SEMINAIRE de GEOMETRIE

Institut de Mathématiques de
Jussieu-Paris Rive Gauche
(UMR 7586)

Laboratoire d'Analyse et de
Mathématiques Appliquées
(UMR 8050)

Hébergé par le projet Géométrie et Dynamique de l'IMJ-PRG, contact

Organisateurs : Laurent Hauswirth - Paul Laurain - Rabah Souam - Eric Toubiana

Lundi à 11h00
Bâtiment Sophie Germain (Comment y aller ?), premier étage, salle 1013

2022 - 2023

Le 26 juin 2023 : Exceptionnellement au bâtiment Buffon, salle RH02B, rez-de-chaussée
- à 11h00 : Léo BRUNSWIC (Huawei Shanghai Postdoctoral Research Center, Jiaotong Shanghai University)
Branched coverings of singular (G,X)-manifolds

Résumé : The notion of (G,X)-structure on a manifold introduced by Ehresman and popularized by Thurston is an
interpretations of a "geometric structure" allowing via the developing map Theorem to efficiently express and prove
uniformization results such as: "every compact locally Euclidean manifold is isomorphic to a quotient of the Euclidean
space by a discrete group of isometry".
Singularities, such as conical singularities, are common place in constructions of manifolds endowed with such structures.
On the one hand, the notion of singular (G,X)-manifold is not so well-defined and is usually understood as "there is a
(G,X)-structure on the complement of the (n-2)-facet of a simplicial decomposition". On the other hand, we may want to use
developing maps and holonomies to express and prove uniformization results for singular (G,X)- manifolds. Furthermore,
leaving the realm of metric structures, interesting singularities become more complex.
In order to help manipulations of singular (G,X)-manifolds, we give a topological caracterization of reasonable singular
locii and provide tools allowing to build developing maps in non-trivial situations. Doing so, we prove some new
results on branched covering à la Fox.
To illustrate these methods we prove a uniformization result for flat Lorentzian 3-manifolds endowed with a type of cuspidal ends.

Le 19 juin 2023 : Exceptionnellement au bâtiment Buffon, salle RH02B, rez-de-chaussée
- à 11h00 : Jens HOPPE (Braunschweig University, Germany)
Zero-mean-curvature hypersurfaces in Minkowski space

Résumé : I will present explicit examples, and Baecklund transformations relating them.

Le 12 juin 2023 : Exceptionnellement au bâtiment Buffon, salle RH02B, rez-de-chaussée
- à 11h00 : Dorian MARTINO (IMJ-PRG, Paris)
Quantification d'énergie des surfaces de Willmore

Résumé : Les surfaces de Willmore permettent d'appréhender les transformations conformes de surfaces minimales.
Une première question fondamentale pour la compréhension de l'espace de modules de ces surfaces est de savoir si,
étant donné une famille de surfaces de Willmore d'énergie bornée, celle-ci converge ou non vers une surface limite.

Dans cet exposé, nous montrerons que sous une hypothèse d'indice borné, une telle suite converge fortement vers une
surface limite modulo des bulles. Pour ce faire, nous étudierons la question du point de vue de l'application de Gauss conforme.

Le 22 mai 2023 : Exceptionnellement au bâtiment Buffon, salle RH02B, rez-de-chaussée
- à 11h00 : Riccardo CANIATO (ETH Zurich)
Variations of Yang-Mills lagrangians in high dimension

Résumé : In this talk we will present some analysis aspects of gauge theory in high dimension. First, we will study
the completion of the space of arbitrary smooth bundles and connections under L^p-control of their curvature. We will start
from the classical theory in critical dimension (i.e. n=2p) and then move to the super-critical dimension (i.e. n>2p), making
a digression about the so called "abelian" case and thus showing an analogy between p-Yang-Mills fields on abelian bundles
and a special class of singular vector fields.
In the last part, we will show how the previous analysis can be used in order to build a Schoen-Uhlenbeck type regularity
theory for Yang-Mills fields in supercritical dimension.

Le 3 avril 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : Cécile HUNEAU (Ecole Polytechnique)
Stabilité des solutions de Kaluza-Klein

Résumé : La théorie de Kaluza-Klein est une première tentative d'unification de l'électromagnétisme avec la relativité générale, datant
des années 1920. L'idée principale de cette théorie est de considérer les équations d'Einstein sur un espace-temps produit en dimension 4+1,
symétrique dans la direction supplémentaire. L'ajout de dimensions compactes est maintenant présent dans de nombreuses théories physiques :
théorie des cordes, supergravité...
D'un point de vue mathématique, il est intéressant de se demander quel est le comportement des solutions des équations d'Einstein en présence
d'une direction supplémentaire compacte, sans hypothèse de symétrie.
Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec Caterina Vâlcu, ainsi qu'un travail avec Annalaura Stingo et Zoé Wyatt, dans lesquels
nous nous intéressons aux données initiales, et à la stabilité de la solution de Minkowski dans ces espaces produits.

Le 27 mars 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : Jean CHARTIER (Université Paris-Est)
Existence et construction d'une quasi-géodésique simple et fermée sur toute sphère polyédrale

Résumé : En 1949, Alexander Pogorelov discrétise le Théorème de Lusternik - Schnirelmann : il prouve l'existence de trois
quasi-géodésiques simples et fermées sur tout polyèdre convexe. Sa preuve ne fournit pas de bornes sur la longueur des trois
quasi-géodésiques.
Nous proposons une autre preuve d'existence d'une quasi-géodésique simple et fermée sur toute sphère polyédrale, non nécessairement
convexe, de longueur bornée. L'outil principal de cette preuve est un flot par disques appliqué à un balayage de la sphère par des cercles,
version discrète d'une idée originale de Haas et Scott. La borne sur la longueur nous permet dans un second temps de construire en temps
exponentiel une telle quasi-géodésique.

Le 20 mars 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : Romain PETRIDES (Université Paris Cité, IMJ-PRG)
Existence de disques non plans minimaux à bord libre dans des ellipsoïdes

Résumé : Nous montrons l'existence de disques non plans minimaux à bord libre plongés dans des ellipsoïdes de révolution de R³.
Ce résultat semble surprenant, sachant que de tels disques ne peuvent exister dans la boule par Nitsche, et que par analogie, toutes
les géodésiques simples fermées dans des ellipsoïdes doivent être planes. Le résultat est comparable à la réponse récente à une question
de Yau par Haslhofer et Ketover : il existe des sphères minimales plongées non équatoriales dans des ellipsoïdes de R⁴
suffisamment allongés.
Pour montrer ce résultat, nous utilisons une caractérisation des immersions ramifiées minimales à bord libre d'une surface dans
des ellipsoïdes comme objets critiques de fonctionnelles qui combinent des valeurs propres de Steklov dépendant d'une métrique
Riemannienne sur la surface. Nous obtenons ces disques non plans par maximisation de combinaisons linéaires bien choisies de
la première et seconde valeur propre de Steklov parmi les métriques du disque à périmètre fixé.
Nous expliquerons pourquoi nous construisons également des disques plongés avec cette méthode.

Le 13 mars 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : Daniel MEYER (Université Paris Cité, IMJ-PRG)
Approximation Polyédrale d'une variété riemannienne II

Résumé : Au précédent exposé on a vu, pour le domaine d'une variété riemannienne (M,g), un théorème d'approximation
polyédrique qui inclut l'approximation le long d'une courbe générique du transport parallèle riemannien par les transports
parallèles qui existent sur les polyèdres de l'approximation.
On s'attachera à développer les idées de Regge sur un plan mathématique : on introduira une courbure de type polyédrique
qui converge dans l'approximation vers une "moyenne" évaluée sur un carré test du tenseur de Riemann R( , ) vu comme
champ d'endomorphismes de TxM. Ces idées permettent d'établir une preuve du théorème que Regge a énoncé en 1961.

Il s'agit d'un travail en commun avec Eric Toubiana.

Le 6 mars 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : Eric TOUBIANA (Université Paris Cité, IMJ-PRG)
Approximation Polyédrale d'une variété riemannienne I

Résumé : Dans cette première partie, on décrira comment, étant donné une variété riemannienne lisse (M,g), on peut approcher
la métrique riemannienne et le transport parallèle par ceux définis sur des polyèdres (plats par morceaux) : l'approximation se fait
via la construction d'une suite de polyèdres.
En conclusion, on présentera un théorème énoncé par Regge, qui sera développé dans un deuxième exposé : l'intégrale de la
courbure scalaire sur un domaine compact D peut être approchée par une fonctionnelle qui est bien définie sur tout polyèdre du
type considéré.

Il s'agit d'un travail en commun avec Daniel Meyer.

Le 13 février 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : Laurent MAZET (Université de Tours)
Surfaces minimales à bord libre à l'extérieur de la boule

Résumé : Les surfaces minimales à bord libre dans un domaine Ω sont les surfaces minimales qui intersectent orthogonalement
le bord ∂Ω.
Dans cet exposé, on s'intéressera au cas où Ω est le complémentaire de la boule unité dans Rⁿ. Nous décrirons les exemples
invariants par rotation et donnerons quelques résultats de classification.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Abraao Mendes.

Le 6 février 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : Jeremy TOULISSE (Université de Nice)
Problème de Plateau dans l'espace pseudo-hyperbolique

Résumé : L'espace pseudo-hyperbolique H^2,n est l'analogue pseudo- Riemannien de l'espace hyperbolique. Dans cet exposé, j'expliquerai
comment résoudre le problème de Plateau asymptotique dans cet espace : étant donné un cercle topologique dans le bord à l'infini de H^2,n,
nous construisons une unique surface maximale complète qui s'appuie sur ce cercle.
Cette construction repose sur la théorie des courbes pseudo-holomorphes développée par Gromov.
Il s'agit d'un travail en commun avec François Labourie et Mike Wolf.

Le 30 janvier 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : David TEWODROSE (Nantes Université)
Limites de variétés à courbure de Ricci dans une classe de Kato uniforme

Résumé : Une borne inférieure sur la courbure de Ricci d'une variété riemannienne lisse entraîne de nombreux résultats
analytico-géométriques. Sur la base de cette observation, à la fin des années 1990, Jeff Cheeger et Tobias Colding ont développé une célèbre
théorie de structure pour les espaces limites de variétés riemanniennes lisses à courbure de Ricci uniformément minorée.
Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents obtenus avec Gilles Carron (Nantes Université) et Ilaria Mondello (Université Paris-Est Créteil)
dans lesquels nous montrons que cette théorie de structure reste essentiellement la même si on suppose que la courbure de Ricci satisfait une
hypothèse analytique plus faible, à savoir que la partie négative de sa borne inférieure optimale se trouve dans une classe de Kato uniforme.
J'expliquerai notamment comment nous appliquons notre théorie de structure pour obtenir des résultats de stabilité torique pour les variétés
riemanniennes fermées à constante de Kato petite.

Le 23 janvier 2023 :
- à 11h00, Salle 1013 : Alix DERUELLE (IMJ-PRG, Sorbonne Université)
Autour de la conjecture d'Hamilton-Lott

Résumé : La conjecture d'Hamilton-Lott porte sur la rigidité des métriques riemanniennes dites Ricci-pincées en dimension 3.
Nous expliquerons comment le flot de Ricci permet de résoudre cette conjecture. Au cœur de cette preuve se trouve un résultat
de stabilité locale en espace au temps initial pour des flots de Ricci partant de conditions initiales singulières. Un tel résultat
nous permet alors de se ramener au cas des solutions auto-similaires asymptotiquement coniques qui jouent ici un rôle central.
Ce travail est le fruit d'une collaboration avec Felix Schulze et Miles Simon.

Le 12 décembre 2022 :
- à 11h00, Salle 1013 : Hiba BIBI (Université de Tours)
Propriétés des hypersurfaces biharmoniques dans les sphères

Résumé : Nous démontrons un Théorème de Continuation Unique pour les hypersurfaces non-minimales biharmoniques
dans les sphères. Sous les bonnes hypothèses, ce résultat montre que, pour ces immersions, CMC sur un sous- ensemble
ouvert implique globalement CMC.
Nous en déduisons de nouveaux théorèmes de rigidité qui renforcent la conjecture que les sous-variétés biharmoniques
dans les sphères euclidiennes doivent être de courbure moyenne constante.

Le 5 décembre 2022 :
- à 11h00, Salle 1013 : Thomas RICHARD (Université Paris-Est Créteil)
Courbure scalaire positive, systoles, étirements

Résumé : À part le rayon d'injectivité, la positivité de la courbure scalaire ne contrôle pas les invariants métriques
usuels d'une variété Riemannienne (volume, diamètre, bas du spectre).
Je montrerai comment contrôler l'aire minimale des surfaces représentant certaines classes d'homologie (2-systoles)
et la distance entre deux représentants de certaines classes d'homologie (étirement) sous des hypothèses de courbure
scalaire.
Beaucoup de ces inégalités seront non optimales, voire conjecturales. Une réponse complète sera cependant donnée
pour certaines variétés Kahlériennes.

Le 28 novembre 2022 :
- à 11h00, Salle 1013 : Sylvestre GALLOT (Université de Grenoble Alpes)
D'une approximation à un difféomorphisme. Applications

Résumé : C'est un travail en cours d'élaboration, en collaboration avec G. Besson, G. Courtois et A. Sambusetti.
Nous considérons deux variétés riemanniennes complètes X et Y de même dimension entre lesquelles existe une
ε-approximation de Gromov-Hausdorff locale h : Y → X. Nous supposons que Y est de courbure comprise entre -1 et 1,
aucune hypothèse de courbure n'étant faite sur X.
En utilisant une version riemannienne intrinsèque du barycentre d'une mesure sur X, et en faisant varier cette mesure
en fonction de y ∈ Y, nous déformons h en une application différentiable H : Y → X qui s'avère être un difféomorphisme
lorsque ε est plus petit qu'une constante universelle ε₀, qui se calcule en fonction de la dimension et de bornes
inférieures des rayons de convexité de X et de Y .
A l'heure actuelle, ceci donne des résultats de rigidité différentielle pour les structures canoniques de R⁴ et de S⁴ (entre autres)
et des théorèmes de finitude (à difféomorphismes-près) pour les variétés compactes.

Le 14 novembre 2022 :
- à 11h00, Salle 1013 : Samuel TAPIE (Université de Lorraine)
Entropie à l'infini et trou critique en courbure négative

Résumé : Dans cet exposé, j'étudierai certains liens entre topologie, analyse et géométrie donnés par l'étude
du flot géodésique sur les variétés non compactes à courbure négative. Après avoir rappelé les notions classiques
d'entropie, je présenterai les notions d'entropie à l'infini et de trou critique, et différentes applications au comptage
des orbites fermées, au spectre du Laplacien et au mélange du flot géodésique.
Travail en commun avec S. Gouëzel B. Schapira

Le 7 novembre 2022 :
- à 11h00, Salle 1013 : Eleonora DI NEZZA (Sorbonne Université, IMJ-PRG)
Famille de métriques Kähler-Einstein

Résumé : Nous étudions des familles de métriques de Kähler-Einstein singulières. On développe les premières
étapes de la théorie du pluripotentiel en famille qui nous permet d'obtenir un contrôle très précis de l'estimé C⁰
même si la structure complexe de la variété change.
On peut donc traiter plusieurs contextes géométriques comme des familles de variétés de type général et des
familles de variétés Calabi-Yau : on montre que le potentiel d'une métrique Kähler-Einstein singulière sur la fibre
générique converge vers le potentiel de la fibre centrale.

Exceptionnellement le mercredi 19 octobre 2022, à 11h00, en Salle 1016 :
Marco GUARACO (Imperial College London)
Solving Plateau's problem via semilinear elliptic equations - boundary behavior

Résumé : Plateau's problem is one of the central problems in Geometric Analysis and PDE. Given an arbitrary closed curve in R³,
it asks for the existence of an area minimizing embedded surface with boundary equal to the given curve.
In 1960, Federer and Fleming conceived the theory of currents as a framework for solving this problem. A different approach was
proposed in 1990 by Fröhlich and Struwe, through the study of level sets of semilinar elliptic equations. They showed the existence
of a minimal surface which was smooth far away from the curve.
I will talk about joint work with Stephen Lynch, in which we show that the surface is also smooth up to the boundary, thus completing
a new solution to Plateau's problem.

Le 10 octobre 2022 :
- à 11h00, Salle 1013 : Álvaro Kruger RAMOS (UFRGS, Brésil)
Totally umbilic surfaces in hyperbolic 3-manifolds of finite volume

Résumé : Let S be a connected surface with finite negative Euler characteristic and let H be a real number with absolute value
less than one.
In this talk we show that S appears as a properly embedded, totally umbilic surface with mean curvature H in a hyperbolic
3-manifold of finite volume.
Conversely, a complete, totally umbilic surface with mean curvature H, embedded in a hyperbolic 3-manifold of finite volume
must be proper and have finite, negative Euler characteristic.
Joint work with Colin Adams and William Meeks.

Le 3 octobre 2022 :
- à 11h00, Salle 1013 : Samuel BRONSTEIN (ENS)
Disques presque-fuchsiens dans H³

Résumé : Les représentations presque-fuchsiennes sont des représentations de groupes de surfaces dans PSL(2, C) admettant
une surface minimale equivariante de courbure principale entre -1 et 1. Etudiées dans un premier temps par Uhlenbeck en 1983,
elles sont toujours l'objet d'études aujourd'hui, et sont un exemple de correspondance forte entre propriétés géométriques
de variétés hyperboliques de dimension 3 et propriétés algébriques des représentations associées.
Après avoir discuté des propriétés géométriques de ces représentations, je donnerai une description possible du locus presque-fuchsien
comme un ouvert du cotangent à l'espace de Teichmüller, et comme espace de quasi-cercles dans la sphère.

Le 26 septembre 2022 :
- à 11h00, Salle 1013 : Laurent HAUSWIRTH (Université Paris-Est)
Sur la géométrie d'un anneau minimal à bord libre dans la sphère unité

Résumé : Dans le débat sur l'unicité de la caténoïde comme unique anneau minimal à bord libre dans la sphère unité
vient la question de l'hypothèse du plongement de l'anneau. Je démontrerai l'existence d'anneaux à bord libre immergés
avec des symétries prismatiques. On peut en voir des images sur le site de Mario Schulz:
https://mbschulz.github.io/fbms/immersed.html
Par contre, quand l'angle d'incidence le long de la sphère unité est différent de pi/2, il existe des anneaux plongés. Cette
théorie est proche du point de vue de la bifurcation des surfaces de courbure moyenne constante. Cela répond à une question
de Wente sur l'unicité de la caténoïde vue comme surface capillaire dans la boule unité.

Ce séminaire est répertorié par l'Agenda des Conférences en Mathématiques.

Programmes par année :