Attention changements de salle
salles : 15-16 101 les mardis et le jeudi 4 décembre ; 15-16 413 les vendredis
salles : 15-16 201 les mercredis ; 15-16 101 le jeudi 27 novembre
Livres :
Référence sur les outils d'analyse utilisés dans le cours :
Notes de cours :
I. Le laplacien riemannien
introduction, théorème, spectre du laplacien
inégalité de Poincaré, compacité, λ₁
II. Opérateurs elliptiques et théorie de Hodge
III. Formule de Bochner et applications
rappels sur la théorie des connexions, l'identité de Bianchi, le tenseur de Ricci ; formule de Bochner (énoncé), application au b₁ et aux champs de Killing
formule de Bochner (démonstration), bornes sur λ₁ dans les cas Ric > 0 et Ric ≥ 0 (inégalité de Li-Yau)
IV. Théorie générale des opérateurs elliptiques
espaces de Sobolev L², introduction aux opérateurs pseudodifférentiels, régularité elliptique ; autres espaces de Sobolev, espaces de Hölder
injections de Sobolev, régularité elliptique dans ces espaces
V. Exemples d'équations géométriques non linéaires : la courbure scalaire
courbure de Gauss sur les surfaces de genre > 1
problème de Yamabe : position du problème, le cas non critique
le cas de la sphère, l'ε-régularité
résolution dans le cas d'une constante de Yamabe strictement inférieure à celle de la sphère ; résolution dans le cas non conformément plat à partir de la dimension 6
le cas conformément plat et le cas des petites dimensions ; introduction au théorème de la masse positive