Prépublications / Preprints


Julien Cassaigne et Vincent Maillot , Hauteur des Hypersurfaces et fonctions Zeta d'Igusa.

Résumé : On associe \`a toute hypersurface $Z$ dans $\M{P}_{\M{Z}}^{n}$ deux fonctions Z\^eta, $\Z_{\cal{S}}(P,s)$ et $\Z_{E}(P,s)$. Leur d\'eriv\'ee en z\'ero est reli\'ee \`a la hauteur $h_{\overline{\cal{O}}(1)}(Z)$ de $Z$. Pour certaines hypersurfaces, on donne des expressions int\'egrales simples de $\Z_{E}(P,s)$. On en d\'eduit le calcul de la hauteur de certaines hypersurfaces toriques et de certaines quadriques. Comme cas particulier, on obtient la hauteur de la grassmannienne $G(2,4)$ vue comme hypersurface dans $\M{P}_{\M{Z}}^{5}$ gr\^ace au plongement de Pl\"ucker: c'est un nombre rationnel.


Vincent Maillot , Géométrie d'Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables.

Résumé : En nous appuyant sur une construction due \`a Bedford et Taylor, et certains r\'esultats r\'ecents de Demailly, nous pr\'esentons une extension (partielle) de la g\'eom\'etrie d'Arakelov aux fibr\'es en droites int\'egrables. (Ces derniers sont les fibr\'es en droites hermitiens sur une vari\'et\'e arithm\'etique $X$ pouvant se d\'ecomposer sous la forme $\ov{E} = \ov{E}_{1}\otimes (\ov{E}_{2})^{-1}$, o\`u $\ov{E}_{1}$ et $\ov{E}_{2}$ sont des fibr\'es en droites munis \`a l'infini d'une m\'etrique continue approchable uniform\'ement sur $X(C)$ par des m\'etriques positives $C^{\infty}$). Nous appliquons notre th\'eorie aux fibr\'es en droites sur une vari\'et\'e torique munis \`a l'infini de leur m\'etrique canonique. Nous en d\'eduisons, entre autres choses, la d\'emonstration d'un analogue arithm\'etique du th\'eor\`eme de Bernstein-Koushnirenko.


Vincent Maillot et Damien Roessler , Conjectures sur les dérivées logarithmiques des fonctions L d'Artin aux entiers négatifs.

Résumé : Nous formulons plusieurs variantes d'une conjecture reliant le degré arithmétique de certains fibrés hermitiens aux valeurs prises aux entiers négatifs par la dérivée logarithmique des fonctions L d'Artin, généralisant des conjectures de Colmez et Gross-Deligne et complémentant ainsi les conjectures de Beilinson pour les motifs d'Artin. Nous annonçons plusieurs résultats en direction de ces énoncés.

Abstract : We formulate several variants of a conjecture relating the arithmetic degree of certain hermitian fibre bundles with the values of the logarithmic derivative of Artin's L-functions at negative integers. This generalizes conjectures by Colmez and Gross-Deligne and complements Beilinson's conjectures for the Artin motives. We announce several results in the direction of these statements.


Vincent Maillot et Damien Roessler , On the periods of motives with complex multiplication and a conjecture of Gross-Deligne

Abstract : We prove that the existence of an automorphism of finite order on a variety X defined over a number field implies the existence of algebraic linear relations between the logarithm of certain periods of X and the logarithm of special values of the Gamma-function. This implies that a slight variation of results by Anderson, Colmez and Gross on the periods of CM abelian varieties is valid for a larger class of CM motives. In particular, we prove a weak form of the period conjecture of Gross-Deligne.

Our proof relies on the arithmetic fixed point formula (equivariant arithmetic Riemann-Roch theorem) proved by K. Köhler and the second author, and the vanishing of the equivariant analytic torsion for the Dolbeault complex.

vmaillot@math.jussieu.fr