Cours 1:
- Définition de forme bilinéaire symétrique, forme quadratique
- Matrice associée à une forme quadratique, formule de changement de base
- Noyau, cône isotrope, rang
Cours 2:
- Orthogonal d'un sous-espace, formule pour la dimension
- Discriminant d'une forme quadratique
- Bases orthogonales et leur existence
Cours 3:
- Classification des formes quadratiques sur C
- Signature, théorème de Sylvester et classification sur R
- Discriminant et classification sur F_p
Cours 4:
- Écriture d'une forme quadratique comme somme de carrés de formes linéaires : algorithme de Gauss
- Sous-espaces totalement isotropes, existence et dimension dans le cas réel
Cours 5:
- Espaces euclidiens : produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme.
- Bases orthonormées
- Symétries et projections orthogonales
Cours 6:
- Procédé de Gram-Schmidt
- Isométries (pour une forme quadratique non dégénérée Q quelconque)
- groupes O(Q), SO(Q), O(n), SO(n)
Cours 7:
- Endomorphismes auto-adjoints
- Diagonalisation d'endomorphismes auto-adjoints en base ortnonormée
Cours 8:
- Propriétés générales des isométries de R^n
- Classification des isométries de R^2 : rotations et isométries
- Début de la classification en dimension 3
Cours 9 (Sophie MORIER-GENOUD):
- Classification des isométries de R^3. Exemples.
- Propriétés du produit vectoriel sans démonstration (paragraphe 2.4.19 du polycopié).
Cours 10 (Emmanuel LEPAGE):
- Formes hermitiennes. Définition et propriétes de base.
Cours 11 :
- Inégalité de Cauch-Schwarz
- Isométries, endomorphismes auto-adjoints, normaux.
- énoncé du théorème de diagonalisation en base orthonormée pour les endomorphismes normaux.
Cours 12 :
- Preuve du théorème de diagonalisation.
- Cauchy-Schwarz et le principe d'incertitude de Heisenberg
Examen du 16 mai 2017. sujet et corrigé