Shu SHEN : Enseignement

 Cours M2, Introduction à la théorie de l'indice d'Atiyah-Singer.

• 24 février – 3 avril 2020 (info).

  • 25/02: note de cours (pdf).
    • Rappel: variétés différentielles, fibrés vectoriels, le complexe et la cohomologie de de Rham, orientabilité et intégrales;
    • Opérateurs différentiels, symbole principal;
    • Enonce du théorème d'indice d'Atiyah-Singer.
  • 27/02: note de cours (pdf).
    • Enonce du théorème de Gauss-Bonnet-Chern, le théorème signature de Hirzebruch, et le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch;
    • Rappel: connexion, courbure, et le transport parallèle;
    • 1ère classe et 1ère forme de Chern pour un fibré endroites (Référence: Cohomologies de de Rham et de Cech, Livre de Demailly, pp. 213-215, pdf);
    • Classes caractéristiques (Référence, Lawson-Michelsohn, Spin geometry, pp. 225-232, pdf) via le principe de splitting (Référence, Bott et Tu, Differential Forms in Algebric Topology, Section 21, pdf).
  • 03/03: note de cours (pdf).
    • Supersymetrie (Référence: Berline-Getzler-Vergne, Heat Kernels and Dirac Operators, Section 1.3, pdf);
    • La théorie de Chern-Weil (Référence: Zhang, Lectures on Chern-Weil Theory and Witten Deformations, Sections 1.4, 1.5, pdf).
  • 05/03: note de cours (pdf).
    • La théorie des superconnections de Quillen (Référence: Quillen, Superconnections and the Chern character, pdf);
    • Algèbre de Clifford (Référence: Lawson-Michelsohn, Spin geometry, Section 1.1, pdf).
  • 10/03: note de cours (pdf).
    • Module de Clifford (Référence: Lawson-Michelsohn, Spin geometry, Section 1.4, pdf);
    • Spineur (Référence: Lawson-Michelsohn, Spin geometry, Section 1.5, pdf);
    • Le groupe de Lie Spin(m) (Référence: Lawson-Michelsohn, Spin geometry, Section 1.2, pdf).
  • 12/03: note de cours (pdf).
    • L'algèbre de Lie spin(m) (Référence: Lawson-Michelsohn, Spin geometry, Section 1.6, pdf);
    • Rappel: fibré principal et fibré vectoriel associé;
    • Structure spinorielle, variété spinorielle, et fibré spinoriel (Référence: Lawson-Michelsohn, Spin geometry, Section 2.1, pdf).
  • Les enseignements en présentiel seront suspendus dès le 16 mars et ce jusqu’à nouvel ordre.
  • Les 3 dernières semaines de cours s'effectueront à distance. Vous allez recevoir très prochainement des informations par email.
    • Obstruction à l'existence d'une structure spinorielle, pdf, youtube, (Référence: Lawson-Michelsohn, Spin geometry, Section 2.1, pdf);
    • Connexion spinorielle, pdf, youtube, (Référence: Lawson-Michelsohn, Spin geometry, pp 103-105, pdf);
    • Opérateur de Dirac, pdf, youtube1, youtube2;
    • Métrique L2, connexion de Levi-Civita, divergence, et le Laplacien de Bochner, pdf, youtube1, youtube2, youtube3, youtube4;
    • Opérateur de Dirac associé à la connexion de Levi-Civita, la formule de Lichnerowicz, pdf, youtube1, youtube2;
    • Opérateur de Fredholm, pdf, youtube1, youtube2, youtube3, erratum (Référence, Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators III, pp 180-184, google book);
    • Opérateur non borné abstrait, pdf, youtube1, youtube2 (Référence, Helffer, Spectral theory and applications, Sections 2.1, 2.2, pdf);
    • Espace de Sobolev, opérateur elliptique comme un opérateur non borné, pdf, youtube1, youtube2, youtube3;
    • Estimation elliptiques et ses consequences, pdf, youtube1, youtube2 (Référence pour estimation elliptique, cours de Melrose);
    • La théorie spectrale, pdf, youtube1, youtube2, youtube3, youtube4 (Référence, Helffer, Spectral theory and applications, Section 8, pdf);
    • Noyau de la chaleur via la théorie spectrale, pdf, youtube1, youtube2, youtube3;
    • Opérateur à trace et la formule de Mckean-Singer pdf, youtube1(audio), youtube2;
    • Noyau de la chaleur via l'estimation de la résolvante, pdf, youtube1, youtube2, youtube3, youtube4, youtube5, youtube6;
    • Un exemple, pdf, youtube1, youtube2, youtube3;
    • Noyau de la chaleur via l'équation des ondes, pdf, youtube1, youtube2, youtube3, youtube4;
    • Un autre exemple, pdf, youtube1, youtube2, youtube3(audio);
    • La preuve du théorème d'indice de Atiyah-Singer pour l'opérateur de Dirac, pdf, youtube1, youtube2, youtube3, youtube4, (Référence pour la formule de Mehler, Berline-Getzler-Vergne, Heat Kernels and Dirac Operators, Section 4.2, pdf).
    • Référence pour les applications, Berline-Getzler-Vergne, Heat Kernels and Dirac Operators, Sections 3.6, 4.1, pdf.
  • Examen: le 30 avril (m'envoyer un email avant le 8 avril) via Zoom. Il y a 5 exposés de 20-30 min. Tout le monde est bienvenu.
    • Chernyak : une preuve formelle du théorème d’indice donnée par Witten.
    • Cren : le théorème de Riemann-Roch-Hirzebruch pour les variétés complexes.
    • Morabito : la déformation de Witten and le complexe de Thom-Smale.
    • Toussaint : le théorème de la signature and le théorème de Roklin.
    • Zeitoun : la forme de Mathai-Quillen et le théorème de Gauss-Bonnet-Chern.