1M001 - Analyse et algèbre pour les sciences - UPMC 2016-2017

année précédente / année suivante

section MIPI 15 - Laurent KOELBLEN

Polycopié et feuilles d'exercices.

Programme officiel du cours

Les documents suivants servent de base pour les cours donnés en amphi. Ils ont été élaboré en 2013-2014 par Patrick Polo.

• Chapitre 1, R, borne supérieure et conséquences
• Chapitre 2, limite et continuité
• Chapitre 3, dérivabilité, théorème des accroissements finis, variations des fonctions
• Chapitre 4, fonctions usuelles
• Chapitre 5, développements limités

• Feuille d'exercices n°1, R, continuité, limites
• Feuille d'exercices n°2, dérivabilité, théorème des accroissements finis, variations des fonctions
• Feuille d'exercices n°3, fonctions usuelles, développements limités, formule de Taylor
• Feuille d'exercices n°4, équations différentielles linéaires du 1er ordre, plan affine, espace affine de dimension 3
• Feuille d'exercices n°5, nombres complexes
• Feuille d'exercices n°6, polynômes

Se reporter au programme officiel du cours et à ce document pour les chapitres suivants :

• équations différentielles linéaires du premier ordre
• les nombres complexes et l'exponentielle complexe
• polynômes et racines
• produit scalaire et produit vectoriel dans R² et R³

Annales

• partiel du 20 octobre 2016 : sujet / corrigé
• examen du 3 décembre 2016 : sujet / corrigé
• examen du 12 décembre 2016 (parcours bio-math Roscoff) : sujet / corrigé

• partiel du 24 octobre 2015 : sujet / corrigé
• examen du 15 décembre 2015 : sujet / corrigé
• rattrapage du 1 juin 2016 : sujet / corrigé

• partiel octobre 2014 : sujet / corrigé
• examen décembre 2014 : sujet / corrigé
• rattrapage juin 2015 : sujet

Mise à jour :
Dimanche 20 novembre 2016, 12h30

Questions de cours pouvant être demandées en TD

• semaine du 19 au 23 septembre 2016
  • énoncé de la propriété de la borne supérieure
  • définition et liste des différents type d'intervalle (bornés, non bornés, ouverts, fermés, semi-ouvert/semi-fermés)
  • définition de la limite d'une fonction en un point
  • définition de la continuité d'une fonction en un point
  • énoncé du théorème 1.15 des valeurs intermédiaires
• semaine du 26 au 30 septembre 2016
  • définition 1.17 et énoncé du théorème 1.18 sur les suites adjacentes
  • énoncé du théorème 1.21 sur les bornes atteintes
  • énoncé du théorème 2.12 : limites et inégalités larges
  • énoncé du théorème 2.15 : théorème des gendarmes
• semaine du 3 au 7 octobre 2016
  • définition 3.1 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par limite du taux d'accroissement
  • définition 3.3 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par l'existence d'un développement limité à l'ordre 1
  • énoncé du théorème 3.14 : dérivabilité d'une somme, produit ou quotient de fonctions dérivables
  • énoncé du théorème 3.11 : dérivabilité d'une fonction composée
  • énoncé du théorème 3.24 : théorème des accroissement finis
• semaine du 10 au 14 octobre 2016
  • énoncé du théorème 3.35 : sens de variation et dérivée d'une application réciproque
  • définitions, propriétés et tracés approximatifs des fonctions ln(x) et exp(x)
  • théorème de croissance comparée des fonctions exp(x), x et ln(x) en + infini
• semaine du 17 au 21 octobre 2016
  • définitions, propriétés et tracés approximatifs de x^a (a réel quelconque)
  • croissances comparées des fonctions exp(ax), x^b et ln(x)^c en + infini et en 0
  • définitions, propriétés et tracés approximatifs des fonctions usuelles Arcsin(x), Arccos(x), Arctan(x), sh(x), ch(x), th(x), Argsh(x), Argch(x), Argth(x)
• semaine du 24 au 28 octobre 2016
  • définition d'un DL
  • théorème d'intégration d'un DL
  • théorème de Taylor-Young
  • DL des fonctions usuelles : 1/(1-x) ; exp(x) ; sin(x) ; cos(x) ; ln(1+x) ; Arctg(x) ;
• semaine du 7 au 11 novembre 2016
  • DL des fonctions usuelles en x=0 : (1+x)^a à l'ordre n ; (1+x)^1/2 et (1+x)^-1/2 à l'ordre 2 ; Arcsin(x) et Arsh(x) à l'ordre 5 ; tan(x) à l'ordre 5
  • Savoir traiter un exemple simple de produit de DL
  • Savoir traiter un exemple simple de composition de DL
• semaine du 14 au 18 novembre 2016
  • Théorème de Taylor-Lagrange
  • Définition et résolution d'une équation différentielle homogène
  • Définition et résolution d'une équation différentielle avec second membre
  • savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant dont le second membre est composé de xⁿ, exp(bx), sin(cx) et cos(cx)
  • savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre par la méthode de variation de la constante
• semaine du 21 au 25 bovembre 2016
  • exponentielle complexe
  • racine n-ième de l'unité dans C
  • division euclidienne des polynômes : théorème et savoir traiter un exemple
• semaine du 28 novembre au 2 décembre 2016
  • racine d'un polynôme, multiplicité d'une racine, caractérisation de la multiplicité à l'aide des dérivées du polynôme
  • polynôme irréductibles dans R et dans C
  • savoir calculer les racines d'un polynôme de degré 2 à coefficients complexe

1^er cours — Lundi 5 septembre 2016

Chapitre 1 : l'ensemble R des nombres réels, la propriété de la borne supérieure et ses conséquences

• description des ensembles de nombres N, Z, Q, propriétés de Q
• théorème 1.1 : existence et propriété de l'ensemble R des nombre réels, propriété de la borne supérieure
• définition 1.3 : majorant, minorant, caractérisation de la borne supérieure
• exemple 1.7 et remarque 1.8 : racine carrée de 2
• définiion 1.10 : intervalles, intervalles ouverts, fermés, etc.
• ouverts de R

2^e cours — Lundi 12 septembre 2016

(Pour ce cours : se reporter aussi au chapitre 2 sur les limites)

• définition 2.2 : limite d'une suite
• théorème 2.8 : opérations algébriques sur les limites de suites
• définition 2.3 : limite d'une fonction en un point
• théorème 2.7 : unicité de la limite
• illustrations et exemples, notamment E(x) et sin(1/x)
• théorème 2.11 : opérations algébriques sur les limites de fonctions
• définition 1.13 et théorème 2.17 : fonctions continues en un point
• proposition 1.26 : produit, somme et composition de fonctions continues
• définition 1.14 : fonctions continues sur un intervalle
• théorème 1.15 : théorème des valeurs intermédiaires

3^e cours — Lundi 19 septembre 2016

(Pour ce cours : se reporter aussi au chapitre 2 sur les limites)

• théorème 1.18 : convergence des suites adjacentes
• théorème 1.21 : une fonction continue sur un intervalle fermée est bornée et atteint ses bornes
• compléments sur les limites et la continuité :
  • théorème 2.12 : limites et inégalités larges
  • théorème 2.15 : théorème des gendarmes
  • définition 2.22 : prolongement par continuité
  • exemple : prolongement par continuité de x.sin(1/x)
  • recollement de fonctions

4^e cours — Lundi 26 septembre 2016

Chapitre 3 : dérivabilité, théorème des accroissements finis, variations des fonctions

• définition 3.1 : dérivée comme limite du taux d'accroissement
• définition 3.7 : interprétation graphique
• définition 3.3 : dérivabilité par l'existence d'un développement limité à l'ordre 1
• corollaire 3.6 : une fonction dérivable est continue
• définition 3.8 : dérivées successives, fonctions de classe Cⁿ et C^∞
• théorème 3.11 : dérivée d'une fonction composée
• théorème 3.14 : sommes, produits, inverses et quotients de fonctions dérivables
• exemples : proposition 3.13, corollaire 3.17, corollaire 3.18
• définition 3.19 : extremum local
• proposition 3.21 : condition d'existence d'un extremum local
• théorème 3.23 : théorème de Rolle
• théorème 3.24 : théorème des accroissements finis

5^e cours — Lundi 3 octobre 2016

• définition 3.27 : variations des fonctions
• théorème 3.29 : fonctions dérivables croissantes ou décroissantes
• définition 3.32 : application réciproque
• théorème 3.35 : continuité et dérivabilité d'une application réciproque
• interprétation graphique
• exemple : racine n-ième

Chapitre 4 : fonctions usuelles

• 4.1 à 4.4 : définition et propriétés de la fonction logarithme
• 4.5 et 4.6 : définition et propriétés de la fonction exponentielle
• théorèmes de croissances comparées :
  • proposition 4.7 : lim x/ln(x) en + infini
  • corrollaire 4.8 : lim exp(x)/x en + infini

6^e cours — Lundi 10 octobre 2016

• proposition 4.10 : croissances comparées des fonctions exp(ax) x^b et ln(x)^c en + infini et en 0
• définitions et propriétés :
  • fonctions trigonométriques sin(x) et cos(x)
  • fonctions réciproques : Arcsin(x) et Arccos(x)
  • fonctions tan(x) et Arctan(x)
  • fonctions hyperboliques sh(x), ch(x) et th(x)
  • fonctions réciproques Argsh(x), Argch(x) et Argth(x)

7^e cours — Lundi 17 octobre 2016

Chapitre 5 : développements limités

• premier exemple : 1/(1-x)
• Définition : fonction négligeable devant une autre au voisinage de a : notation f=o(g) ou f(x)=o(g(x)) (on dit « f égale petit-o de g »)
• exemple : f=o(1) signifie que f tend vers 0 quand x tend vers a
• fonction du même ordre qu'une autre au voisinage de a : notation f=O(g) ou f(x)=O(g(x)) (on dit « f égale grand-O de g »)
• exemple : f=O(1) signifie que f est bornée au voisinage de a
• fonctions équivalentes : notation f ~ g ou f(x) ~ g(x)
• définition d'un DL à l'odre n au vosinage de a
• théorème d'intégration d'un DL
• théorème : formule de Taylor-Young
• quelques exemples :
  • formule de Taylor : e^x ; sin(x) ; cos(x) ;
  • intégration d'un DL : ln(1+x) ; Arctg(x) ;

8^e cours — Lundi 24 octobre 2016

• DL de (1+x)^a en x=0 à l'ordre n
• Dl de (1+x)^1/2 et (1+x)^-1/2 en x=0 à l'ordre 2 en 0
• DL de Arcsin(x) et Arsh(x) en x=0 à l'ordre 5
• produit de DL (theoreme 5.14) et exemple
• composé de DL (théorème 5.15) et exemple
• DL dde tan(x) en x=0 à l'ordre 5

Pas de cours le Lundi 31 octobre 2015

9^e cours — Lundi 7 novembre 2016

• Théorème de Taylor-Lagrange

Équations différentielles linéaires du premier ordre

• Définition 8.1.1 : équation différentielle homogène (aussi dite sans second membre)
• Théorème 8.1.2 : solutions d'une équation différentielle homogène
• Définition 8.2.1 : équation différentielle avec second membre
• Théorème 8.2.2 / Corollaire 8.2.3 : solutions d'une équation différentielle avec second membre
• solution d'une équation différentielle (E) y'-ay = b(x) — dite à coefficient constant — dont le second membre b(x) est somme et produit de fonctions puissances entières xⁿ, d'exponentielles exp(bx) et de fonctions trigonométriques sin(cx) et cos(cx)
• Proposition 8.2.5 méthode dite de variation de la constante
• exemples

10^e cours — Lundi 14 novembre 2016

Le corps des nombres complexe et l'exponentielle complexe

• définition : on introduit le nombre imaginaire i tel que i²=-1 ; les nombres complexes sont les nombre de la former a+ib avec a et b dans R
• représentation géométrique des nombres complexes : affixe z d'un point M de R²
• partie réelle, partie imaginaire, conjugué
• module d'un nombre complexe
• argument d'un nombre complexe : angle entre l'axe Ox et la droite (OM)
• détermination de l'inverse d'un nombre complexe non nul
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = |z| (cos t + i sin t)
• définition de exp(it) et de exp(a+ib)
• vérification de la formule exp(z+z') = exp(z) x exp(z') à l'aide des formules trigonométriques
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = r exp(it) où r est le module et t l'argument de z
• formules : exp(nz) = exp(z)ⁿ où n est un entier relatif
• racine n-ième de l'unité, solutions de l'équation zⁿ=1 : exp(2ikπ/n) où 0≤k<n (il y a exactement n racine)

Polynômes à coefficients réels ou complexes

On considère un corps K qui peut être R ou C

• définitions : opérations + et x, degré d'un polynôme (par convention deg 0 = -∞), polynômes constants, K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans K, si P∈K[X] et x∈K, on note P(x) l'évaluation de P en x
• proposition K[X] est un anneau commutatif
• théorème de la division euclidienne : pour tous polynômes A et B à coefficients dans K, avec B≠0, il existe un unique couple de polynôme (Q,R) à coefficients dans K tel que A=BQ+R et deg R < deg B
• démonstration sur un exemple
• définition et proposition : déf. : a est racine de P si P(a)=0 ; prop. : on a alors P=(X-a)Q ; déf. : a est racine simple si Q(a)≠0 ; déf. : a est racine multiple d'ordre m si P=(X-a)^mQ avec Q(a)≠0

11^e cours — Lundi 21 novembre 2016

• dérivation des polynômes
• proposition : a est racine multiple d'ordre m si et seulement si P(a)=0, P'(a)=0, P''(a)=0, ... , P^(m-1)(a)=0 et P^(m)(a)≠0
• définition : PGCD de deux polynômes non nul
• théorème de Bézout : il existe deux polynômes U et V tels que AU+BV=PGCD(A,B)
• algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD
• théorème de d'Alembert : tout polynôme P à coefficient dans C a une racine dans C ; conséquence : tout polynôme P à coefficient dans C s'écrit de façon unique  P=c(x-a₁)^m₁...(X-a_r)^m_r avec c,a₁,...,a_r∈C et m₁+...+m_r=deg P
• méthode de calcul des racines d'un polynôme de degré 2 à coefficients complexex
• proposition : si z∈C est racine d'un polynôme P∈R[X], alors le conjugué de z est aussi racine de P, avec le même ordre de multiplicité
• corrolaire : tout polynôme P à coefficient dans R s'écrit de façon unique  P=c(x-a₁)^m₁...(X-a_r)^m_rQ₁^n₁...Q_s^n_s où c,a₁,...,a_r∈R, Q₁,...Q_s sont des polynômes de degré 2 à coefficient réels sans racine réelle, et m₁+...+m_r+2(n₁+...+n_s)=deg P
• Exemple : factorisation de X⁵-1 ; dans C[X] on a X⁵-1 = (X-1)(X-e^2iπ/5)(X-e^4iπ/5)(X-e^6iπ/5)(X-e^8iπ/5) ; dans R[X] on a X⁵-1 = (X-1)(X²-2cos(2π/5)X+1)(X²-2cos(4π/5)X+1)

Pas de cours le Lundi 28 novembre 2016