1M001 - Analyse et algèbre pour les sciences - UPMC 2017-2018

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Laurent KOELBLEN

Polycopié

• Programme officiel du cours

Nouveau polycopié (en cours de rédaction)

• Polycopié complet (màj 3 septembre 2017)

• Table des matières (màj 28 août 2017)
• Guide de lecture (màj 3 septembre 2017)
• Chapitre 1, nombres réels (màj 28 août 2017)
• Chapitre 2, borne supérieure, limites, continuité (màj 28 août 2017)
• Chapitre 3, Fonctions dérivables et équations différentielles linéaires d'ordre un (màj 28 août 2017)
• Chapitre 4, Nombres complexes et exponentielle complexe (màj 28 août 2017)
• Chapitre 5, Polynômes (màj 28 août 2017)
• Chapitre 6, Développements limités (màj 28 août 2017)
• Chapitre 7, Fonctions réciproques et nouvelles fonctions usuelles (màj 28 août 2017)
• Chapitre 8, R², R³, produit scalaire, déterminant, produit vectoriel, droites et plans (màj 28 août 2017)

Annales

• partiel du 13 novembre 2017 : sujet / corrigé
• examen du 20 décembre 2017 : sujet / corrigé
• rattrapage du 22 juin 2018 : sujet / corrigé

• partiel du 20 octobre 2016 : sujet / corrigé
• examen du 3 décembre 2016 : sujet / corrigé
• examen du 12 décembre 2016 (parcours bio-math Roscoff) : sujet / corrigé
• rattrapage du 9 juin 2017 : sujet / corrigé

• partiel du 24 octobre 2015 : sujet / corrigé
• examen du 15 décembre 2015 : sujet / corrigé
• rattrapage du 1 juin 2016 : sujet / corrigé

• partiel octobre 2014 : sujet / corrigé
• examen décembre 2014 : sujet / corrigé
• rattrapage juin 2015 : sujet

Mise à jour :
Lundi 3 septembre 2017, 15h52

Questions de cours pouvant être demandées en TD

• semaine du jeudi 21 au mercredi 27 septembre 2017
  • définition et théorème de la borne supérieure
  • définition de la limite d'une suite
  • définition et énoncé du théorème sur les suites croissantes majorées
  • définition et énoncé du théorème sur les suites adjacentes
  • énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass
• semaine du jeudi 28 septembre au mercredi 4 octobre 2017
  • définition de la limite d'une fonction en un point
  • définition de la continuité d'une fonction en un point
  • énoncé du théorème des valeurs intermédiaires
  • énoncé du théorème des bornes atteintes
• semaine du jeudi 5 mercredi 11 octobre 2017
  • définition de la dérivabilité d'une fonction en un point
  • formules de dérivation de la somme du produit, du quotient et de la composée de fonctions dérivables
  • théorème des accroissement finis
• semaine du jeudi 12 mercredi 18 octobre 2017
  • définition de la fonction exp(x) comme limite de la suite s_n(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!
  • propriétés de la fonction exponentielle
  • définition et propriétés de la fonction logarithme
  • définition et propriétés des fonctions puissances : x^a où a est un nombre réel quelconque
  • théorème de croissance comparée en +infini des fonctions logarithmes, puissances et exponentielle
• semaine du lundi 6 au vendredi 10 novembre 2017
  • Définition et résolution d'une équation différentielle homogène
  • Définition et résolution d'une équation différentielle avec second membre
  • savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant dont le second membre est xⁿ ou exp(cx)
  • savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre par la méthode de variation de la constante
• semaine du lundi 20 au vendredi 27 novembre 2017
  • exponentielle complexe
  • racines n-ième d'un nombre complexe sous forme polaire
  • racines carrées d'un nombre complexe sous forme cartésienne
  • recherche de solutions particulières des équations linéaires à coefficient constant de la forme :
    • (E) y'-ay=b(x) où b(x)=exp(cx) où a un un nombre réel et c=c₁+ic₂ est un nombre complexe
    • (E₁) y'-ay=b₁(x) où b₁(x)=exp(c₁x)cos(c₂x) qui est la partie réelle de l'équation (E)
    • (E₂) y'-ay=b₂(x) où b₂(x)=exp(c₁x)sin(c₂x) qui est la partie imaginaire de l'équation (E)
• semaine du lundi 27 novembre au vendredi 1er décembre 2017
  • théorème de la division euclidienne ; savoir poser une division euclidienne
  • définition : racines d'un polynôme et multiplicité d'une racine
  • théorème : a est une racine de multiplicité m d'un polynôme P si et seulement si P(a) = P'(a) = ... = P^(m-1)(a) = 0 et P^(m)(a) ≠ 0 ; application de ce théorème
• semaine du lundi 4 au vendredi 8 décembre 2017
  • définition d'un polynôme irréductible et caractérisation des polynômes irréductibles à coefficients réels ou complexes
  • définition d'un DL_n
  • énoncé du théorème de Taylor-Young
• semaine du lundi 11 au vendredi 15 décembre 2017 (prévisions)
  • théorème d'intégration d'un DL
  • Savoir traiter un exemple simple de produit de DL
  • Savoir traiter un exemple simple de composition de DL
  • DL des fonctions usuelles : 1/(1-x) ; exp(x) ; sin(x) ; cos(x) ; ln(1+x) ; (1+x)^a ; tan(x) à l'ordre 5
  • définition d'une fonction réciproque
  • théorème de dérivabilité et formule de la dérivée d'une fonction réciproque

1^er cours : lundi 11 septembre 2017

L'ensemble R des nombres réels et la propriété de la borne supérieure (chapitres 1 et 2)

• description des ensembles de nombres N, Z, Q, propriétés de Q
• propriété de l'ensemble R des nombre réels
• définition : majorant d'une partie de R, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure
• exemples
• théorème de la borne supérieure
• intervalles, intervalles ouverts, intervalles fermés, etc.
• points intérieurs d'une partie de R, parties ouvertes de R
• points adhérents à une partie de R, parties fermées de R

2^e cours : Lundi 18 septembre 2017

Suites à valeurs réelles (chapitre 2)

• suites et sous-suites
• limite d'une suite, unicité de la limite, limite d'une sous-suite
• exemples
• propriétés générales sur les limites de suites (somme, produit et inverse, et le théorème des gendarmes)
• suites croissantes majorées (et décroissantes minorées)
• suites adjacentes
• théorème de Bolzano-Weierstrass (non démontré)

3^e cours : Lundi 25 septembre 2017 (Adnène Benabdesselem)

Fonctions à valeurs réelles (chapitre 2)

• fonctions
• limite d'une fonction, unicité de la limite
• propriétés générales sur les limites de fonctions (fonctions composées, somme, produit et inverse, théorème des gendarmes)
• fonctions continues
• propriétés générales sur les fonctions continues (fonctions composées, somme, produit et inverse)
• théorème des valeurs intermédiaires
• théorème des bornes atteintes (non démontré)

4^e cours : Lundi 2 octobre 2017

Fonctions dérivables (chapitre 3)

• dérivée comme limite du taux d'accroissement
• interprétation graphique
• une fonction dérivable est continue
• dérivée d'une fonction composée, d'une somme, d'un produit, d'une quotient de fonctions dérivables
• théorème de Rolle (non démontré)
• théorème des accroissements finis
• sens de variation des fonctions dérivables

5^e cours : Lundi 9 octobre 2017

Fonctions dérivables (chapitre 3)

• construction de la fonction exponentielle
• fonction logarithme
• fonctions puissances réelles
• comparaison des croissances des fonctions exponentielle, puissances et logarithme

6^e cours : Lundi 23 octobre 2017

Fonctions dérivables (chapitre 3)

• fonctions trigonométriques
• équations différentielles linéaires d'ordre 1
  • équation différentielle homogène (aussi dite sans second membre)
  • solutions d'une équation différentielle homogène
  • équation différentielle avec second membre
  • solutions d'une équation différentielle avec second membre
  • méthode dite de variation de la constante
  • (E) y'-ay = b(x) — dite à coefficient constant — dont le second membre b(x) est un polynôme ou une exponentielle
  • exemples

7^e cours : Lundi 6 novembre 2017

Nombres complexes (chapitre 4)

• C=R² muni de deux opérations, l'addition et la multiplication, qui en font un corps
• i=(0,1) est tel que i²=-1 ; les nombres complexes sont les nombre de la forme a+ib avec a et b dans R
• partie réelle, partie imaginaire, conjugué, module
• représentation géométrique des nombres complexes : affixe z d'un point M de R²
• argument d'un nombre complexe : angle entre l'axe Ox et la droite (OM)
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = |z| (cos t + i sin t)
• définition de exp(it) et de exp(a+ib)
• vérification de la formule exp(z+z') = exp(z) x exp(z') à l'aide des formules trigonométriques
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = r exp(it) où r est le module et t l'argument de z
• formules : exp(nz) = exp(z)ⁿ où n est un entier relatif
• racines n-ième de l'unité, solutions de l'équation zⁿ=1 : exp(2ikπ/n) où 0≤k<n (il y a exactement n racine)
• racines carrées d'un nombre complexe sous la forme a+ib
• fonctions à valeurs complexes sous la forme f(t)=f₁(t)+if₂(t) ; limites, continuité, dérivabilité
• fonctions à valeurs complexes sous la forme f(t)=r(t)exp(iθ(t)) ; calcul de la dérivée : f(t)=r'(t)exp(iθ(t))+iθ'(t)exp(iθ(t))
• applications à la recherche de solutions particulières des équations linéaires à coefficient constant :
  • (E) y'-ay=b(x) où b(x)=exp(cx) où a un un nombre réel et c=c₁+ic₂ est un nombre complexe
  • (E₁) y'-ay=b₁(x) où b₁(x)=exp(c₁x)cos(c₂x) qui est la partie réelle de l'équation (E)
  • (E₂) y'-ay=b₂(x) où b₂(x)=exp(c₁x)sin(c₂x) qui est la partie imaginaire de l'équation (E)

Pas de cours le lundi 13 novembre

8^e cours : Lundi 20 novembre 2017

Polynômes (chapitre 5)

• définition des polynômes à coefficients dans un corps K
• dégré d'un polynôme
• opérations : somme, produit, puissance entière, composition dérivation
• propriétés des opérations + et × : (K,+,×) est un anneau commutatif
• propriétés de la dérivation
• théorème de la division euclidienne
• propriété de divisibilité
• fonction associée à un polynôme
• racines d'un polynôme : P(a)=0
• multiplicité d'une racine : a est une racine de multiplicité m si (X-a)^m | P
• théorème : a est une racine de multiplicité m d'un polynôme P si et seulement si P(a) = P'(a) = ... = P^(m-1)(a) = 0 et P^(m)(a) ≠ 0

9^e cours : Lundi 27 novembre 2017

• racines des polynômes à coefficients complexes ; théorème de d'Alembert
• polynômes irréductibles
• polynômes irréductibles à coefficients complexes (corollaire du théorème de d'Alembert)
• factorisation des polynômes à coefficients complexes
• exemples de polynômes irréductibles ou non irréductibles de degrés 1,2,3,4 à coefficients réels
• polynômes irréductibles à coefficients réels
• factorisation des polynômes à coefficients réels

Développements limités (chapitre 6)

• définition d'un DL_n de f(x) en x=a
• exemple : 1/(1-x) = 1 + x + ... + xⁿ + xⁿε(x)
• unicité du DL_n
• troncature d'un DL_n en un DL_m pour m < n
• équivalence de l'éxistence d'un DL₁ de f(x) en x=a avec la dérivabilité de f(x) en x=a
• énoncé du théorème de Taylor-Young

10^e cours : Lundi 4 décembre 2017 (prévisions)

• notation de Landau
• opérations algébriques sur les DL
• intégration d'un DL
• preuve du théorème de Taylor-Young
• DL des fonctions usuelles en x=0

Fonctions réciproques et nouvelles fonctions usuelles (chapitre 7)

• définition
• exemples
• continuité et dérivabilité