1M001 - Analyse et algèbre pour les sciences - UPMC 2018-2019
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Laurent KOELBLEN
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Annales
Mise à jour :
Mercredi 26 septembre 2018, 14h00
Questions de cours pouvant être demandées en TD
- semaine du jeudi 27 septembre au mercredi 3 octobre 2018
- définition des ensembles majoré, minoré, maximum, minimum, borne supérieur et borne inférieur
- théorème de la borne supérieure
- définition de la limite d'une suite à l'aide des symboles ∀ et ∃
- semaine du jeudi 4 octobre au mercredi 10 octobre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- théorème des gendarmes
- limite de la somme, du produit et de l'inverse d'une suite
- théorème d'existence de la limite d'une suite croissante majorée
- définition de deux suites adjacentes et théorème d'existence de la limite de deux suites adjacentes
- définition de la limite d'une fonction à l'aide des symboles ∀ et ∃
- semaine du jeudi 11 octobre au mercredi 17 octobre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- définition de la continuité d'une fonction f(x) en x=a
- théorème des valeurs intermédiaire
- théorème des bornes atteintes
- semaine du jeudi 18 octobre au mercredi 24 octobre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- définition de la dérivabilité de f(x) en x=a où a est un point intérieur du domaine de définition
- formules de la dérivée de la somme, du produit et du quotient de deux fonctions
- formule de la dérivée d'une fonction composée de deux fonctions
- énoncés du théorème de Rolle et du théorème des accroissements finis
- semaine du lundi 5 novembre au vendredi 9 novembre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- sens de variation des fonctions (théorème 3.6)
- propriétés de la fonction exponentielle
- propriétés de la fonction logarithme népérien
- semaine du lundi 12 novembre au vendredi 16 novembre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- définitions et propriétés des fonctions puissances xa pour a un réel quelconque
- théorème de comparaison des croissances des fonctions exp(x), ln(x) et xa pour a>0
- définitions et propriétés des fonctions sin(x), cos(x) et tan(x)
- les graphes des fonctions ln(x), exp(x), xa, sin(x), cos(x) et tan(x) sont à connaître par cœur
- semaine du lundi 19 novembre au vendredi 23 novembre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- théorèmes de résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 sans ou avec second membre (théorème 3.38 et 3.40)
- savoir traiter un exemple simple d'équation différentielle linéaires d'ordre 1 par la méthode de variation de la constante
- savoir traiter un exemple simple d'équation différentielle linéaires d'ordre 1 à coefficient constant
- semaine du lundi 26 novembre au vendredi 30 novembre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- Définition et propriétés : conjugué, module, parties réelle et imaginaire, inégalité triangulaire, affixe d'un point du plan, argument, expression d'un nombre complexe sous forme polaire
- définition de l'exponentielle complexe et propriétés
- racines n-ième de l'unité
- semaine du lundi 3 décembre au vendredi 7 décembre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- théorème de la division euclidienne
- définition : racines d'un polynôme, multiplicité d'une racine
- proposition : caractérisation de la multiplicité par l'annulation des dérivées
- semaine du lundi 10 décembre au vendredi 14 décembre 2018
- questions de cours de la semaine précédente
- définition du DL de f(x) à l'ordre n en x=a
- primitive d'un DL (théorème 6.13)
- théorème de Taylor Young (théorème 6.15)
- DL à l'ordre n des fonctions 1/(1-x) ; 1/(1+x) ; ln(1+x) ; exp(x) ; cos(x) ; sin(x) et (1+x)a
Cours du lundi 17/09/2018 (M. Falbel)
- Nombres naturels : j'ai donné une liste d'axiomes définissant les nombres entiers naturels (théorème 1.3)
- Nombres naturels : théorème de la division euclidienne (théorème 1.26)
- Nombres relatifs : j'ai donné une liste d'axiomes pour définir un anneau commutatif (théorème 1.31)
- Nombres rationnels : j'ai donné une liste d'axiomes définissant un corps commutatif (théorème 1.51)
- J'ai démontré que racine de 2 n'est pas rationnel (exemple 1.68)
- Définitions : relation d'ordre, ensemble majoré, minoré, maximum, minimum, borne supérieure et borne inférieure (très important pour la suite) (§2.1)
- Énoncé de la propriété de la borne supérieure dans l'ensemble des nombres réels (théorème 2.15)
- Exemples et rappel de la notation pour les intervalles (proposition 2.17)
Cours du lundi 24/09/2018 (M. Koelblen)
- Reprise du cours précédent : ensemble majoré, minoré, maximum, minimum, borne supérieure et borne inférieure / théorème de la borne supérieure dans l'ensemble des nombres réels R
- Exemple : l'ensemble des nombres réels x strictement positifs tels que x^2 < 2 a pour borne supérieure √2 (la racine carrée de 2) dans R (exemple 2.13)
- Exemple : l'ensemble des nombres rationnels x strictement positifs tels que x^2 < 2 n'a pas de borne supérieure dans l'ensemble des nombres rationnels Q (exemple 2.13)
- Partie ouvertes et parties fermées de R. Intérieur et adhérence d'une partie de R (définition 2.19) Exemples (exemple 2.20)
- Généralités sur les suites et sous-suites (§2.3 uniquement ce qui concerne les suites)
- Définition de la limite d'une suite (de la définition 2.35 à la notation 2.39)
Cours du lundi 01/10/2018 (M. Koelblen)
- Limites de suites (extraits du §2.4)
- limite d'une suite (définition 2.36, remarque 2.37 et définition 2.38)
- unicité de la limite (lemme 2.40)
- ordre sur les limites (lemme 2.41)
- une suite qui a une limite dans R est bornée (lemme 2.43)
- limite d'une sous-suite (lemme 2.44)
- théorème des gendarmes (proposition 2.49 (a))
- limite de la somme du produit et de l'inverse (proposition 2.49 (d) (g) (o) (p) (q))
- théorème d'existence d'une limite d'une suite croissante majorée (théorème 2.46)
- suites adjacentes (définition 2.52 et théorème 2.53)
- Généralités sur les fonctions (§2.3)
- définition 2.28 (notamment le fait que le domaine de définition est une réunion d'intervalle)
- définition 2.31 (c) et (d) : fonctions croissantes / strictement croissantes / décroissantes / strictement décroissantes
- définition 2.33 (c) et (d) : fonctions majorées / minorées / bornées
- Limites de fonctions (extraits du §2.5)
- limite d'une fonction (définition 2.56, définition 2.58 et définition 2.60)
- caractérisation de l'existence de la limite d'une fonction à l'aide de suites (théorème 2.62)
Cours du lundi 08/10/2018 (M. Koelblen)
- preuve de la caractérisation de l'existence de la limite d'une fonction à l'aide de suites (théorème 2.62)
- limites de sommes, produits, inverses (etc.) de fonctions (proposition 2.64, conséquence du résultat analogue pour les suites)
- définition de la continuité d'une fonction (définition 2.65)
- exemples
- continuité de la composée de deux fonctions continues (théorème 2.66, conséquence de la caractérisation de l'existence de la limite d'une fonction à l'aide de suites)
- continuité de sommes, produits et inverses de fonctions continues (théorème 2.67 conséquence de la proposition 2.64 sur les limites de sommes, produits et inverses de fonctions)
- théorème des valeurs intermédiaire (théorème 2.68)
- théorème des bornes atteintes (théorème 2.69, admis)
Cours du lundi 15/10/2018 (M. Falbel)
- Dérivabilité de f(x) en x=a où a est un point intérieur du domaine de définition (définition 3.1)
- Dérivabilité de f(x) en x=a par l'existence du développement à l'ordre 1 : f(a+h)=f(a)+h.f'(a)+h.ε(h) où ε(h) → 0 quand h → 0 et équivalence entre les deux définitions
- Une fonction f(x) dérivable en x=a est continue en x=a (remarque 3.2)
- Formules de la dérivée de la somme, du produit et du quotient de deux fonctions (théorème 3.10)
- Formule de la dérivée d'une fonction composée de deux fonctions (théorème 3.9)
- Fonctions dérivables sur un intervalle ouvert (définition 3.1)
- Dérivée successives (définition 3.11)
- Énoncés du théorème de Rolle et du théorème des accroissements finis (théorème 3.4 et théorème 3.5)
Cours du lundi 22/10/2018 (M. Koelblen)
- Démonstration du théorème de Rolle et du théorème des accroissements finis (théorème 3.4 et théorème 3.5)
- Sens de variation des fonctions (théorème 3.6) et exemples
- Fonction exponentielle (théorème et définition 2.70 démontré pour x>0, théorème 2.72 admis, corollaire 2.73, corollaire 2.74, §3.2.2)
- Fonction logarithme népérien (§3.2.3)
Cours du lundi 5/11/2018 (M. Koelblen)
- Rappels sur la fonction exp(x) et la fonction ln(x)
- Fonctions puissances à exposants réels (§3.2.4) : xa = exp( a.ln(x) )
- Théorème de comparaison des croissances des fonctions exp(x), ln(x) et xa pour a>0 (omis dans le poly) :
- xa/ln(x) a pour limite +infini quand x tend vers +infini
- exp(x)/xa a pour limite +infini quand x tend vers +infini
- xa.ln(x) a pour limite 0– quand x tend vers 0+
- xa.exp(-x) a pour limite 0+ quand x tend vers +infini
- fonctions trigonométriques (§3.2.5)
Cours du lundi 12/11/2018 (M. Koelblen)
- Preuve des limites données au cours précédent, pour a>0 :
- xa/ln(x) a pour limite +infini quand x tend vers +infini
- exp(x)/xa a pour limite +infini quand x tend vers +infini
- xa.ln(x) a pour limite 0– quand x tend vers 0+
- xa.exp(-x) a pour limite 0+ quand x tend vers +infini
- Equations différentielles (section 3.3) :
- résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 sans second membre (théorème 3.38)
- résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 avec second membre (théorème 3.40)
- combinaison d'équations différentielles d'ordre 1 avec second membre (proposition 3.42)
- méthode de variation de la constante (proposition 3.43)
- exemple 3.44
- équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficient constant (proposition 3.46 et exemple 3.47 (1) et (2) ; les autres exemples sont laissés en exercices)
Cours du lundi 19/11/2018 (M. Falbel)
- Définition de nombres complexes (section 4.1 ; C=R2 muni d'une opération d'addition et d'une opération multiplication)
- Définition et propriétés : conjugué, module, parties réelle et imaginaire, inégalité triangulaire (section 4.1), affixe d'un point du plan, argument, expression d'un nombre complexe sous forme polaire (section 4.2)
- définition de l'exponentielle complexe et propriétés (section 4.3) racines n-ième d'un nombre complexe et racine de l'unité (section 4.4)
- fonctions à valeurs complexes, limites, continuité et dérivation (section 4.5 et notamment le théorème 4.28 et l'exemple 4.29)
- Application aux équation différentielles (section 4.6 et notamment lemme 4.30)
Cours du lundi 26/11/2018 (M. Koelblen)
- Définition de K[X] (pour K=R ou K=C) muni de trois opérations : addition, multiplication, multiplication par un scalaire, et propriétés (définition 5.1 à remarque 5.10)
- composition, dérivation et formules sur la dérivation (définition 5.11 à proposition 5.13)
- théorème de la division euclidienne (théorème et définition 5.17) et exemple 5.18
- définition : A est divisible par B si le reste de la division euclidienne de A par B est nul
- racines d'un polynôme et multiplicité d'une racine (définition 5.19, proposition 5.20 et définition 5.21)
- caractérisation de la multiplicité d'une racine par l'annulation des dérivées (proposition 5.22)
- théorème de d'Alembert et écriture d'un polynôme à coefficients complexes comme produits de polynômes de degré 1 (théorème 5.23 et théorème 5.33)
- écriture d'un polynôme à coefficients réels comme produits de polynômes de degré 1 et de polynômes de degré 2 sans racine réelle (lemme 5.34 et théorème 5.35)
Cours du lundi 3/12/2018 (M. Koelblen)
- Définition d'un développement limité (définition 6.1 et remarque 6.2) ci-dessous noté DL
- Exemple 6.3 : DL de 1/(1-x)
- Unicité du DL (proposition 6.4)
- Remarque 6.5 : f(x) admet un DL à l'ordre 1 en x=a est équivalent au fait que f(x) est dérivable en x=a, mais il n'y a pas de résultat analogue pour les ordres supérieurs
- Notation de Landau (définition 6.7 et proposition 6.8) IMPORTANT
- Opérations algébriques sur les DL (paragraphe 6.3 et exemples)
- Primitive d'un DL (théorème 6.13 admis)
- Exemple 6.14 : DL de ln(1+x)
- Théorème de Taylor-Young (théorème 6.15 admis)
- Exemple 6.16 : DL de exp(x)
- DL des fonctions usuelles (paragraphe 6.6)
- DL de 1/(1-x) et de 1/(1+x)
- DL de ln(1+x)
- DL de exp(x)
- DL de cos(x) et de sin(x)
- DL de tan(x) à l'ordre 5
- DL de (1+x)a
- DL de √1+x et de 1/√1+x à l'ordre 2