Algèbre linéaire et bilinéaire II (2MA222)

Polycopié du cours

Feuilles d'exercices: TD 1, TD 2, TD 3, TD 4

Avancement du cours

Cours 1 (16 janvier)

• Définition de permutation, transposition et cycle (4.3.1-3).
• Théorèome de décomposition en cycles à supports disjoints (4.3.5).
• Décomposition en produit de transpositions (4.3.6).
• Signature (4.3.8)

Cours 2 (23 janvier)

• Applications multilinéaires (4.1.1, 4.1.2) et exemples (4.1.5, 4.1.6).
• Applications multilinéaires alternées et anti-symétriques (4.4.1).
• Produit extérieur de formes linéaires (4.4.4).
• Lien avec le déterminant (4.4.6).
• Base et dimension de l'espace des applications multilinéaires alternées (4.4.5, seulement énoncé).

Cours 3 (30 janvier)

• Déterminant d'une application linéaire et ses propriétés (1.4.1) sauf matrice des cofacteurs.
• Déterminant d'une matrice triangulaire (1.4.6).
• Développement par lignes et colonnes.

Cours 4 (6 février)

• Preuve du développement par ligne et colonnes (1.4.1, 1.4.2).
• Comatrice (1.4.1, 1.4.3).
• Polynôme caractéristique (1.5.2) sans étude des coefficients.
• Vecteurs propres, espaces propres, applications diagonalisables (1.5.5)

Cours 5 (13 février)

• Sous-espaces en somme directe (2.1.1).
• Les espaces propres sont en somme directe (2.1.8).
• Multiplicité algébrique et géométrique et critère de diagonalisation (2.1.8).
• Cas des valeurs propres distinctes (2.1.11).
• Applications trigonalisables (2.2.1)
• Critère de trigonalisation (2.2.3)

Cours 6 (27 février)

• Propriétés du polynôme caractéristique (2.2.4).
• Théorème de Cayley-Hamilton (2.2.6).
• Division euclidienne de polynômes (2.4.1).
• L'anneau des polynômes est principal (2.4.3).

Cours 7 (5 mars)

• Polynôme minimal (2.4.5).
• Espaces caractéristiques (2.2.8).
• Décomposition en espaces caractéristiques (2.2.11).
• Critère : un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples (2.4.6 et 2.2.13).

Cours 8 (19 mars)

• Un automorphisme d'ordre fini est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ (2.2.14).
• Endomorphismes nilpotents (3.1.1, 3.1.2).
• La somme d'endomorphismes nilpotents qui commutent est nilpotente (3.3.2).
• Un endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul (3.2.4).
• Décomposition de Dunford sur $\mathbb{C}$ (3.2.5)
• Décomposition de Dunford sur $\mathbb{R}$ (hors programme)

Cours 9 (26 mars)

• Partition d'un entier (3.1.3).
• Suite des noyaux (3.1.4).
• Blocs de Jordan nilpotents (3.1.5).
• Forme normale de Jordan dans le cas nilpotent (3.1.6).

Cours 10 (2 avril)

• Fin de la preuve de la forme normale de Jordan dans le cas nilpotent (3.1.6).
• Blocs de Jordan (3.1.8).
• Forme normale de Jordan (3.1.10).
• Application aux classes de similitude (3.1.11).

Cours 11 (23 avril)

• Rappels sur les normes, complétude et continuité des applications linéaire en dimension finie (3.3.1-3.3.5).
• Normes matricielles (3.3.6).
• Exponentielle de matrice (3.3.8).
• Propriétés de l'exponentielle (3.3.11-13).
• Exponentielle des matrices diagonales (3.3.10) et nilpotentes (3.3.9)
• Exponentielle des blocs de Jordan (3.3.15)

Courbes Elliptiques

Cours 1 (6 novembre)

• Fonctions elliptiques ([Silverman, Chapter VI, §2 and §3 up to Theorem 3.5])
• Plongement projectif des courbes elliptiques. ([Silverman, Chapter VI, Theorem 3.5])

Weierstrass' $\wp$ and $\wp'$.

Cours 2 (7 novembre)

• Morphismes de courbes elliptiques ([Silverman, Chapter VI, § 4])
• Classes d'isomorphisme de courbes elliptiques ([Serre, Chapter VII, § 2.2])
• Endomorphismes and automorphismes des courbes elliptiques complexes. ([Silverman, Chapter VI, Theorem 5.5])
• Action de $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ sur le demi-plan supérieur ([Serre, Chapter VII, § 1])
• Les séries d'Eisenstein sont des formes modulaires de poids $2k$ ([Serre, Chapter VII, § 2.3]).
• L'invariant $j$ d'une courbe elliptique ([Serre, Chapter VII, § 3.3]).
• Formule pour l'ordre d'annulation d'une forme modulaire. ([Serre, Chapter VII, Theorem 3])
• L'invariant $j \colon \mathbb{H}/\textrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathbb{C}$ est bijectif ([Serre, Chapter VII, § 3.3])

The action of $z \mapsto z+1$	The action of $z \mapsto -1/z$

Cours 3 (9 novembre)

• Étude des courbes projectives planes d'équation affine $y^2=f(x)$.
• Formule de somme pour $\wp$ ([Lang, Chapter 1, § 3])

Cours 4 (13 novembre)

• Courbe projective associée à un corps de fonctions ([Dat, VA, 2.5.1-3, 3.4.1], [Dat, CE, 2.2.1-2]).
• Morphismes entre courbes projectives ([Dat, VA, 3.3.2, 3.4.2-4], [Dat, CE, p. 14-15]).

Cours 5 (14 novembre)

• Diviseurs. ([Dat, CE, 2.3.1])
• Différentielles de Kähler ([Liu, 6.1.1], [Dat, CE, 2.3.2]).

Cours 6 (16 novembre)

• Différentielles de Kähler d'un corps de fonctions ([Dat, CE, p.21-22])

Cours 7 (20 novembre)

• Formes différentielles sur une courbes projective lisse et leurs diviseurs ([Dat, CE, p.21-22])
• Formule de Hurwitz ([Dat, CE, p.22]).

Cours 8 (21 novembre)

• Théorème de Riemann-Roch et applications immédiates(sans preuve, [Dat, CE, 2.3.4]).
• Plongement projectifs d'une courbes algébrique lisse ([Dat, CE, 2.3.3, 2.3.5], [Reyssat, IX.4]).
• Variétés algébriques sur un corps parfait. ([Dat, CE, 2.4.1-2])
• Loi de groupe d'une courbe elliptique ([Dat, CE, 3.1])

Cours 9 (23 novembre)

• Genre d'une courbe plane non singulière ([Dat, CE, 2.3.6]).
• Plongement projectif par le diviseur canonique ([Reyssat, Théorème 9.6]).

Cours 10 (27 novembre)

• Plongement projectif d'une courbe elliptique ([Dat, CE, 3.1])
• Loi de groupe d'une courbe elliptique ([Dat, CE, 3.1])

Cours 11 (28 novembre)

• Loi de groupe d'une courbe elliptique ([Dat, CE, 3.1])
• Isogénies ([Dat, CE, 3.2.1]).

Cours 12 (1 décembre)

• Multiplication par un entier ([Dat, CE, 3.2.2])
• Isogénies duales ([Dat, CE, 3.2.3-6]).
• Différentielles invariantes ([Dat, CE, 3.3]).

Cours 13 (4 décembre)

• Accouplement de Weil ([Dat, CE, 3.4])

Cours 14 (5 décembre)

• Module de Tate ([Dat, CE, 3.5]).
• Anneau des endomorphismes ([Dat, CE, 3.6])
• Équation de Weierstrass ([Dat, CE, 3.7]).
• Invariant $j$.

Cours 15 (8 décembre)

• Courbes super-singulières ([Dat, CE, 3.6.4])

Cours 16 (11 décembre)

• Loi de groupe sur une cubique singulière ([Dat, CE, 3.7.3])
• Réduction d'une équation de Weierstrass ([Dat, CE, 3.8.1]).

Cours 17 (12 décembre)

• équation de Weierstrass minimale ([Dat, CE, 3.8.2]).
• Lemme d'Hensel pour les points de torsion.

Cours 18 (16 décembre)

• Énoncé du théorème de Mordell-Weil sur $\mathbb{Q}$.
• Énoncé du théorème de Mordell-Weil faible et analogie avec la théorie de Kummer. ([Dat, CE, 3.9.1-2])

References

• J.-F. Dat, Variétés algébriques
• J.-F. Dat, Introduction à l'arithmétique des courbes elliptiques
• N. Bergeron, A. Guilloux, Introduction aux surfaces de Riemann
• O. Forster, Lectures on Riemann surfaces
• J. Milne, Modular Functions and Modular Forms
• J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves
• E. Reyssat, Quelques aspects des Surfaces de Riemann (pdf here)
• J.-P. Serre, Cours d'arithmètique (also translated in english, A course in Arithmetic)
• S. Lang, Elliptic Functions
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves

Fondements d'algèbre et d'analyse (2MA205)

Avancement du cours

Cours 1 (5 septembre)

• Relations d'équivalence et ordres.
• Quotient par une relation d'équivalence.
• Construction de $\mathbb{Z}$ avec somme, multiplication et ordre.

Cours 2 (8 septembre)

• Construction de $\mathbb{Q}$ avec somme, multiplication et ordre.
• Suites de Cauchy rationnelles.
• Structure d'anneau sur le quotient d'un anneau par un idéal.
• Définition de $\mathbb{R}$.

Cours 3 (22 septembre)

• Propriétés de $\mathbb{R}$: complétude.

Cours 4 (29 septembre)

• Propriétés de $\mathbb{R}$: existence de la borne supérieure.
• Définition de cardinalité
• $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ sont dénombrables

Cours 5 (6 octobre)

• Théorème de Cantor-Schröder-Bernstein.
• $|\mathbb{R}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})|$
• Définition de nombre irrationnel, algébrique, transcendent.

Cours 6 (7 octobre)

• $|\bar{\mathbb{Q}}| = |\mathbb{N}|$
• $|\mathbb{C} \smallsetminus \bar{\mathbb{Q}}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})|$
• Théorème de Dirichlet et inégalité di Liouville.
• $\sum_{n=1}^\infty 10^{-n!}$ est transcendent.

Exposés

• 20/11: Transcendence de $e$ et $\pi$ (Valentin, Zacharie)
• 24/11: Cyclotomie (François, Victor)
• 27/11: Valeurs spéciales de la fonction $\zeta$ (Graham, Hamza, Théo)
• 1/12: Entiers de Gauss (Esteban, Normann, Seoyeon)
• 4/12: Pell-Fermat (Elisa, Hugo, Meihan)
• 7/12: Nombres $p$-adiques (Zhenyu, Yanis)