1M025
1M025 printemps 2017
Evaluation du cours: il y aura un partiel (30 pts) le mercredi 19 avril 13h45-15h45 dans le créneau de TD. Ci-dessous un devoir à la maison pour se préparer au partiel:
DM pour le 19/4/17 et son corrigé: DM corrigé
La version ci-dessous du partiel (et de son corrigé) rectifie une erreur dans la formulation de la question 1.6.
Partiel du 19/4/17 et son corrigé: Partiel corrigé plus une figure: Partiel figure
L'examen final (70 pts) est prévu le vendredi 12 mai 14h-16h Amphi 15.
Notes de cours
Partie 1: Nombres complexes et équations différentielles linéaires (EDL) d'ordre 1 ou 2 à coefficients constants.
La partie sur les nombres complexes est standard, sauf la digression sur l'exponentielle complexe pour laquelle on renvoie à la feuille Exp complexe plus bas.
Pour la partie sur les EDL d'ordre 1 ou 2 à coefficients constants, le cours s'est basé sur le polycopié ci-dessous (chap.2 du cours 1M002 enseigné par l'auteur en 2013-14). (Ce polycopié sera récrit ultérieurement, sous une forme simplifiée.)
EDL (version provisoire du 22/2/17)
Partie 2: Champs de vecteurs et étude qualitative des équations différentielles.
Dans le polycopié ci-dessous, on introduit la notion de champ de vecteurs dans R2, celle d'ouvert de R2 et celle de fonction de deux variables continue ou de classe C1, puis l'on énonce le théorème de Cauchy-Lipschitz. On démontre ensuite des résultats sur les barrières, entonnoirs et anti-entonnoirs. On étudie ensuite en détail le cas de l'équation différentielle y'(t) = y(t)2 - t.
Barrières et fichier de figures: Figures (v. du 9/5/17 avec coquilles corrigées, détails ajoutés dans la preuve de 2.8, un ajout à la fin sur la fonction d'Airy. Le 9 mai: une coquille corrigée dans 1.5.)
Partie 3: Graphes, matrices et vecteurs propres.
On étudiera le fonctionnement du moteur de recherche Google (algorithme PageRank) en se basant sur les textes qu'on trouve sur la page de Michael Eisermann à Stuttgart:
Comment fonctionne Google ?
On poursuivra avec le théorème de Perron-Frobenius pour une matrice strictement positive, voir les références plus bas.
Feuilles de TD: TD1 (v. du 22/2/17) TD2 (v. du 1/3/17) TD3 (v. du 9/3/17)
Compléments sur l'exponentielle complexe: Exp complexe (version du 22/2/17)
Avancement du cours:
Cours 1 et 2 (22/2/17): Nombres complexes: forme a+ib, conjugaison complexe et valeur absolue, inégalité triangulaire admise, parties réelle et imaginaire de 1/z. Forme trigonométrique et lien avec les coordonnées polaires. Digression sur l'exponentielle complexe et la définition des angles. Au passage, définition d'un groupe, d'un morphisme de groupes et du noyau d'un tel morphisme.
Equations différentielles linéaires à coefficients constants réels d'ordre 1 avec second membre, et d'ordre 2 sans second membre (le cas avec second membre sera traité lors de la prochaine séance).
Cours 3 et 4 (1er et 2 mars): EDL d'ordre 2 avec second membre: régime transitoire et oscillations forcées, étude en faisant varier les coefficients de l'équation.
Cours 5 et 6 (8 et 9 mars): Champs de vecteurs dans R2 et équations différentielles. Exemples, dont y'(t) = y(t)2. Début de l'étude qualitative de l'équation différentielle y'(t) = y(t)2 - t : notion de barrières, énoncé des théorèmes de l'entonnoir et de l'anti-entonnoir.
Cours 7 et 8 (15 et 16 mars): Fonctions continues de R2 dans R. Disques ouverts et ouverts de R2. Dérivées partielles et applications de classe C1 sur un ouvert de R2. Champs de vecteurs de classe C1. Enoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz: existence et unicité, dépendance C1 des conditions initiales, les solutions bornées sont définies sur R tout entier. Puis démonstration de résultats sur les barrières et des théorèmes de l'entonnoir et de l'anti-entonnoir. Retour avec démonstrations détaillées sur l'équation différentielle y'(t) = y(t)2 - t. (Voir les références citées dans le polycopié.)
Cours 9 (22 mars): Algorithme PageRank de google, en suivant le texte de Michael Eisermann: Promenade google
Cours 10 (23 mars): Matrice de transition T associée à un graphe orienté G; expression de la connexité de G en termes des puissances de T. Puis théorème de Perron pour une matrice strictement positive, en suivant le texte de Bachir Bekka: Perron-Frobenius
Cours 11 et 12 (29 et 30 mars): Définition du polynôme caractéristique d'une matrice carrée de taille n, expression des coefficients en degrés n, 0, n-1 et 1. (Ce dernier coefficient est l'opposé de la somme des mineurs principaux.) Fin de la démonstration du théorème de Perron-Frobenius pour une matrice strictement positive: la valeur propre r de plus grand module est racine simple du polynôme caractéristique. Puis énoncé du "théorème fondamental de l'algèbre linéaire de L2", c.-à-d. réduction d'une matrice arbitraire A de Mn(C) en une matrice diagonale par blocs, où chaque bloc est triangulaire supérieur avec tous ses termes diagonaux égaux. De plus, pour chaque valeur propre mu, la taille du bloc correspondant est la multiplicité de mu comme racine du polynôme caractéristique. Conséquence: soit A dans Mn(R) à coefficients > 0, telle que la somme des coefficients de chaque colonne soit égale à 1. Alors la valeur propre r de plus grand module est 1 et si l'on note p l'unique vecteur de probabilité associé à cette valeur propre, alors pour tout vecteur de probabilité x la suite AN x converge vers p. On a suivi de près le livre de Gantmacher, Chap. 13, paragraphes 2.1--2.2. Faute de temps, on s'est limité au cas des matrices strictement positives et l'on n'a pas pu aborder le cas des plus général des matrices irréductibles, acycliques (primitives) ou cycliques. Fin du cours!
F. R. Gantmacher, Théorie des matrices, tome 2, Dunod, 1966.
E. Seneta, Non negative matrices and Markov chains, Springer-Verlag, 1981.
Vacances du 1er au 17 avril
Planning après les vacances:
19 avril 13h45-15h45: partiel en salle de TD puis 16h-18h: correction du partiel en salle de cours.
20 avril: pas de cours, TD habituel 10h45-12h45
26 avril: TD habituel 13h45-15h45 puis 16h-18h: TD 24.4 dans la salle de cours
27 avril: 8h30-10h30 TD 22.5 dans la salle de cours puis TD habituel 10h45-12h45. FIN DES TD!