Feuilles d'exercices : 1, 2, 3 4 5 RSA 6 7
Cours 1:
- Définition de forme bilinéaire (symétrique et alternée), matrice associée à une forme bilinéaire, noyau et rang d'une forme bilinéaire.
- Exemples.
- Dimension de l'espace des matrices symétriques.
Cours 2:
- Calcul du noyau d'une forme bilinéaire comme noyau de la matrice associée
- Formes quadratiques : matrice, rang, noyau, cône isotrope, formules de polarisation, formes polaires. Exemples.
- Espace orthogonal, bases orthogonales. Existence de bases orthogonales.
- Définition de signature.
Cours 3:
- Preuve du théorème de Sylvester
- Algorithme de Gauss pour l'écriture de formes quadratiques comme somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes et calcul de la base orthogonale associée aux nouvelles coordonnées
- Début chapitre sur les espaces euclidiens : définition de forme quadratique définie positive, base orthonormée. Existence de bases orthonormées.
Cours 4:
- Inégalité de Cauchy-Schwarz
- Théorème de Pythagore, identité de la médiane...
- Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Exemples.
Cours 5:
- projections et symétries orthogonales
- diagonalisation d'endomorphismes auto-adjoints dans une base orthonormée
Cours 6:
- Définition d'isométrie et propriétés de base
- Reformulations du théorème de diagonalisation des matrices symétriques
- Classification des isométries directes de R^2
Cours 7:
- Fin de la classification des isométries du plan
- Classification des isométries de l'espace
- Produit vectoriel
Cours 8:
- Espaces affines euclidiens: définition. Distance.
- Théorème : Toute isométrie est affine.
- Décomposition canonique d'une isométrie en une translation et une application affine ayant un point fixe.
Cours 9:
- Étude des points fixes d'une application affine
- Classification des isométries affines de R^2
- Début de la classification des isométries affines de R^3.
Cours 10:
- Fin de la classification des isométries affines de R^3
- Début du chapitre sur les formes hermitiennes: définitions, exemples, matrice associée, noyau, rang, orthogonal.
Cours 11:
- Signature d'une forme hermitienne, théorème de Sylvester dans le cas hermitien
- Méthode de Gauss pour l'écriture d'une forme hermitienne comme somme de module de formes linéaires indépendantes
Cours 12:
- Formes hermitiennes dêfinies positives, espaces vectoriels hermitiens
- Inêgalitê de Cauchy-Schwartz hermitienne
- Edomorphismes adjoints
- Diagonalisation d'endomorphismes normaux.
Cours 1: Définition de forme bilinéaire (symétrique et alternée), matrice associée à une forme bilinéaire, noyau et rang d'une forme bilinéaire. Exemples.
Cours 2: Dimension de l'espace de matrices symétriques et alternées. Définition de formes quadratiques et leur rang, matrice, noyau et cône isotrope. Différence entre cône isotrope et noyau. Espace orthogonal: définition, formule de la dimension, bi-orthongonal.
Cours 3: Théorème de diagonalisation des formes quadratiques. Défitinition de la signature d'une forme quadratique rélle et démonstration qu'elle ne dépend pas du choix de la base orthogonale.
Cours 4: Décomposition d'une forme quadratique en sommes de carrés de formes linéaires indépendantes. Exemples. Début chapitre sur les espaces euclidiens. Définition de produit scalaire et premières propriétés.