Algèbre linéaire et bilinéaire I (2MA221)

Polycopié du cours (par Yves Coudène)

Feuilles d'exercices: TD 1, TD 2, TD 3, TD 4

Avancement du cours

Cours 1 (5 septembre, par Yves Coudène)

• Généralités sur les matrices (1.1)
• Matrices échelonnées (1.2)
• Algorithme du pivot de Gauss (1.3.1, 1.3.2)

Cours 2 (12 septembre)

• Algorithme du pivot de Gauss (1.3.3, 1.3.4)
• Formes linéaires (2.1)

Cours 3 (19 septembre)

• Formes bilinéaires (2.2)
• Définition de forme quadratique (2.3.1)

Cours 4 (26 septembre)

• Signature (2.3.2)
• Réduction des formes quadratiques (2.3.3)
• Base orthogonale (2.3.4)

Cours 5 (3 octobre)

• Interpretation matricielle (2.3.5)
• Étude de la signature (2.3.6)
• Coniques (2.4.1)

Cours 6 (10 octobre)

• Quadriques (2.4.2)
• Définition d'un produit scalaire (3.1.1)
• Norme euclidienne (3.1.2)
• Aire, longueur et angle (3.1.3)

Cours 7 (17 octobre)

• Projection orthogonale (3.2.1)
• Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt (3.2.2)

Cours 8 (24 octobre)

• Définition d'une isométrie (3.3.1)
• Groupe orthogonal (3.3.2)
• Isométries du plan euclidien (3.3.3)

Cours 9 (14 novembre)

• Déterminant (4.1)
• Valeurs propres et vecteurs propres (4.2.2)
• Diagonalisation (4.2.3)
• Interprétation matricielle (4.2.4)

Cours 10 (21 novembre)

• Somme de sous-espaces vectoriels (4.2.1)
• Cas des valeurs propres distinctes (4.2.5)
• Adjoint d'une application linéaire (4.3.1)
• Diagonalisation des applications autoadjointes (4.3.2) sans preuve
• Interprétation matricielle (4.3.3)

Cours 11 (28 novembre)

• Preuve du théorème 4.2.12
• Réduction simultanée (4.3.4)
• Caractéristiques géométriques des coniques (4.5.2)

Fondements d'algèbre d'analyse (2MA221)

Polycopié du cours (par Graham Foote et Esteban Wahler)

Avancement du cours

Cours 1 (2 septembre, par L. Zapponi)

• Théorie des ensembles
• Notations de base, principes du tiers exclu et de non-contradiction
• Aperçu du système axiomatique ZFC

Cours 2 (6 septembre, par L. Zapponi)

• Relations binaires
• Relations d'ordre : ordre total, plus grand et plus petit élément, bon ordre, majorant, minorant, supremum et infimum
• Relations d'équivalence : classes d'équivalence, partition d'un ensemble, relations d'équivalence et partitions, relation d'équivalence associée à une application. Quotient d'un ensemble par rapport à une relation d'équivalence

Cours 3 (9 septembre, par L. Zapponi)

• L'ensemble $\mathbb{N}$ : propriétés axiomatiques (Peano, bon ordre), principe d'induction. Somme et produit. Aperçu de la construction de Von Neumann
• Construction de $\mathbb{Z}$ : relation d'ordre, valeur absolue, propriétés de la somme et du produit. Brève mention de la structure de groupe et d'anneau
• Construction de $\mathbb{Q}$ : extension des constructions et des propriétés vues pour Z. Existence de l'inverse d'un élément non nul
• Construction de $\mathbb{R}$ : coupures de Dedekind. Extension de la somme, du produit et de la relation d'ordre définie dans Q. Principe du supremum. Ensemble des suites, des suites de Cauchy et des suites convergentes (vers un rationnel). Construction alternative de R. Extension des opérations de somme et de produit

Cours 4 et 5 (13 septembre)

• Construction de $\mathbb{R}$ par complétion
• Suites rationnelles de Cauchy et négligeables
• Opérations algébriques sur les suites
• Quotient d'un anneau par un idéal
• Définition de $\mathbb{R}$

Cours 6 (20 septembre)

• Propriétés de $\mathbb{R}$: complétude

Cours 7 (27 septembre)

• Définition de cardinalité
• $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ sont dénombrables
• Théorème de Cantor-Schröder-Bernstein
• $|\mathbb{R}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})|$
• Définition de nombre irrationnel, algébrique, transcendent

Cours 8 (4 octobre)

• $|\bar{\mathbb{Q}}| = |\mathbb{N}|$
• $|\mathbb{C} \smallsetminus \bar{\mathbb{Q}}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})|$

Cours 9 (11 octobre)

• Approximation diophantienne: théorème de Dirichlet
• Inégalité de Liouville
• Nombres de Liouville
• $\sum_{n = 1}^\infty 10^{-n!}$ est transcendent

Cours 10 (18 octobre)

• Exemples de corps finis
• Le cardinal d'un sous-groupe divise celui du groupe
• Petit théorème de Fermat: l'ordre d'un élement divise le cardinal du groupe
• Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

Exposés

• 18/11 Transcendence de et pi, et quadrature du cercle (Leonardo, Mathieu, Nathan)
• 22/11 Cyclotomie et construction à la règle et au compas de polygônes réguliers (Anis, Anthony, Sarah)
• 25/11 Valeurs spéciales de la fonction zêta et irrationalité de $\zeta(3)$ (German, Juan, Mateusz)
• 29/11 Entiers de Gauss (Clément, Cyprien, Simon)
• 2/12 L'équation de Pell-Fermat (Daryna, Durham, Yongzhan)
• 6/12 Entiers $p$-adiques (Antonin, Jarod, Mathis)