Structures algébriques 3MA262
L3 Mathématiques, Semestre 6, 6 ECTS
Équipe pédagogique
Pierre-Vincent Koseleff,
Quentin Gazda,
Leonardo Zapponi,...
Site Moodle
Planning
Objectifs
Ce cours s'adresse aux étudiants de la Licence de Mathématiques,
niveau L3.
Ce cours
est une introduction aux structures de base en algèbre, avec en plus, un point de vue effectif.
Le fil rouge est la notion d'espace quotient.
Ce cours est destiné à tous les étudiants de Licence qui souhaitent compléter leur formation en algèbre de base avant de
poursuivre en Master de Mathématiques ou en Informatique/Mathématiques.
Prérequis
Connaissances générales en algèbre de niveau L2.
Contenu
- Espace quotient
Propriété universelle. Applications en dénombrement.
- Structures algébriques de base
Groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels, algèbres. Anneau factoriel, principal, euclidien. Anneaux de polynômes.
- Structures quotient
Structure quotient. Théorèmes d'isomorphisme. Exemples.
Théorème Chinois. Interpolation de Lagrange.
Caractères des groupes abéliens finis. Théorème de structure.
- Algorithme d'Euclide
Calculs du pgcd, des coefficients de Bézout. Aspects effectifs. Cas de Z et K[X].
Applications aux calculs dans les structures quotient.
Calcul modulaire. Protocole cryptographique RSA
- Corps finis
Rappels. Constructions.
Polynômes minimal. Polynômes iréductibles.
Polynômes cyclotomiques.
- Extensions algébriques.
Eléments algébriques et transcendants.
Application à la théorie algébrique des nombres.
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