncé le Th. 2.18 et la Prop. 2.20 sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 2. La démonstration sera donnée au prochain cours, et ce seront des Q. cours pour la semaine du 3 février.
cours 5 du 29/1/14: On a traité le parag. 2.4 sur les suites réc. linéaires d'ordre 2. Deux questions de cours: Th.2.21 lorsqu'il y a deux racines (distinctes ou égales) dans le corps K et Prop. 2.23 lorsque K = R et qu'il y a deux racines complexes conjuguées non réelles.
Puis on a commencé le chap.3. On a défini l'espace vectoriel Mp,q(K) des matrices à p lignes et q colonnes à coeff. dans K, puis on a défini la multiplication des matrices (Q.cours). Puis on a montré que celle-ci est bilinéaire, associative, et que la matrice identité est l'élément unité de Mn(K). Finalement, ceci n'est pas une question de cours!
cours 6 du 30/1/14: On a donné la définition d'une K-algèbre et expliqué que les propriétés précédentes se résument en disant que Mn(K) est une K-algèbre.
Puis on a défini l'application linéaire de Kn vers Kp associée à une matrice A dans Mp,n(K) (Prop. 3.8, Q. cours). Puis on a énoncé simultanément la définition de l'image et du rang d'une application linéaire, et le Théorème du rang (3.9-10, Q. cours). Puis on défini le noyau, l'image et le rang d'une matrice A, et montré que ce rang est égal au nombre maximum de colonnes de A qui sont linéairement indép. (Déf-Prop. 3.11, Q.cours).
Enfin, on a donné la définition des systèmes linéaires (homogènes ou avec second membre) et de leur écriture matricielle AX = b. On a défini le rang du système (et du système homogène associé) comme le nombre maximum d'équations linéairement indép., c.-à-d. comme le nombre maximum de lignes de A qui sont linéairement indép. (ceci sera une Q. cours pour la semaine du 9 fév.). On n'a pas énoncé le th. 3.13, qui sera vu la prochaine fois.
Mais l'on a introduit la notion d'opérations "autorisées" sur les lignes du système (ou les lignes de A): (1) multiplier une ligne par un scalaire non nul, (2) ajouter à la ligne Li un multiple d'une autre ligne Lj, (3) échanger 2 lignes. On a illustré ceci par la résolution explicite d'un système 3 x 3 avec second membre. On reprendra cette méthode d'opérations sur les lignes (du système ou de la matrice) dans le cas d'un système quelconque de p équations à n inconnues lors du prochain cours.
cours 7 du 5/2/14: On défini la notion de sous-espace affine d'un esp. vect. V (de direction le sev E), cf. Déf. 2.12 du Chap.2, puis on a démontré le Th. 3.13: le système à p équations et n inconnues (*) AX = b admet des solutions si et seulement si b appartient à Im(A); dans ce cas l'ensemble des solutions est un espace affine de direction Ker(A) (Q. cours). Puis on a expliqué l'algorithme du pivot de Gauss sur les lignes de la matrice augmentée (A | b). Ceci conduit à une matrice augmentée (A' | b') où les r premières lignes de la matrice A' sont échelonnées, les suivantes nulles, et où chaque coefficient de b' est une combinaison linéaire des coefficients de b. Alors le système a des solutions si et seulement si tous les coefficients de b' dans les lignes r+1 à p sont nuls, et dans ce cas on détermine Ker(A) et une solution particulière de (*) en résolvant le système échelonné A'X = 0 resp. A'X = b'. De plus, r égale le rang du système (nombre max. de lignes de A lin. indép.) et aussi le rang de A (nombre max. de colonnes de A lin. indép.). Tout ceci forme une question de cours: Th. 3.28 et Cor. 3.24 (et aussi les cas particuliers Prop.3.17 et 3.18 énoncées en cours de démonstration). Puis on a défini la transposée d'une matrice et reformulé 3.24 en disant que: A et sa transposée ont même rang (3.25, Q. cours). Enfin, on a introduit les déterminants 2 x 2 (parag. 3.5.1).
cours 8 du 6/2/14: On a commencé l'étude des déterminants n x n (à coefficients dans un anneau commutatif K) en énonçant le Th.3.33. Avant de commencer la preuve, on a démontré la Prop.3.34: le déterminant est multiplicatif, i.e. dét(AB) = dét(A)dét(B) (Q. cours). Puis on a énoncé et démontré la Prop.3.36 (Q. cours).
cours 9 du 12/2/14: On a démontré l'existence et l'unicité du déterminant, développement suivant une colonne ou une ligne (3.39, Q. cours). Puis on a introduit la notion de matrice inversible (3.44, Q. cours) et démontré que AA' = In = A'A, où ici A' désigne la transposée de la matrice des cofacteurs. Ce résultat est une Q. cours ainsi que tout le contenu de la Prop. 3.45.
cours 10 du 13/2/14: On a prouvé que A et sa transposée ont même déterminant (3.43, Q. cours), et que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes diagonaux (3.49, Q. cours). Lorsque K est un corps, calcul d'un déterminant par opérations sur les lignes ou les colonnes, et algorithme pour déterminer si une matrice est inversible et, si oui, calculer son inverse. Ces deux algorithmes (3.53 et 3.55) sont des Questions de cours.
cours 11 du 19/2/14: Définition de la notion de suite extraite (4.1), des disques et carrés ouverts ou fermés dans C (4.4), de la convergence d'une suite complexe (4.6), de la notion de partie bornée de C (4.8) puis Théorème de Bolzano-Weierstrass (4.9). Ce théorème est une question de cours, ainsi que le corpus de définitions qui va avec. Puis, comme application de ce théorème, on a énoncé et démontré le point (i) du Théorème des bornes atteintes (4.12), qui est également une Q. de cours (le point (ii) n'a pas été énoncé en amphi et peut être omis de la question de cours). On a terminé la séance en commençant à expliquer qu'on peut déduire du théorème des bornes atteintes une démonstration du fait que tout polynôme P à coefficients dans C, non constant, admet au moins une racine dans C. Faute de temps, ceci n'a pas été poursuivi dans la séance suivante et sera inclus dans les feuilles d'exercices.
cours 12 du 20/2/14: On a donné la définition des suites de Cauchy (Q. cours), puis montré que toute suite réelle ou complexe qui est de Cauchy est convergente (Q. cours). Comme application de ceci, on a introduit la notion d'application k-contractante (pour un réel k tel que 0 < k < 1) et démontré le Théorème du point fixe (Q. cours).
Puis on a commencé l'étude des suites récurrentes (non linéaires!) un+1 = g(un), où g est une fonction dérivable, en traitant l'exemple de la suite un+1 = (1/2)(un + N/un) qui converge très rapidement vers la racine carrée de N, si l'on part d'un u0 plus grand que cette racine carrée.
cours 13 du 26/2/14: On a terminé l'étude des suites récurrentes (non linéaires) un+1 = f(un), où f est une fonction dérivable envoyant un intervalle I de R dans lui-même. On a dessiné au tableau 4 "escargots" au voisinage d'un point fixe c de f, correspondant aux cas où f est décroissante ou croissante, et où la valeur absolue de f'(c) est < 1 ou > 1. Il faut savoir dessiner ces escargots, qui peuvent être considérés comme une question de cours. Puis on a énoncé et démontré les résultats visibles sur ces dessins, cf. le Synopsis, Chap.3, numéros 3.2.2, 3.2.3, 3.3.1, 3.3.5, 3.3.8 à 3.3.10. De plus, on a traité le cas particulier où f'(c) = 0 et démontré le:
Théorème. Soient I un intervalle fermé borné de R, f une application de classe C2 de I dans I, c un point fixe de f. On suppose que f'(c) = 0. Soit M le maximum de |f''| sur I. Alors pour tout x dans I, (M/2) |f(x) - c| est majoré par (M |x-c|/2)2. Par conséquent, pour tout terme initial u0 dans I, les termes de la suite définie par un+1 = f(un) vérifient: (M/2) |un - c| est majoré par (M |u0-c|/2)2n et donc si M |u0-c|/2 < 1 alors la suite converge très vite vers c.
cours 14 du 27/2/14: On a appliqué le théorème qui précède à la méthode de Newton pour résoudre une équation g(x) = 0 au moyen d'une certaine suite récurrente un+1 = f(un) et l'on est revenu sur l'exemple où g(x) = x2 - N et f(x) = (1/2)(x + N/x), auquel cas la suite définie par un+1 = f(un) converge très rapidement vers la racine carrée de N, si l'on part d'un u0 plus grand que cette racine carrée.
Puis on a commencé le chap.5 sur l'intégrale de Riemann. Soient a < b dans R, I l'intervalle fermé borné d'extrémités a et b, et f une fonction continue sur I à valeurs dans R. Tenant pour acquise la notion d'aire (algébrique) "sous la courbe", on a démontré le "théorème fondamental du calcul différentiel": l'application qui à tout u dans I associe l'aire algébrique délimitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales d'abscisses a et u est dérivable, de dérivée f. Puis on a expliqué que la notion "d'aire sous la courbe" n'allait pas de soi, par exemple pour la fonction f de I dans R définie par f(x) = 1 si x est rationnel et f(x) = 0 sinon, et que pour définir rigoureusement l'intégrale, il va falloir passer par les définitions (et démonstrations) techniques utilisant les fonctions en escalier. On a défini la notion de subdivision de I, de subdivision plus fine qu'une autre, de fonction en escalier, et de subdivison associée à une fonction en escalier.
cours 15 du 5/3/14: On a poursuivi la construction de l'intégrale de Riemann, en suivant de près le poly LM115 de J.-L. Journé: on a défini l'intégrale d'une fonction en escalier sur I et montré que cela ne dépendait pas de la subdivision associée choisie. Puis on a démontré le:
Théorème: (i) L'ensemble E des fonctions en escalier sur I est un R-espace vectoriel.
(ii) L'application de E dans R qui à une fonction en escalier f associe son intégrale I(f) est: (1) linéaire et (2) croissante c.-à-d., si f(x) est inférieur ou égal à g(x) pour tout x dans I, alors I(f) est inférieur ou égal à I(g).
On a aussi démontré la relation de Chasles. Puis, pour une fonction bornée f de I dans R, on a défini ses intégrales inférieure I_(f) et supérieure I+(f) et donné la:
Définition: f est intégrable au sens de Riemann sur I si et seulement si I_(f) = I+(f).
Puis l'on a montré que les intégrales inférieure et supérieure vérifient la relation de Chasles, et qu'on a la:
Proposition: notons m (resp. M) la borne inférieure (resp. supérieure) des f(x) quand x parcourt l'intervalle ouvert d'extrémités a et b. Alors on a les inégalités larges (notées =<) suivantes:
(b-a) m =< I_(f) =< I+(f) =< (b-a) M.
Enfin, on a énoncé le théorème fondamental ci-dessous, qui est une Q. de cours:
Théorème fondamental du calcul intégral. Soit f une fonction bornée de I dans R. On suppose que f admet en tout point intérieur x de I une limite à gauche f(x_) et une limite à droite f(x+). Alors f est intégrable sur tout intervalle contenu dans I et l'application F qui à tout x de I associe l'intégrale de f sur l'intervalle d'extrémités a et x, est continue sur I et dérivable à gauche et à droite en tout point intérieur de I, sa dérivée à gauche (resp. à droite) en x étant f(x_) (resp. f(x+)).
cours 16 du 6/3/14: Fin de la démonstration du th. fondamental, puis propriétés de l'intégrale: linéarité, croissance, passage de f à sa valeur absolue, encadrements, formule de la moyenne.
cours 17 du 12/3/14: Intégration par parties, formule de Taylor avec reste intégral, formule de changement de variable. Puis primitives de certaines fractions rationnelles simples, cf. tableau 5.4.1 du polycopié.
cours 18 du 13/3/14: Début du chap.7 sur l'anneau des polynômes sur un corps K: définition des polynômes irréductibles, théorème: tout idéal est principal, théorème de Bézout, Lemme de Gauss, théorème: tout polynôme s'écrit de façon unique comme produit de son coefficient et d'un produit de polynômes irréductibles unitaires. Définition du corps des fractions rationnelles, du degré d'une fraction rationnelle non nulle et de l'expression sous forme irréductible d'une telle fraction.
cours 19 du 19/3/14: Théorème 6.20 de décomposition d'une fraction rationnelle en somme d'éléments simples. On a énoncé le théorème et démontré l'existence. L'unicité n'a pas été vue en cours. Puis cas particulier où K = R: Th. 5.33, retour sur le tableau 5.4.1, et résultats utiles pour la décomposition en éléments simples: 5.34 à 5.39. Puis définition des sommes de Riemann ou de Darboux. Le théorème 5.43 sur la convergence des sommes de Riemann a été admis dans le cas général, et démontré dans le cas C1 (Th. 5.44).
cours 20 du 20/3/14: Début du chap.7: Applications linéaires et matrices. Etant donnée une base B d'un espace vectoriel V de dimension n, définition de la matrice qui exprime (en colonnes) les vecteurs v1, ..., vr dans la base B. Dans le cas particulier où r = n et les vecteurs v1, ..., vn forment une autre base B' de V, on obtient la matrice de passage P de B à B' (Déf. 7.6).
Slogan: "une application linéaire est déterminée par les images des vecteurs d'une base, qui peuvent être choisies arbitrairement". Puis, pour une application linéaire u de E dans F, définition de sa matrice A dans des bases: B au départ et C à l'arrivée, et expression matricielle Y = AX (Th. 7.3). Cas particulier des endomorphismes: on peut prendre la même base à l'arrivée et au départ.
Théorème fondamental 7.5 sur la matrice d'une composée. Puis formules de changement de base (7.8) et de changement de coordonnées X = PX' (7.9). Définition de la trace d'un endomorphisme (7.11).
cours 21 du 26/3/14: Dans ce qui suit on fixe un endomorphisme u d'un espace vectoriel E de dimension finie. Définition du déterminant et du polynôme caractéristique Pu(X) de u (7.13), critères pour que u soit inversible (7.14), Déf-Prop. 7.17: les valeurs propres de u sont les racines de son polynôme caractéristique, définition des multiplicités algébrique et géométrique.
cours 22 du 27/3/14: Démonstration du fait que la multiplicité géométrique est inférieure ou égale à la multiplicité algébrique et exemple où l'inégalité est stricte. Puis définition de la notion de sous-espaces vectoriels en somme directe (7.18),
Théorème 7.19: les espaces propres correspondant à des valeurs propres deux à deux distinctes sont en somme directe.
Définition des endomorphismes ou matrices diagonalisables (7.20 et 7.21) et des polynômes scindés (7.22). Puis:
Théorème 7.23: u est diagonalisable si et seulement si Pu(X) est scindé et pour chaque racine les multiplicités géométrique et algébrique sont égales.
Corollaire: si Pu(X) n'a que des racines simples, alors u est diagonalisable et chaque espace propre est de dimension 1.
Complément fait en cours mais pas dans le poly: si u est annulé par un polynôme scindé Q sans racines multiples alors u est diagonalisable et ses valeurs propres sont parmi les racines de Q. (Les espaces propres ne sont pas nécessairement de dimension 1: par exemple pour u = l'application identité de E, annulée par le polynôme X-1.)
cours 23 du 2/4/14: Applications de la diagonalisation: calcul de An, suites récurrentes linéaires à valeurs vectorielles Xn+1 = A Xn, équations différentielles linéaires (du 1er ordre) à valeurs vectorielles X' = A X. Puis définition des projecteurs = endomorphismes p de V tels que p2 = p : alors V est somme directe de Ker(p) et de Im(p), et ce dernier est l'espace propre pour la valeur propre 1. Exemples géométriques dans V = Rn avec n = 2 ou 3 : étant donnés deux sev D et E dont V est la somme directe, définition géométrique de la projection p sur D parallèlement à E (Ker(p) = E et Im(p) = D) et de la projection q sur E parallèlement à D (Ker(q) = D et Im(q) = E).
cours 24 du 3/4/14: (dernier cours) (Prévisions) Pour un corps K dans lequel 2 est non nul (par ex. K = R ou C), diagonalisabilité des "symétries" = endomorphismes s de V tels que s2 = id : alors V est la symétrie par rapport à Ker(s - id) parallèlement à Ker(s + id). Exemples géométriques dans V = Rn avec n = 2 ou 3 : étant donnés deux sev D et E dont V est la somme directe, définition géométrique de la symétrie par rapport à D parallèlement à E et de la symétrie par rapport à E parallèlement à D.
Dans Rn muni du produit scalaire standard, cas particuliers des projections orthogonales et des symétries orthogonales. Enfin, si le temps le permet, définition d'une application bilinéaire symétrique positive sur un R-espace vectoriel V et démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, puis application lorsque V est l'espace des fonctions réelles intégrales sur un segment fermé.

Questions de cours pour l'amphi MIPI 23 à la date du 13/2/14:
(1) Donner la définition des notions de K-espace vectoriel et de sous-espace vectoriel.
(2) Donner la définition des notions d'application linéaire et d'endomorphisme.
(3) Donner la définition d'une application injective et du noyau d'une application linéaire, puis énoncer le lien entre ces deux notions.
(4) Donner la définition de: valeurs propres, espaces propres et vecteurs propres d'un endomorphisme.
(5) Démontrer qu'une composée d'applications linéaires est linéaire.
(6) Définition d'une famille libre et d'une famille liée.
(7) Définition d'une famille génératrice.
(8) Donner les 2 définitions d'une base B (tout vecteur s'écrit de façon unique comme comb. linéaire des éléments de B, ce qui équivaut à: B est génératrice et libre).
(9) Enoncer le "théorème fondamental des esp. vect. de dimension finie" 1.32. Cette question peut éventuellement être fractionnée, par exemple: Soit V un esp. vect. de dimension n. Que peut-on dire du cardinal d'une famille libre dans V? d'une famille libre de cardinal n? du cardinal d'une famille génératrice de V? d'une famille génératrice de cardinal n? Ou: "Enoncer le Th. de la base incomplète". Ou: Soit E un sev de V. Que peut-on dire de dim(E)? Que peut-on dire si dim(E) = n?
(10) Prop. 2.5: pour un nombre complexe z = a + ib (avec a,b dans R), connaître la définition de l'exponentielle complexe exp(zt) = exp(at)(cos(bt) + i sin(bt)), connaître sa dérivée, et connaître les solutions de l'équa. diff.: f'(t) = zf(t).
(11) Prop. 2.7: pour a dans R et z dans C, et P un polynôme à coeff. réels, connaître les solutions complexes de x'(t) - a x(t) = exp(zt) P(t), et savoir calculer leur parties réelles et imaginaire lorsque P est une constante (Prop. 2.6 (i))
(12) Th. 2.9: connaître les solutions réelles ou complexes d'une équa. diff. linéaire (EDL) du second ordre (à coeff. constants réels) sans second membre.
(13) Th. 2.16: connaître les solutions complexes d'une équa. diff. linéaire (EDL) du second ordre (à coeff. constants réels) lorsque le second membre est de la forme k exp(z t), avec k dans R et z dans C.
(14) Th. 2.21 + Exo 2.22: lorsque le polynôme associé a deux racines dans K (distinctes ou non), savoir déterminer le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 dont les termes initiaux sont donnés.
(15) Prop 2.23 + Exo 2.24: idem lorsque K = R et que le polynôme associé a deux racines complexes conjuguées non réelles.
(16) Déf. 3.3: connaître la formule générale pour un produit de matrices, et savoir calculer un produit de matrices 3 x 3.
(17) Prop. 3.8: connaître la définition de l'application linéaire f associée à une matrice A et la valeur de f sur un vecteur ej de la base canonique.
(18) Déf. 3.9 et Th. 3.10: connaître la définition du rang d'une application linéaire f et savoir énoncer le théorème du rang.
(19) Déf.-Prop. 3.11: connaître la définition du noyau, de l'image et du rang d'une matrice A et savoir exprimer le rang de A en fonction des colonnes de A.
(20) Définition d'un sous-espace affine et énoncé du Th. 3.13.
(21) Savoir dessiner une matrice échelonnée et savoir énoncer le Th.3.28, et ses cas particuliers: Prop.3.17 et 3.18.
(22) Connaître la définition de la transposée de A et savoir énoncer le Cor. 3.25.
(23) Savoir que le déterminant est multiplicatif, i.e. dét(AB) = dét(A)dét(B), connaître les deux slogans énoncés dans la Prop. 3.36 et savoir les appliquer sur un exemple.
(24) Connaître les formules de développement suivant une ligne ou une colonne, et savoir les utiliser par exemple pour un déterminant 4 x 4.
(25) Connaître la définition de la matrice des cofacteurs de A, notée ici A', et savoir que l'on a les égalités AA' = dét(A) In = A'A et donc que A est inversible si et seulement si dét(A) est un élément inversible de K.
(26) Savoir que dét(A) = dét(tA) et savoir que le déterminant d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit des termes diagonaux.
(27) Lorsque K est un corps, savoir comment le déterminant est modifié lorsqu'on fait des opérations sur les lignes ou les colonnes (Prop. 3.51), et si A est dans Mn(K), savoir que dét(A) est non nul si et seulement si A est de rang maximum n.
(28) Algorithme de calcul: lorsque K est un corps, savoir calculer un déterminant n x n (avec n = 3,4 ou 5) en faisant des opérations sur les lignes et/ou les colonnes (Rem. 3.53).
(29) Algorithme de calcul: lorsque K est un corps et A est dans Mn(K), savoir faire des opérations sur les lignes du couple (A | In) pour déterminer si A est inversible et, si oui, calculer son inverse (Prop. 3.55), et savoir le faire, par exemple, pour une matrice 4 x 4.
(30) Théorème de Bolzano-Weierstrass et le corpus des définitions qui vont avec (i.e. on pourra demander la définition de la convergence d'une suite complexe, ou d'une partie bornée de C, ou d'une suite extraite).
(31) Savoir énoncer le théorème des bornes atteintes, pour une fonction continue sur un disque ou carré fermé de C, à valeurs dans R.
(32) Connaître la définition d'une suite de Cauchy et savoir que toute suite de Cauchy réelle ou complexe est convergente.
(33) Connaître la définition d'application k-contractante (pour un réel k tel que 0 < k < 1) et savoir énoncer le théorème du point fixe pour une telle application.
(34) Etant donnée une application f de classe C1 envoyant un intervalle I dans lui-même, savoir dessiner au voisinage d'un point fixe c de f les "escargots" associés à une suite récurrente un+1 = f(un), et savoir que si f est croissante alors u est monotone, tandis que si f est décroissante alors les suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones de sens contraires.
(35) Savoir énoncer le "théorème fondamental du calcul intégral", sous la forme élaborée du Th. 5.15, ou simplement dans le cas où f est supposée continue sur I (Th. 5.17).
(36) Pour a < b, savoir démontrer que si f est continue et positive et d'intégrale entre a et b égale à 0, alors f = 0. (Prop. 5.22)
(37) Connaître et savoir appliquer la méthode d'intégration par parties (Th. 5.24).
(38) Connaître et savoir appliquer le théorème de changement de variable (Th. 5.29).
(39) Connaître et savoir appliquer le théorème de décomposition en éléments simples dans R(X) (5.33 + 5.34)
(40) Connaître les primitives des éléments simples (Tableau 5.4.1).
(41) Connaître la définition des sommes de Riemann (5.41) et savoir qu'elles convergent vers l'intégrale (Th. 5.43 et 5.44).
(42) Savoir démontrer que l'anneau des polynômes sur un corps K est principal (Th. 6.11).
(43) Connaître la définition d'une fraction rationnelle irréductible et du degré d'une fraction rationnelle (6.18).
(44) Connaître et savoir utiliser la matrice d'une application linéaire dans des bases, et la formule matricielle Y = AX (Th. 7.3).
(45) Connaître le théorème fondamental sur la matrice d'une composée (Th. 7.5).
(46) Connaître la définition d'une matrice de changement de base et les formules de changement de bases: 7.8(i) en général et 7.8(ii) pour un endomorphisme avec la même base au départ et à l'arrivée.
(47) Connaître de la matrice de changement de base P et la formule de changement de coordonnées X = PX' (7.9).
(48) Connaître la définition de la trace, du déterminant et du polynôme caractéristique d'un endomorphisme (7.11 et 7.13).
(49) Savoir que valeurs propres de u = racines de Pu(X) et connaître l'inégalité entre multiplicités géométrique et algébrique.
(50) Connaître et savoir appliquer le théorème de diagonalisabilité (Th.7.23).