Université Pierre et Marie Curie  Paris 6 , UFR 921

 Deuxième semestre 2001/2002

Valeurs spéciales des polylogarithmes multiples

Diplôme d'Études Approfondies

méthodes algébriques

 Les jeudis, de 9h à 12h, Salle 0D7, Institut de Mathématiques, 175 rue du Chevaleret., 75013 PARIS
Premier cours le jeudi 14 février 2002. Dernier cours le jeudi 20 juin 2002.

Résumé

À chaque suite finie d'entiers strictement positifs on associe une fonction polylogarithme analytique dans le polydisque unité. Cette fonction est continue dans le polydisque fermé et sa valeur au point 1 est un nombre polyzêta (multizêta ou encore valeurs zêta multiples). Ces fonctions satisfont à plusieurs relations de mélanges qui conduisent à des relations de dépendance quadratique ou linéaire entre les polyzêtas. Un des principaux buts de ce cours est de décrire et d'étudier les algèbres associées.
Deux outils nous seront spécialement utiles: on utilisera d'abord des polynômes et des séries en variables non commutatives, ce qui sera l'occasion d'introduire les relations de mélanges ainsi que la notion d'algèbre de Lie libre. On définira ensuite les intégrales itérées de Chen, qui permettent d'exprimer les polylogarithmes comme des intégrales.

 

Prérequis:

Les connaissances requises sont celles de la maîtrise en théorie des fonctions analytiques et en algèbre.

Références~:

Ce cours est également proposé en télé-enseignement:

Une journée consacrée à la combinatoire des algèbres de Hopf et à ses applications a eu lieu à Lille le 26 Mars 2002. Les informations se trouvent sur le site http://www.lifl.fr/~ejc2002/local où se trouvent notamment trois textes sous format postscript: polylogs.ps, dea.ps et hopf.ps


Jeudi 14 février 2002.

0. Introduction: motivations.

Valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers >1. Questions d'indépendance algébrique.
Multizêta (ou polyzêta): questions d'indépendance linéaire: conjecture de Zagier.
Polylogarithmes usuels, multiples. Produit de polylogarithmes.
Polylogarithmes associés à des mots, polyzêta formels.
Plan du cours.

Jeudi 21 février 2002

1. Polynômes et séries en variables non commutatives

1.1 - Monoïde libre X* sur un ensemble X
Semi-groupes: sous-semi-groupes, morphismes.
Monoïdes, sous-monoïdes, morphismes. Sous-ensembles rationnels, relations rationnelles.
Alphabet, lettres, mots, concaténation, longueur.
Monoïde libre X* et semi-groupe libre X+ sur un ensemble X.
Classes de conjugaison, mots primitifs. Codes.
Ordre lexicographique. Mots de Lyndon Ly(X). Caractérisation des mots de Lyndon.
Décomposition d'un mot en produit décroissant de mots de Lyndon. Factorisation standard d'un mot de Lyndon.
Automates: chemins réussis, ensemble de mots reconnu par un automate, états accessibles. Automates déterministes.

Références: [R], §1.1, §1.4, §5.1 et § 6.1 ; [Lo1] Chap. 1 et §§ 5.0, 5.1 et 5.3

Jeudi 28 février 2002

2. Algèbre associative libre, algèbre de Lie libre, théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt

Compléments sur les mots de Lyndon: Ly(X) ; factorisation standard, nombre de mots de Lyndon de poids donné, formule d'inversion de Möbius.
K-algèbre associative K{M} attachée à un monoïde M; exemples: K[X] (polynômes commutatifs sur un ensemble X),
K-algèbre associative libre K<X> sur un ensemble X.
Algèbres graduées, filtrations, séries de Hilbert.
Algèbres de Lie. Algèbre enveloppante.
Algèbre de Lie libre Lie(X) sur un ensemble X. Théorèmes de structure:
Lie(X) est un K-module libre de base Ly(X)
K<X> est l'algèbre enveloppante de Lie(X).
Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt: structure de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie
Algèbre de séries formelles K<<X>>.

Références: [Lo1] Chap. 5 et [R] chap. 0, 1 et 5.

Jeudi 7 mars 2002

3. Séries rationnelles

Familles sommables. Séries rationnelles. Exponentielle et logarithme. Idéaux syntaxiques. Séries caractéristiques. Séries génératrices.

Références:
• J.Berstel , C.Reutenauer. Rational series and their languages. Springer-Verlag, EATCS Monographs on Theoretical Computer Science1988..

4. L'algèbre de mélange.

Mélange (shuffle) de deux sous-ensembles de X*, de deux polynômes de K[X], de deux séries de K[[X]].

Jeudi 14 mars 2002

Théorème de Radford: l'algèbre de mélange sur K[X] est une algèbre libre sur Ly(X).
Produit de mélange de deux automates. Application aux identité syntaxiques

Références pour l'algèbre de mélange:
[R] Chap. 6

Références pour les automates:
[Lo2] § 1.3
• G.Jacob. Réalisation des systèmes réguliers (ou bilinéaires) et les séries génératrices non commutatives, Séminaire d'Aussois, RCP 567, dans ``Outils et Modèles Mathématiques pour l'Automatique, l'Analyse des Systèmes, et le traitement de Signal", CNRS, Landau, 1980.

5. Intégrales itérées de Chen

5.1 Définition et propriétés.
5.2 Produit d'intégrales itérées et mélange.
5.3 Définition des polylogarithmes multiples en une variable, des polylogarithmes formels et des nombres polyzêta (valeurs zéta multiples ou MZV) numériques.
5.4 Polylogarithmes et intégrales itérées
5.5 Le produit de mélange lié aux intégrales

Références sur les intégrales itérées de Chen:
[K] Appendice du chap. XIX (§ XIX.11)
• [Lo1] exercice 6.3.8
• et travaux de Chen (1954), Ree (1958), Fliess (1981) (voir les références dans [Lo1])

Jeudi 21 mars 2002

6. L'algèbre harmonique

Compléments sur les produits cartésiens d'automates et le produit de mélange.
Polylogarithmes multiples en plusieurs variables; expression en termes d'intégrales itérées. Relations de mélange liées aux intégrales et relations de mélange lié aux séries.
Les relations linéaires provenant des deux relations de mélange
L'algèbre harmonique - définition et premières propriétés.

Jeudi 28 mars 2002

Théorème de Hoffman: l'algèbre harmonique est une algèbre libre sur Ly(X).
L'algèbre harmonique et les séries quasi-symétriques.
Références sur l'algèbre harmonique
[H] Hoffman, M.E. The Algebra of Multiple Harmonic Series. J. Algebra, 194 (1997) N°.2, 477-495.

Références sur les fonctions quasi-symétriques:
[ R] §9.4
• I.M. Gessel. Multipartite P-partitions and inner products of skew Schur funtions. Contemporary Math. 34 (1984), 289-301.
• I.G. Macdonald Symmetric functions and Hall polynomials (1995). Clarendon Press Oxford
• Textes de C. Malvenuto et C. Reutenauer, J. Algebra (1995) et de I.M. Gelfand et al., Advances in Math. (1995): voir les références dans [C]

Relations linéaires entre polyzêta

Les relations linéaires provenant de séries divergentes: relations d'Hoffman

Jeudi 4 avril 2002

Introduction aux algèbres de Hopf, par Francis Brown.
Les relations linéaires provenant de séries divergentes: relations de double mélange régularisées de Ihara et Kaneko

Références sur les relations de double mélange régularisées:
• Ihara, K; Kaneko, M - Derivation relations and regularized double shuffle relations of multiple zeta values. Manuscrit, 2001.
Voir aussi [C]

Jeudi 11 avril 2002

Les relations de double mélange régularisées (suite)
Série génératrice des valeurs de la fonction zêta de Riemann
L'algèbre des polyzêta formels; exemples en petits poids.
La conjecture de Zagier sur la dimension de l'espace vectoriel des polyzêta de poids donné
La conjecture de Broadhurst sur le degré de transcendance.

Relations linéaires entre multizêta

Dualité
Formule de la somme
Relations d'Ohno 

Mai-juin 2002:

L'examen écrit a eu lieu le vendredi 14 juin. Une ébauche de corrigé est proposée.

Soutenance de Mémoires de DEA:

Lundi 17 juin 2002.

Lundi 24 juin 2002.


Michel Waldschmidt
URL : https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/polylogs.html
adresse électronique : miw@math.jussieu.fr
mise à jour: septembre 2002