Cours de Master 2: géométrie différentielle 1
Ce cours introduit des outils fondamentaux de topologie différentielle: la cohomologie de De Rham, la notion de transversalité, la théorie de Morse. L'objectif final du cours sera d'établir l'isomorphisme entre la cohomologie de De Rham et la cohomologie de Morse d'une variété.
- Horaires: Les cours ont lieu les mercredi de 8h30 à 10h30, et les jeudi de 13h45 à 15h45. Les TD ont lieu les mercredi de 13h45 à 15h45 et sont donnés par Nikolas Adaloglou.
- Salle: 15-16-101
- Notes de cours, exercices 1, exercices 2, exercices 3.
- Prérequis: géométrie différentielle de M1 (du master de SU), i.e. variétés différentielles, formes différentielles jusqu'au théorème de Stokes; autrement dit, tout le contenu de ce document sauf le chapitre 6.
- Avancement du cours:
- 1, 09/09: Variétés différentielles, fibré tangent, fibrés vectoriels, sous-variétés
- 2, 09/09: Formes différentielles, différentielle extérieure, intégration des formes différentielles
- 3, 10/09: Formule de Stokes et sa démonstration. Formes fermées, formes exactes, définition de la cohomologie de De Rham et premiers exemples.
- 4. 16/09: Invariance par homotopie de la cohomologie de De Rham, suite exacte de Mayer-Vietoris, quelques calculs.
- 5. 17/09: Cohomologie en degré maximal et intégration, Notion de transversalité, lemme de Sard.
- 6. 23/09: Démonstration du lemme de Sard, application au plongement de Whitney, théorème de transversalité paramétrique.
- 7. 24/09: Degré, intersection d'une application avec une sous-variété, Jets, énoncé du théorème de transversalité de Thom
- 8. 31/09: Démonstration du théorème de transversalité de Thom. Définition des fonctions de Morse.
- 9. 01/10: Topologie des sous-niveaux et points critiques. Cartes de Morse en un point critique. Généralités sur les flots gradients.
- 10. 7/10: cours annulé (mobilisation étudiante)
- 11. 14/10: ...
- 12. 15/10: ...
- Annulation des cours et TD à partir du 7 octobre: L'examen du 21 octobre est reporté au mois de janvier. Il ne portera que sur ce qui a été traité pendant les quatre premières semaines de cours, c'est-à-dire les cours 1 à 9, ainsi que sur les 3 premières séances de travaux dirigés. En revanche, les notes de cours seront complétées et postées ici. Elles contiendront le contenu de ce qui aurait pu être traité sans annulation de cours.
Master Mathématiques et Applications
Depuis le 1er septembre 2025, je suis directeur adjoint du Master de Mathématiques et Applications de Sorbonne Université et plus particulièrement co-responsable du M1 avec Laurent Boudin.
Les étudiants souhaitant me contacter sont invités à m'envoyer un email.