2M216

2M216

2M216 automne 2018

Evaluation de l'UE: note de TD sur 20, partiel P sur 30 (le jeudi 8/11/2018), écrit final F sur 50 (en janvier 2019). Note d'écrit E=max(P+F, 8F/5) sur 80 et note de l'UE = max(TD+E, 10E/8) sur 100.

Polycopié: on suivra le polycopié de l'an passé, mais pas forcément dans le même ordre.
Chap. 1: Fonctions continues sur Rⁿ, compacité et conséquences. Chap. 1 (v. du 2/12/2017)
Chap. 2: Normes et topologie sur Rⁿ. Chap. 2 (v. du 2/12/2017)
Chap. 3: Applications différentiables. Chap. 3 (v. du 2/12/2017)
Chapitre 4: Intégrales multiples. Chap. 4 (v. du 2/12/2017)
Chapitre 5: Intégrales de chemins et formule de Green-Riemann. Chap. 5 (v. du 2/12/2017)

Feuilles de TD: Ci-dessous les feuilles de TD de l'an passé:
TD1-2 TD3 TD4 TD5 TD6 TD7 TD8
Elles seront révisées et modifiées au fur et à mesure cette année:
TD1-2018 TD2-2018 TD3-2018 TD4-2018 TD5-2018 TD6-2018 TD7-2018 TD8-2018 coquille corrigée le 19/12/18

À titre informatif, voici la liste des exos faits dans le TD11 à la date du 19/12/2018:
Feuille 1: exos 1, 2, 6, 7, 10
Feuille 2: exos 2 (sauf question **), 3, 5, 6, 7, 8
Feuille 3: exos 2, 6, 7, 9, 10
Feuille 4: exos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8
Feuille 5: 1, 2, 3, 5, 7
Feuille 6: 1, 2, 3,
Feuille 7: 1, 2, 3, 4, 5
Feuille 8: 1, 2, 3, 4, 9, 10

Sujets de devoirs ou partiel: TD11, devoir 1 du 22/10/18 et son corrigé: TD11, corrigé D1 du 22/10/18
TD11, devoir 2 du 14/12/18
Partiel du 8/11/18 et son corrigé: Corrigé du partiel du 8/11/18

Avancement du cours: (on se réfère à la numérotation du polycopié)

Cours 1 (6/9/18): Présentation du cours: pour les L2 il prépare aux cours 3M260 et 3M263 de L3; pour les mineures L3 il remplace le cours 3M260.
Rappels sur la terminologie: applications et fonctions, domaine de définition (1.1 et 1.2). Distance sur R donnée par la valeur absolue (1.3), démonstration de l'inégalité triangulaire pour la valeur absolue. Définition de la notion de distance (1.3).
Rappel de la définition usuelle de la continuité pour une fonction R -> R, puis écriture de celle-ci en utilisant la distance sur R donnée par la valeur absolue.
Introduction de deux distances sur Rⁿ: la distance euclidienne d₂ (3.16) et la distance du sup, notée d_infini (voir 1.3 et 3.6). Attention! Lors du cours cette distance a été notée par erreur d₁ (voir 3.16.1 pour la déf. correcte de d₁).
Remarque. Les lecteurs intéressés par l'origine de la notation d_infini (au lieu de d_sup) peuvent se reporter à l'exercice 3.17.
Définition des boules ouvertes ou fermées pour une distance d (3.7). Exemples dans R² pour les distances d₂ et d_infini.
Démonstration dans Rⁿ des inégalités d_infini(x,y) =< d₂(x,y) =< racine(n) d_infini(x,y), d'abord géométriquement dans R² (dessin avant 3.16), puis algébriquement dans Rⁿ.
Pour une fonction f de Rⁿ vers R^p, définition de la continuité de f en un point a de Rⁿ en utilisant les distances d_infini sur Rⁿ et sur R^p (voir 1.4 et 3.10), puis démonstration, en utilisant les inégalités plus haut, du fait qu'utiliser la distance d₂ donne les mêmes applications continues.
Remarque. Cette démonstration ne figure pas explicitement dans le polycopié mais elle est contenue dans les résultats plus généraux 4.6 et 4.7.

Cours 2 (13/9/18): Rectification: la distance du sup est notée d_infini. Retour sur l'équivalence des distances d₂ et d_infini, conséquences en termes d'inclusion de boules ouvertes. Définition "visuelle" de la continuité: pour toute boule ouverte B centrée en f(a), il existe une boule ouverte centrée en a qui est envoyée par f dans B. Démonstration "visuelle" de la dernière proposition du cours 1: f est continue pour d₂ si et seulement si (abrégé dans la suite en ssi) elle l'est pour d_infini, et démonstration "visuelle" de la Prop. 1.9: une composée d'applications continues est continue.
Puis notion de limite d'une suite d'éléments de R^d (1.7) et démonstration de la Prop. 1.8: si elle existe, la limite a pour i-ème coordonnée la limite de la suite réelle formée par les i-èmes coordonnées. Par conséquent la limite, si elle existe, est unique. Une démonstration directe, par l'absurde, a aussi été donnée.
Démo de la Prop. 1.10: f est continue en a ssi pour toute suite (x(k)) convergeant vers a, la suite (f(x(k)) converge vers f(a).
Démo de la Prop. 1.13: f: Rⁿ -> R^p est continue en a ssi ses composantes f₁,...,f_p le sont.
On a énoncé la Prop. 1.12 sur les combinaisons linéaires, le produit et le quotient de fonctions continues (lorsque le dénominateur ne s'annule pas). La démonstration, pouvant se faire au moyen de la Prop. 1.10, a été laissée en exercice.
Puis exemples 1.16 de fonctions continues: les projections sur une axe de coordonnées, les applications linéaires, les applications polynomiales.
Mise en garde: exemple 1.14 d'une application R² -> R qui n'est pas continue en (0,0) mais qui est pourtant continue (et même constante) le long de chaque axe de coordonnées.
Définition 4.1 des ouverts et fermés. L'équivalence avec la déf. 1.18 sera montrée au cours suivant (voir la Prop. 4.2).
Démonstration (rapide) du fait que toute boule ouverte est un ouvert et toute boule fermée un fermé (points 1,2 de la Prop. 4.2).
Explication de l'importance de la notion d'ouvert: soit f une fonction Rⁿ -> R, D son domaine de définition et x un point de D; pour dire que f est "dérivable dans toutes les directions" en x, on a besoin que D contienne autour de a un petit segment ouvert dans chaque direction. Ceci est vérifié si D contient une boule ouverte centrée en x, donc cela est vérifié en chaque point x de D si D est ouvert.

Cours 3 (20/9/18): Proposition 4.2: toute boule ouverte (resp. fermée) est un ouvert (resp. un fermé). Caractérisation des fermés en termes de limites de suites. Les ouverts et fermés sont les mêmes pour la norme N_infini et pour la norme euclidienne.
Prop. 4.7: une application f: Rⁿ -> R^p est continue ssi l'image inverse de tout ouvert (resp. fermé) est ouverte (resp. fermée).
Exemples d'ouverts ou de fermés définis par des égalités ou inégalités portant sur des fonctions continues.
Définition 4.8: Soit A un sous-ensemble de Rⁿ et B son complémentaire. L'intérieur de A est le plus grand ouvert (cf. Prop. 4.3) contenu dans A; l'adhérence de A est le fermé complémentaire de l'intérieur de B; c'est le plus petit fermé contenant A. Par conséquent, un point x appartientà l'adhérence de A si et seulement si tout ouvert U contenant x contient au moins un point de A. Par définition, la frontière de A est égale à l'adhérence de A privée de l'intérieur de A; c'est aussi la frontière de B.
Définition d'une partie dense: cela ne figure pas dans le poly, mais voir Feuille 3, exo 8.

Cours 4 (27/9/18): Début du chapitre 3. On a commencé par la notion de dérivées partielles (Déf. 7.10 et 7.12) puis donné l'exemple de la fonction f définie par f(x,y) = y^2/x si x est non nul et f(0,y) = 0: elle admet en (0,0) des dérivées selon tout vecteur v, mais elle n'est pas continue en (0,0). Ceci justifie l'introduction de la notion plus forte de différentiabilité (Déf. 7.6 puis Prop. 7.15).
On a démontré le Th. 7.18 sur la différentiabilité d'une application composée.

Cours 5 (4/10/18): On a introduit la matrice jacobienne en un point a, d'abord pour f : Rⁿ -> R (une matrice à 1 ligne et n colonnes dans ce cas) puis pour f : Rⁿ -> R^p (une matrice à p lignes et n colonnes dans ce cas) puis traduit en termes matriciels le th. 7.18. On a aussi donné la formule explicite de la remarque 7.22 pour calculer une dérivée partielle d'une application composée.
Enfin, on a dit que f : U -> R est de classe C¹ si elle est différentiable et si de plus les dérivées partielles sont continues sur U, puis l'on a démontré le:
Th. 7.25: si les dérivées partielles existent et sont continues sur U alors f est différentiable sur U et est donc de classe C¹.

Cours 6 (11/10/18): On a défini les coordonnées polaires (8.3), cylindriques (8.5) et sphériques (8.6) puis introduit la notion de difféomorphisme (Déf. 8.1). Puis l'on a énoncé sans démonstration le théorème d'inversion locale sous la forme du Corollaire 8.2.
Puis on a défini la notion d'extrema locaux (Déf. 8.10) et démontré que tout extrema local est un point critique de f (Déf. 8.11 et Prop. 8.12). On a sauté la section 9 (qu'on ne traitera pas, faute de temps) puis l'on a introduit la notion d'application de classe C² et de matrice hessienne (Déf. 10.1). Enfin, on a énoncé sans démonstration le Th. de Schwarz 10.2.

Cours 7 (18/10/18): On a énoncé d'abord le Th. 10.8 et son corollaire en dimension 2 contenu dans la remarque 10.9, ceci en vue des exercices en TD et du partiel du 8 novembre. Puis on a parlé du lien entre matrices symétriques et formes quadratiques (Lemme 10.5) et l'on a énoncé la formule de Taylor à l'ordre 2 (Th. 10.6). Puis on s'est servi de 10.5 et 10.6 pour démontrer le théorème 10.8.

Le programme du partiel couvre: les sections 1, 3 (sans le Th. 3.15 mais avec les résultats de 3.18), la section 4 jusque 4.9, la section 5 (vue en TD), les sections 7, 8 et la section 10 jusque 10.9. Les sections 2, 6 et 9 ne sont pas au programme du partiel.

Pas de cours le 25/10/18 ni le 1/11/18: JOR puis vacances

PARTIEL le 8/11/18!

Cours 8 (15/11/18): Début du Chap. 4. On a commencé par définir les parties quarrables: Déf. 17.1. (Pour la définition de "compact" on renvoie à la section 2 du Chap.1.) Pour répondre à une question, l'on a dit qu'un compact de R^d est quarrable si et seulement si son bord est négligable (Déf. 17.10 et 17.11). On a mentionné qu'il existe un exemple (dû à Osgood en 1903) d'une courbe fermée simple (cf. Chap. 5, Déf. 20.1) qui n'est pas quarrable.
Puis, pour un compact quarrable K et une fonction f: K -> R, on a dit que l'intégrale de Riemann de f sur K existe si la suite des "sommes de Riemann" associée aux approximation U_n de K converge, et l'on a énoncé sans démonstration que c'est le cas si f est continue sur K (Déf-Prop 17.2).
Puis on a énoncé sans démonstration les propriétés "formelles" des intégrales multiples: linéarité et croissance, propriétés d'additivité quand on découpe le domaine d'intégration: tout ceci est contenu dans la Prop. 17.5. Puis l'on a donné des exemples de découpages tirés des examens des années passées.
Puis on est passé à la section 15 qui donne des théorèmes permettant de calculer des intégrales multiples. On a démontré la Prop. 15.1, en admettant pour le moment qu'une fonction continue sur un compact y est bornée et uniformément continue (voir section 2). Puis on a énoncé sans démonstration le Théorème de Fubini sur un rectangle (Cor. 15.3).
Dans le temps restant, on est revenu sur la notion de compacité et ses conséquences. On a couvert 2.1 à 2.5 et démontré une implication du Th. 2.5: si K est une partie fermée et bornée de R^d alors K est compact.

22/11/18: cours annulé à cause de la grève des appariteurs. Ce cours sera rattrapé le vendredi 7/12 de 16h à 18h, amphi 55B.

Cours 9 (29/11/18): On a fini la section 2 sur la compacité. On a démontré la seconde implication du Th. 2.5: si K est un compact de R^d alors K est borné et fermé. Puis on a démontré le Th. 2.6: l'image d'un compact par une application continue est compacte. En particulier, si f: K -> R est continue et si K est compact, alors f est bornée sur K et atteint ses bornes.
Puis on a montré que l'application x -> 1/x, continue sur R^*₊, n'est pas uniformément continue sur R^*₊ et l'on a démontré le Th. de Heine 2.11.
On a ensuite démontré le théorème de dérivation sous le signe somme 15.2, et l'on a énoncé sans démonstration son corollaire 15.3 (Théorème de Fubini sur un rectangle). Puis l'on a énoncé sans démonstration la généralisation au cas d'une domaine compris entre deux graphes (Déf. 16.1, Th. 16.2 et Cor. 17.4).
Puis, on a énoncé sans démonstration le théorème de changement de variables 18.7, en remplaçant l'hypothèse ``difféomorphisme'' du texte par les hypothèses ci-dessous, plus simples à vérifier en pratique:
(a) la restriction de phi à l'intérieur de P est injective,
(b) pour tout x dans P, le déterminant jacobien dét Dphi(x) est non nul.
(D'après le corollaire 8.2, ces hypothèses entraînent que phi est un difféomorphisme de l'intérieur de P sur son image.)
Enfin, on a illustré l'utilisation du Th. 18.7 par l'exemple 18.8 des coordonnées polaires, et l'on a suggéré de lire l'exemple 18.9.

Cours 10 (6/12/18): Pour la définition (des coordonnées) du centre d'inertie d'un compact quarrable K, on a renvoyé à la section 19 du polycopié et aux feuilles d'exercices 6 et 7.
Puis on a commencé le chapitre 5. Soit I un intervalle fermé borné de R et u: I -> Rⁿ une application de classe C¹. On a défini la longueur du chemin u comme l'intégrale sur I de la norme euclidienne du vecteur u'(t), et l'on a montré que la longueur ne change pas si l'on compose u avec un difféomorphisme phi: J -> I. Puis l'on a illustré cela sur des exemples: longueur d'un arc de cercle, longueur d'une portion de la courbe représentative d'une fonction f. Plus généralement, on a défini l'intégrale d'une fonction f sur le chemin u, en étendant la définition au cas d'un chemin qui est seulement de classe C¹ par morceaux, et l'on a proposé comme exercice d'application la détermination du centre de gravité d'un triangle en fil de fer. (Ce paragraphe sur les longueurs de chemins ne figure pas dans le polycopié.)
Puis l'on a défini les notions de 1-forme différentielle (Déf. 20.6) et d'intégrale sur un chemin (Déf. 20.7), et calculé cette intégrale dans le cas d'une différentielle exacte (Exemple 20.8). On a traité l'exemple 20.12 pour donner un exemple de forme différentielle non exacte sur R² privé de l'origine.

Cours 11, vendredi 7/12/18, 16h-18h, amphi 55B: Pour répondre à une question, on est revenu sur la définition de ``1-forme'' en expliquant brièvement ce qu'est une ``2-forme''.
Puis l'on a introduit les ``sommes'' de chemins (Déf. 20.11) et le ``chemin opposé'' (Déf. 20.9) et l'on a montré (Prop. 20.10) qu'une intégrale de chemin dépend de l'orientation du chemin. En particulier, les intégrale sur un chemin et sur le chemin opposé sont opposées. Puis on a démontré la formule de Green-Riemann dans le cas d'un rectangle (20.13) puis dans le cas d'une réunion finie de rectangles (Prop. 20.14). Puis on l'a énoncée sans démonstration dans le cas général (Th. 21.1).
Puis, en munissant Rⁿ du produit scalaire standard, on a expliqué l'équivalence entre 1-formes et champs de vecteurs, on a donné la définition du champ de gradients d'une application f de classe C¹ (Chap. 3, Déf. 8.9), puis de la circulation d'un champ de vecteurs sur un chemin (Déf. 20.16).
Puis, en se plaçant dans R², on a défini les fonctions continues rot(v) et div(v) associées à un champ de vecteurs v de classe C¹ et l'on a reformulé le théorème de Green-Riemann sous la forme du ``théorème du rotationnel'' (Cor. 21.14). Enfin, pour un chemin u de classe C¹, on a défini le ``vecteur normal sortant'' en tout point u(t), qui se déduit du vecteur dérivé u'(t) par une rotation d'angle -pi/2, puis le flux d'un champ de vecteurs continu v à travers le chemin u. Pour v de classe C¹ on a montré que le flux de v à travers le bord d'un compact K est égal à l'intégrale sur K de div(v) (Cor. 21.7).

Cours 12 (13/12/18): (prévisions) Compléments sur le chapitre 5.

2M216 automne 2017

Evaluation de l'UE: note de TD sur 25 (à fixer dans chaque TD), partiel P sur 25 (le jeudi 23/11), écrit final F sur 50 (en janvier 2018). Note d'écrit E=max(P+F, 3F/2) et note de l'UE = max(TD+E, 4E/3).

Examen du 19 janvier 2018: sujet du 19/1/18 corrigé du 19/1/18

Devoirs en TD et partiel: TD11 Devoir 1 TD11 corrigé du devoir 1
TD13 Devoir 1 TD13 corrigé du devoir 1
Partiel du 23/11/17 corrigé du partiel
TD13 Devoir 2 TD13 corrigé du devoir 2

Polycopié: on a repris celui de l'an passé, en y corrigeant quelques coquilles, voir ci-dessous.

Feuilles de TD: TD1-2 TD3 TD4

Avancement du cours: (on se réfère à la numérotation du polycopié)
Cours 1 (14/9/17): Distance sur R donnée par la valeur absolue (1.3), puis rappel de la définition usuelle de la continuité pour une fonction R -> R. Pour étendre ceci au cas de fonctions Rⁿ -> R^p, on introduit la notion de distance sur un ensemble E, et de norme N sur un R-espace vectoriel E, ce qui le munit de la distance d(x,y)= N(y-x). On introduit la notion de boules (ouvertes ou fermées) et la notion de fonctions continues (3.1 à 3.11). Exemple des normes N_1, N_2 et N_infini sur Rⁿ et démonstration des inégalités 3.18, puis du:
Théorème: le choix de l'une ou l'autre de ces normes donne les mêmes applications continues!
La démonstration découle directement des inégalités de 3.18. (On n'a pas mentionné le thm. plus général 3.15.) Puis démonstration du:
Théorème 5.3: Inégalité de Cauchy-Schwarz et norme euclidienne.
On n'a pas parlé de suites, ni mentionné la caractérisation de la continuité en termes de suites (Prop. 1.10). La section 2 sur la compacité sera traité plus tard dans le cours, de même que les notions d'intérieur, adhérence et frontière (4.8). La notion de connexité ne sera pas traitée en cours (mais peut-être en exercices de TD).

Cours 2 (21/9/17): Dans un espace métrique E, définition des ouverts et des fermés (4.1). Démonstration que toute boule ouverte (resp. fermée) est bien ouverte (resp. fermée) (4.2). Pour une application f: X -> Y, définition de l'image inverse d'une partie Z de Y, notée f^-1(Z). Attention, ceci ne signifie pas que f est bijective, c'est juste une notation pour l'ensemble des x dans X tels que f(x) est dans Z. Puis démonstration de la:
Prop 4.7: f: E-> E' est continue si et seulement si l'image inverse de tout ouvert (resp fermé) de E' est un ouvert (resp fermé) de E.
Exemple d'application: une ellipse, et la réunion de l'ellipse et de la partie intérieure, sont des fermés de R². Ceci utilise les deux résultats suivants:
Prop: chaque projection Rⁿ -> R est continue (cf. 1.16.1).
Prop: si f,g: Rⁿ -> R sont continues alors f+g et fg le sont aussi.
La démonstration n'a pas été faite en cours mais est proposée dans la feuille TD1-2, exo 9.
Description des intervalles ouverts ou fermés de R (cf. feuille TD1-2, exos 4 et 5).
On a aussi démontré la prop. 4.3 + remarque 4.4 (voir aussi feuille TD1-2, exo 6).

Cours 3 (28/9/17): On a démontré les propositions:
Prop 3.22: Soient E,E',E'' des espaces métriques, f: E -> E' et g: E' -> E'' des applications. Si f est continue en x et si g l'est en f(x), alors la composée de g et f est continue en x.
Prop 1.13: Soit f: Rⁿ -> R^p. Alors f est continue en un point x si et seulement si chacune des composantes f₁, ..., f_p de f l'est.
Puis on a expliqué que: attention!, on ne peut pas se ramener au cas d'une seule variable au départ, cf. exemple 1.14. Puis on a défini la notion de limite d'une suite à valeurs dans Rⁿ et montré qu'une telle suite converge si et seulement si pour chaque i la suite formée par les i-èmes coordonnées des termes de la suite converge; de plus la limite, si elle existe, est unique (1.7 et 1.8). Puis on a défini la notion de limite en un point a de Rⁿ d'une fonction f: Rⁿ -> R^p et la notion de prolongement par continuité (7.2; pour un exemple voir la feuille TD1-2, exo 9.6). Enfin, on a défini la notion d'application f: Rⁿ -> R^p différentiable en un point a (7.4 à 7.6) et l'on a traité les exemples 7.7.1 (applications linéaires) et 7.7.3 (l'application de R² vers R qui à (x,y) associe xy).

Cours 4 (5/10/17): Pour une fonction f: Rⁿ -> R on a expliqué l'aspect naturel de la différentielle Df(x,y) de f en un point (x,y), qui est une matrice ligne (a,b), par la notion de développement limité à l'ordre 1 de f en (x,y):
f(x+h,y+k) = f(x,y) + ah + bk + quantité négligeable devant la norme de (h,k)
Puis pour une fonction à valeurs dans R on a défini (si elles existent) les dérivées partielles de f selon un vecteur v, et en particulier la dérivée partielle selon la i-ème variable, qui est la dérivée partielle selon le i-ème vecteur de la base canonique de Rⁿ (7.10 et 7.12) et l'on a démontré la proposition 7.15. En admettant la proposition 7.9 (démo laissée au lecteur), on a donné la généralisation de 7.15(ii) au cas d'une application Rⁿ -> R^p en introduisant la matrice jacobienne de f (7.17). On a démontré le:
Théorème 7.18: Soient f: Rⁿ -> R^p et g: R^p -> R^q. Si f est différentiable en a et si g l'est en f(a), alors la composée h de g et f est différentiable en a et sa différentielle est la composée de Dg(f(a)) et de Df(a). ( Attention à l'ordre!)
On n'a pas traité la Prop. 7.23 (qui se déduit de 7.18 et des exemples 7.7.1 et 7.7.3). Puis, on a démontré le
Théorème 7.25: Soit U un ouvert de Rⁿ et f: U -> R^p. Si les dérivées partielles de f existent et sont continues alors f est différentiable sur U et l'application U -> M_p,n(R) qui à tout a dans U associe la matrice Df(a) est continue.
Pour un contre-exemple sans l'hypothèse de continuité, voir 7.27. Enfin, pour terminer, on a considéré l'exemple 8.3: matrice jacobienne de l'application donnée par les coordonnées polaires. On voit sur cet exemple que l'application qui à tout a dans U associe la matrice Df(a) n'est en général pas linéaire (voir aussi la remarque 7.26).

Cours 5 (12/10/17): Exemple de dérivée d'une fonction composée: exercice 7.22. Puis notion de C¹-difféomorphisme (déf. 8.1) et énoncé sans démonstration du théorème d'inversion globale ci-dessous (un cas particulier de 8.2):
Théorème 8.2: Soient U,V deux ouverts de Rⁿ et f: U -> V une application de classe C¹ bijective. On suppose que pour tout x dans U la matrice Df(x) est inversible; alors la bijection inverse g = f^-1: V -> U est de classe C¹ et pour tout x dans U on a Dg(f(x)) = Df(x)^-1.
Puis exemple des coordonnées polaires: calcul du déterminant jacobien et du difféomorphisme inverse (8.4): on retrouve ainsi le résultat de l'exercice 7.22. Puis exemple des coordonnées cylindriques et sphériques (8.5 et 8.6): dans les deux cas, calcul du déterminant jacobien. Malheureusement, on n'a pas eu le temps de définir le vecteur gradient (8.9).

Cours 6 (19/10/17): Pour x,y dans E = Rⁿ (ou plus généralement dans un R-espace vectoriel E arbitraire) définition du segment joignant x et y (déf. 4.14), puis de la notion de partie convexe de E (déf. 4.14). Exemples: les parties convexes de R sont exactement les intervalles, puis exemples de parties convexes ou non convexes de R². Puis démonstration directe du théorème ci-dessous (une version simplifiée de 9.2):
Théorème 9.2: Soient U un ouvert convexe de Rⁿ et f : U -> R de classe C¹. On suppose qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout x dans U la somme pour i = 1,..., n des valeurs absolues des (df/dx_i)(x) soit inférieure ou égale à M. Alors pour tout a,b dans U, la valeur absolue de f(b) - f(a) est inférieure ou égale à M fois la norme infinie de b-a.
Puis rappel sur les extrema des fonctions f: R -> R de classe C²: en un point a où f admet un extremum local, la dérivée f'(a) s'annule. Réciproquement, si f'(a) = 0 alors pour savoir si f admet en a un extremum local, on étudie la dérivée seconde f''(a): si celle-ci est > 0 (resp. < 0) alors f admet en a un mimimum (resp. maximum) local. Si f''(a) = 0 on ne peut pas conclure immédiatement. Le cas des fonctions à plusieurs variables est analogue, mais un peu plus compliqué: définition de la notion de point critique (8.11) puis définition des dérivées partielles d'ordre 2 et de la matrice hessienne Hf(a) de f en un point a (10.1), puis énoncé sans démonstration du théorème de Schwarz 10.2 pour f de classe C²: en d'autres termes, la matrice hessienne est symétrique (égale à sa transposée).
Puis définition de la forme quadratique Q: Rⁿ -> R associée à une matrice symétrique réelle S: Q(x) est le produit scalaire de x et de S(x) (cf. lemme 10.5). Puis énoncé sans démonstration de la formule de Taylor à l'ordre 2 (Th. 10.6). Puis énoncé du théorème fondamental d'algèbre linéaire ci-dessous:
Théorème: On munit Rⁿ du produit scalaire usuel. Soit S une matrice symétrique réelle. Alors il existe une base orthonormée de Rⁿ formée de vecteurs propres de S. En d'autres termes, S est diagonalisable dans une base orthonormée.
On a démontré de façon élémentaire ce théorème dans le cas n=2. Puis, en utilisant cela, on a démontré le Th. 10.8 dans le cas n = 2 et l'on a terminé le cours avec la remarque 10.9: dans le cas de deux variables, l'étude du déterminant et de la trace de la matrice hessienne en un point critique a donnent des conditions suffisantes pour décider si f possède en a un minimum (ou maximum) local ou un point-selle. (Remarque: pour une démonstration du théorème précédent en toute dimension n, voir le Th. 11.13.)

Cours 7: Définition du gradient (8.11). Enoncé et démonstration du théorème des extrema liés sur une sphère (11.1), avec comme application le
Corollaire 11.2: toute matrice symétrique réelle possède au moins une valeur propre réelle.
Dans la démonstration du corollaire, on a admis que sur une sphère, toute fonction continue est bornée et atteint ses bornes. Pour démontrer cela, on est revenu sur la topologie, i.e. on a traité les points suivants:
Proposition 4.2: Une partie F de Rⁿ est un fermé (i.e. son complémentaire est un ouvert) si et seulement si il vérifie la propriété suivante: pour toute suite de points de F qui converge vers une limite x dans Rⁿ, la limite x appartient nécessairement à F.
Définition 2.3: Une partie K de Rⁿ est compacte si elle vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass, i.e. si de toute suite d'éléments de K on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de K.
Théorème 2.5: Une partie de Rⁿ est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Pas de cours le 2/11: vacances!

Cours 8 (9/11/17): On a continué avec des résultats de topologie:
Théorème 2.6: Soit K un compact de Rⁿ et f : K -> R^p une application continue. Alors f(K) est un compact de R^p. En particulier, toute fonction continue f : K -> R est bornée et atteint ses bornes.
Théorème de Heine 2.11: Soit K un compact de Rⁿ et f : K -> R^p une application continue. Alors f est uniformément continue (cf. définition 2.9).
Puis on a commencé le chapitre 4. On a démontré la Prop. 15.1 = continuité des intégrales à paramètres, puis énoncé sans démonstration le Théorème 15.2 = dérivation sous le signe somme pour les intégrales à paramètres. Comme appplication de ces résultats, on a démontré le Corollaire 15.3 (théorème de Fubini sur un rectangle): Soit R un rectangle dans R² et f : R -> R une application continue. Alors l'intégrale obtenue en intégrant d'abord par rapport à la première variable puis par rapport à la seconde et l'intégrale obtenue en intégrant d'abord par rapport à la deuxième variable puis par rapport à la première sont égales. La valeur commune de ces intégrales est appelée l'intégrale de f sur le rectangle R et est désignée par une intégrale double.

Cours 9 (16/11/17): On est revenu sur la définition géométrique des intégrales multiples, en expliquant que si a et b sont les extrémités d'un intervalle fermé borné I de R, si f : I -> R est continue et positive, et si on note D le domaine situé entre le graphe de f et l'axe des x, alors l'intégrale double sur D de la fonction constante 1 est l'aire de D, qui est l'intégrale de a à b de f. De la même façon, on peut calculer l'aire d'un domaine délimité par deux graphes (cf. 16.1) et l'on a énoncé sans démonstration le théorème de Fubini dans ce cas (cf. Cor. 17.4). Comme exercice, on a proposé de calculer de cette façon l'aire d'un disque de rayon R.
Puis on a énoncé sans démonstration le théorème de changement de variables 18.7. (Au passage, signalons une coquille dans la 2e ligne de la prop. 18.4: il faut remplacer quérable par quarrable.) On a appliqué la formule de changement de variable au cas des coordonnées polaires pour calculer l'aire d'une portion de disque (cf. 18.8). On a suggéré comme exercice d'utiliser la formule de changement de variables pour les coordonnées sphériques afin de calculer, par exemple, le volume d'une boule euclidienne de R³ de rayon R.

Pas de cours le 23/11: partiel!

Cours 10 (30/11/17): Début du chapitre 5. On a introduit la notion de chemins de classe C¹, puis celles de chemin opposé et de somme de chemins (20.1 à 20.4). Puis l'on a défini les formes différentielles et les intégrales de chemins (20.6 et 20.7). On a oublié de traiter l'important exemple 20.8, on y reviendra. On a traité les exemples 20.12 et 20.13, le second contenant implicitement la notion d'intégrale sur une somme de chemins (= la somme des intégrales sur les chemins, cf. Déf. 20.11). On a démontré la formule de Green-Riemann pour une réunion de rectangles (Prop. 20.15) puis on l'a énoncé sans démonstration dans le cas général (Th. 21.1).

Cours 11 (7/12/17): On est revenu sur des points oubliés ou traités rapidement: 20.8 à 20.11, puis l'on a parlé de champs de vecteurs (cf. Chap. 3, Déf. 12.4) et de circulation et flux d'un champ de vecteurs dans R². Enfin, on a défini la longueur d'un chemin de classe C¹. Ceci ne figure pas dans le polycopié; on renvoie pour le moment à la section 7.1.1 du polycopié de J.-F. Babadjian : 2M216 Babadjian

Cours 12 (14/12/17): On a défini la notion d'intégrale sur une surface paramétrée de R³ puis l'on a énoncé la formule d'Ostrogradsky. On l'a appliquée au calcul du flux d'un champ de vecteurs radial en 1/r² à travers une surface fermée entourant l'origine.

2M216 automne 2016

Examen partiel du 3/11/2016 et son Corrigé du 3/11/2016

Examen du 6/1/2017 et son Corrigé du 6/1/2017

Polycopié:
Chap. 1: Fonctions continues sur Rⁿ, compacité et conséquences. Chap. 1 (v. du 2/12/2017)
Chap. 2: Normes et topologie sur Rⁿ. Chap. 2 (v. du 2/12/2017)
Chap. 3: Applications différentiables. Chap. 3 (v. du 2/12/2017)
Chapitre 4: Intégrales multiples. Chap. 4 (v. du 2/12/2017)
Chapitre 5: Intégrales de chemins et formule de Green-Riemann. Chap. 5 (v. du 2/12/2017)

Avancement du cours:
Cours 1 (8/9/16): 1.1 à 1.18 puis 2.1 à 2.5
Cours 2 (15/9/16): 2.6, 2.9 à 2.11. Puis début du Chap.2: 3.1 à 3.16, puis définition 4.1.
Cours 3 (22/9/16): Suite et fin du Chap.2: 4.2 à 4.15 (en sautant 4.5 et 4.9). Dans la démo de 4.7 on a fait 1.19 à 1.21 du Chap.1. La section 5 sur Cauchy-Schwarz est considérée comme vue en TD. Puis début du chap. 3: 7.1 à 7.6.
Cours 4 (29/9/16): suite du Chap.3: 7.7 à 7.21.
Cours 5 (6/10/16): suite du Chap.3: fin de la section 7. L'exercice 7.28 a été traité en amphi. Puis début de la section 8: difféomorphismes, coordonnées polaires, cylindriques et sphériques (8.1 à 8.8).
Cours 6 (13/10/16): retour sur 7.27 = différence entre les notions C¹, différentiable, avoir des dérivées partielles. Retour sur la tangente au graphe d'une fonction dérivable de R dans R, puis définition du plan tangent au graphe d'une application différentiable de R² vers R (ceci ne figure pas dans le polycopié!). Puis fin de la section 8: gradient et points critiques (8.9 à 8.13). Puis début du Chap.10: définition 10.1 matrice hessienne, énoncé sans démonstration du Th. de Schwarz 10.2. (La section 9 sera traitée plus tard.)
Cours 7 (20/10/16): Suite et fin de la section 10: définition de la forme quadratique Q associée à une matrice symétrique (cf. 10.5) puis énoncé sans démonstration du Th. 10.6 (Taylor à l'ordre 2). Puis démonstration du Th. 10.8 sur les extrema, et du cas de deux variables 10.9. Puis l'exercice 1 de l'examen du 31 mai 2016 (voir plus bas) a été traité en amphi. Tout le cours jusqu'ici est au programme du partiel du 3/11/16. Puis, hors programme du partiel, démonstration du Th. 11.1 (extrema sur une sphère euclidienne).
Pas de cours le 27/10/16 (JOR)
Cours 8 (3/11/16): Section 12 du Chap.3: champs de vecteurs et équations différentielles. (La section 9 Inégalité des accroissements finis ne sera pas traitée en cours.)
Cours 9 (10/11/16): Début du Chap.4 Intégrales multiples: section 15 puis Déf. 16.1 (dans le cas n=2), puis énoncé de 17.6 (sans démonstration) dans le cas n=2. Exemples: calcul de l'aire d'un rectangle puis d'un disque.
Cours 10 (17/11/16): Suite du Chap.4: survol rapide de la section 17 puis section 18: formule de changement de variables.
Cours 11 (24/11/16): Fin du Chap.4: section 19. Puis début du Chap.5: Intégrales de chemins et formule de Green-Riemann. Section 20.
Cours 12 (1/12/16): Suite et fin du Chap.5: retour sur la définition d'une somme de chemins puis sur la formule de Green-Riemann. Définition du flux d'un champ de vecteurs à travers un chemin fermé simple, et de la divergence d'un champ de vecteurs. Conséquences de Green-Riemman: formules pour la circulation et le flux d'un champ de vecteurs. Application au champ de gradients de la fonction log(r) sur R² - O.

2M216 en cours accéléré (17-27 mai 2016)

Examen du 31/5/2016 et son Corrigé du 31/5/2016
Examen 2e session du 15/6/2016 (v. corrigée, avec une meilleure majoration dans la question 3.6: h₀ < 3/2.) et son Corrigé du 15/6/2016

Chapitre 1: Fonctions continues sur Rⁿ, compacité et conséquences (version du 13 mai:coquilles corrigées)
Chapitre 2: Normes et topologie sur Rⁿ (version du 13 mai:coquilles corrigées et ajout section 6 hors-programme)
Chapitre 3: Applications différentiables, dérivées partielles (version du 20 mai: démo. du Th. de Schwarz corrigée, hessienne et extrema regroupés dans la section 7, ajout d'une section 8 EDP. Deux corrections mineures le 20 mai: erreur de signe dans 8.1 et u₀ de classe C² dans 8.2.)