1M001 - Analyse et algèbre pour les sciences - UPMC 2015-2016

année précédente / année suivante

section MIPI 15 - Laurent KOELBLEN

Polycopié et feuilles d'exercices.

Les documents suivants servent de base pour les cours donnés en amphi. Ils ont été élaboré en 2013-2014 par Patrick Polo.

• Chapitre 1, R, borne supérieure et conséquences
• Chapitre 2, limite et continuité
• Chapitre 3, dérivabilité, théorème des accroissements finie, variations des fonctions
• Chapitre 4, fonctions usuelles
• Chapitre 5, développements limités

• Feuille d'exercices n°1, R, continuité, limites
• Feuille d'exercices n°2, dérivabilité, théorème des accroissements finie, variations des fonctions
• Feuille d'exercices n°3, fonctions usuelles, développements limités, formule de Taylor
• Feuille d'exercices n°4, équations différentielles linéaires du 1er ordre, plan affine, espace affine de dimension 3
• Feuille d'exercices n°5, nombres complexes
• Feuille d'exercices n°6, polynômes

Pour les derniers chapitres, le cours s'appuie sur le polycopié de Sylvie Delabrière (Chapitres 8 à 12).

• polycopié de Sylvie Delabrière

Examen

• partiel du 24 octobre 2015 : sujet / corrigé
• examen du 15 décembre 2015 : sujet / corrigé
• rattrapage du 1 juin 2016 : sujet / corrigé

Mise à jour :
Mardi 15 décembre 2015, 20h30

Questions de cours pouvant être demandées en TD

• semaine du 14 au 18 septembre 2015
  • énoncé de la propriété de la borne supérieure
  • définition et liste des différents type d'intervalle (bornés, non bornés, ouverts, fermés, semi-ouvert/semi-fermés)
  • définition de la continuité d'une fonction en un point
• semaine du 21 au 25 septembre 2015
  • énoncé du théorème 1.15 des valeurs intermédiaires
  • énoncé du théorème 1.18 sur les suites adjacentes
  • énoncé du théorème 1.21 des bornes atteintes
• semaine du 28 septembre au 2 octobre 2015
  • savoir donner une définition de la limite selon les cas : limite finie ou infinie d'une fonction en point de R ou en plus ou moins l'infini
  • limite à gauche, limite à droite
  • énoncé du théorème 2.17 sur le lien entre continuité et limite en un point x₀
• semaine du 5 au 9 octobre 2015
  • énoncé du théorème 2.12 : limites et inégalités larges
  • énoncé du théorème 2.15 : théorème des gendarmes
  • définition 3.1 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par limite du taux d'accroissement
  • définition 3.3 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par l'existence d'un développement limité à l'ordre 1
  • énoncé du théorème 3.14 : dérivabilité d'une somme, produit ou quotient de fonctions dérivables
  • énoncé du théorème 3.11 : dérivabilité d'une fonction composée
• semaine du 12 au 16 octobre 2015
  • énoncé de la proposition 3.21 : condition nécessaire pour l'existence d'un extremum local
  • énoncé du théorème 3.24 : théorème des accroissement finis
  • énoncé du théorème 3.35 : sens de variation et dérivée d'une application réciproque
• semaine du 19 au 23 octobre 2015
  • définitions, propriétés et tracés approximatifs des fonctions usuelles ln(x), exp(x), x^a (a réel quelconque)
  • croissances comparées des fonctions exp(ax), x^b et ln(x)^c en + infini et en 0
• semaine du 2 au 6 novembre 2015
  • définitions, propriétés et tracés approximatifs des fonctions usuelles sin(x), cos(x), tan(x), Arcsin(x), Arccos(x), Arctan(x), sh(x), ch(x), th(x)
• semaine du 9 au 13 novembre 2015
  • définition d'un DL
  • théorème d'intégration d'un DL
  • théorème de Taylor-Young
  • DL des fonctions usuelles : 1/(1-x) ; 1/(1+x) ; ln(1+x) ; exp(x)
• semaine du 16 au 20 novembre 2015
  • DL des fonctions usuelles : 1/(1+x²) ; 1/(1-x²) ; Arctan(x) ; Argth(x) ; ch(x) ; sh(x) ; sin(x) ; cos(x) ; (1+x)^a ; 1/√(1+x²) ; 1/√(1-x²) ; Argsh(x) ; Arcsin(x) ; tan(x) à l'ordre 5
• semaine du 23 au 27 novembre 2015
  • Définition et résolution d'une équation différentielle homogène
  • Définition et résolution d'une équation différentielle avec second membre
  • savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant dont le second membre est composé de xⁿ, exp(bx), sin(cx) et cos(cx)
  • savoir résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre par la méthode de variation de la constante
• semaine du 30 novembre au 4 décembre 2015
  • exponentielle complexe
  • racine n-ième de l'unité dans C
  • division euclidienne : théorème et savoir traiter un exemple
  • racine d'un polynôme, multiplicité d'une racine, caractérisation de la multiplicité à l'aide des dérivées du polynôme
  • polynôme irréductibles dans R et dans C
  • produit scalaire : inégalité de Cauchy Schwarz et cas d'égalité, inégalité triangulaire et cas d"égalité

1^er cours — Lundi 7 septembre 2015

Chapitre 1 : l'ensemble R des nombres réels, la propriété de la borne supérieure et ses conséquences

• description des ensembles de nombres N, Z, Q, propriétés de Q
• théorème 1.1 : existence et propriété de l'ensemble R des nombre réels, propriété de la borne supérieure
• définition 1.3 : majorant, minorant, caractérisation de la borne supérieure
• exemple 1.7 et remarque 1.8 : racine carrée de 2
• définiion 1.9 : valeur absolue
• définiion 1.10 : intervalles, intervalles ouverts, fermés, etc.
• ouverts de R
• définition 1.12 voisinages d'un point de R
• définition 1.13 : fonctions continues en un point
• définition 1.14 : fonctions continues sur un intervalle

2^e cours — Lundi 14 septembre 2015

• théorème 1.15 : théorème des valeurs intermédiaires
• proposition 1.16 : convergence des suites croissantes majorées et décroissantes minorées
• théorème 1.18 : convergence des suites adjacentes
• énoncé du théorème 1.21 : une fonction continue sur un intervalle fermée est bornée et atteint ses bornes

3^e cours — Lundi 21 septembre 2015

• démonstration du théorème 1.21
• somme, produit, inverse et composition de fonctions continues

Chapitre 2 : limites et continuité

• définition 2.2 : limite d'une suite réelle
• définitions 2.4 2.5 et 2.6 : limite finie ou infinie d'une fonction en point de R ou en plus ou moins l'infini
• définitions 2.18 et 2.19 : limite à gauche, limite à droite, notations
• théorème 2.17 : lien entre la continuité et la limite d'une fonction en un point de R

4^e cours — Lundi 28 septembre 2015

• théorème 2.8 et 2.11 : opérations algébriques sur les limites de suites et de fonctions
• théorème 2.12 : limites et inégalités larges
• théorème 2.15 : théorème des gendarmes
• définition 2.22 : prolongement par continuité
• exemple : prolongement par continuité de x.sin(1/x)

Chapitre 3 : dérivabilité

• définition 3.1 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par limite du taux d'accroissement
• remarque 3.7 interprétation graphique de la dérivabilité
• définition 3.3 : dérivabilité d'une fonction en un point de R par l'existence d'un développement limité à l'ordre 1
• corollaire 3.6 : si f est dérivable en a, elle est aussi continue en a
• définitions 3.8 et 3.9 : fonctions dérivables sur un intervalle, dérivées successives, fonctions de classe Cⁿ, etc
• théorème 3.14 : dérivabilité d'une somme, produit ou quotient de fonctions dérivables (admis)
• théorème 3.11 : dérivabilité d'une fonction composée

5^e cours — Lundi 5 octobre 2015

• proposition 3.13 : dérivée de xⁿ
• corollaire 3.17 : dérivée d'une fraction rationnelle
• définition 2.19 : extremum local
• proposition 3.21 : condition nécessaire pour l'existence d'un extremum local
• théorème 3.23 : théorème de Rolle
• théorème 3.24 : théorème des accroissement finis
• définition 3.27 : variation des fontions, fonctions croissantes, décroissantes, monotones, strictements monotones
• théorème 3.29 : caractérisation du sens de variation d'une fonction par le signe de la dérivée
• définition 3.32 : application réciproque
• théorème 3.35 : sens de variation et dérivée d'une application réciproque

6^e cours — Lundi 12 octobre 2015

Chapitre 4 : fonctions usuelles

• 4.1 à 4.4 : définition et propriétés de la fonction logarithme
• 4.5 et 4.6 : définition et propriétés de la fonction exponentielle
• 4.9 : définition de la fonction puissance
• théorèmes de croissances comparées
  • proposition 4.7 : lim x/ln(x) en + infini et en 0
  • corrollaire 4.8 : lim exp(x)/x en + infini et en 0
  • proposition 4.10 : croissances comparées des fonctions exp(ax) x^b et ln(x)^c en + infini et en 0

7^e cours — Lundi 19 octobre 2015

• définitions et propriétés :
  • fonctions trigonométriques sin(x) et cos(x)
  • fonctions réciproques : Arcsin(x) et Arccos(x)
  • fonctions tan(x) et Arctan(x)
  • fonctions hyperboliques sh(x), ch(x) et th(x)

8^e cours — Lundi 2 novembre 2015

• définitions et propriétés :
  • fonctions réciproques Argsh(x), Argch(x) et Argth(x)

Chapitre 5 : Développements limités et formules de Taylor

• Définition et proposition 5.1
• Définition 5.5 : notation « petit o »
• énoncé du théorème 5.7 : intégration d'un DL
• énoncé du théorème 5.8 de Taylor Young
• Développement limités des fonctions usuelles : 1/(1-x) ; 1/(1+x) ; ln(1+x) ; exp(x)

9^e cours — Lundi 9 novembre 2015

• démonstration du théorème 5.7 : intégration d'un DL
• démonstration du théorème 5.8 de Taylor Young
• Développement limités des fonctions usuelles : 1/(1-x) ; 1/(1+x) ; ln(1+x) ; 1/(1+x²) ; 1/(1-x²) ; Arctan(x) ; Argth(x) ; exp(x) ; ch(x) ; sh(x) ; sin(x) ; cos(x) ; (1+x)^a ; 1/√(1+x²) ; 1/√(1-x²) ; Argsh(x) ; Arcsin(x)
• Opérations algébriques sur les développements limités : somme, produit, composition, exemples (le développement limité de 1/f(x) a été traité comme cas particulier du développement limité de 1/(1-u(x))
• Développement limités de tan(x) à l'ordre 5

10^e cours — Lundi 16 novembre 2015

Chapitre 8 (polycopié de Sylvie Delabrière) : équations différentielles linéaires d'ordre 1

• Définition 8.1.1 : équation différentielle homogène (aussi dite sans second membre)
• Théorème 8.1.2 : solutions d'une équation différentielle homogène
• Définition 8.2.1 : équation différentielle avec second membre
• Théorème 8.2.2 / Corollaire 8.2.3 / Proposition 8.2.4 : solutions d'une équation différentielle avec second membre
• méthode dite de variation de la constante
• exemple
• solution d'une équation différentielle (E) y'-ay = b(x) — dite à coefficient constant — dont le second membre b(x) est somme et produit de fonctions puissances entières xⁿ, d'exponentielles exp(bx) et de fonctions trigonométriques sin(cx) et cos(cx)
• exemple

Chapitre 9 (polycopié de Sylvie Delabrière) : Le corps des nombres complexe et exponentielle complexe

• définition : C = R² avec les opérations (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b') et (a,b) x (a',b') = (aa'-bb',ab'+ba')
• élément neutre pour la multiplication
• notations : (1,0)=1 (élément neutre de la multiplication), (0,1) = i, z=(a,b)=a+ib, i²=-1
• inclusion naturelle de R dans C, partie réelle, partie imaginaire, conjugué
• module d'un nombre complexe
• détermination de l'inverse d'un nombre complexe non nul

11^e cours — Lundi 23 novembre 2015

• représentation géométrique des nombres complexes : affixe z d'un point M de R²
• argument d'un nombre complexe : angle entre l'axe Ox et la droite (OM)
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = |z| (cos t + i sin t)
• définition de exp(it) et de exp(a+ib)
• vérification de la formule exp(z+z') = exp(z) x exp(z') à l'aide des formules trigonométriques
• écriture d'un nombre complexe sous la forme z = r exp(it) où r est le module et t l'argument de z
• formules : exp(nz) = exp(z)ⁿ où n est un entier relatif
• racine n-ième de l'unité, solutions de l'équation zⁿ=1 : exp(2ikπ/n) où 0≤k<n (il y a exactement n racine)

Chapitre 11 : Polynômes à coefficients réels ou complexes

• définitions : opérations + et x, dérivation, degré d'un polynôme (par convention deg 0 = -∞), polynômes constants, K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans K (K=R ou K=C), si P∈K[X] et x∈K, on note P(x) l'évaluation de P en x
• proposition K[X] est un anneau commutatif
• théorème de la division euclidienne : pour tous polynômes A et B à coefficients dans K, avec B≠0, il existe un unique couple de polynôme (Q,R) à coefficients dans K tel que A=BQ+R et deg R < deg B
• exemple : pour A=X⁴+X+1 et B=X²-X+1, on a Q=X²+X et R=1 
• définition et proposition : déf. : a est racine de P si P(a)=0 ; prop. : on a alors P=(X-a)Q ; déf. : a est racine simple si Q(a)≠0 ; déf. : a est racine multiple d'ordre m si P=(X-a)^mQ avec Q(a)≠0 ; prop. : a est racine multiple d'ordre m si et seulement si P(a)=0, P'(a)=0, P''(a)=0, ... , P^(m-1)(a)=0 et P^(m)(a)≠0

12^e cours — Lundi 30 novembre 2015

• théorème de d'Alembert : tout polynôme P à coefficient dans C a une racine dans C ; conséquence : tout polynôme P à coefficient dans C s'écrit de façon unique  P=c(x-a₁)^m₁...(X-a_r)^m_r avec c,a₁,...,a_r∈C et m₁+...+m_r=deg P
• proposition : si z∈C est racine d'un polynôme P∈R[X], alors le conjugué de z est aussi racine de P, avec le même ordre de multiplicité
• corrolaire : tout polynôme P à coefficient dans R s'écrit de façon unique  P=c(x-a₁)^m₁...(X-a_r)^m_rQ₁^n₁...Q_s^n_s où c,a₁,...,a_r∈R, Q₁,...Q_s sont des polynômes de degré 2 à coefficient réels sans racine réelle, et m₁+...+m_r+2(n₁+...+n_s)=deg P
• Exemple : factorisation de X⁵-1 ; dans C[X] on a X⁵-1 = (X-1)(X-e^2iπ/5)(X-e^4iπ/5)(X-e^6iπ/5)(X-e^8iπ/5) ; dans R[X] on a X⁵-1 = (X-1)(X²-2cos(2π/5)X+1)(X²-2cos(4π/5)X+1)

Chapitre 10 : R², R³, produit scalaire, produit vectoriel, droites et plans

• définition : opérations usuelles sur R² et R³, combinaisons linéaires
• définition : points A, B, etc, vecteurs AB
• définition : base canonique (i,j) sur R² et (i,j,k) sur R³
• définition : repère canonique (0,i,j) sur R² et (0,i,j,k) sur R³
• définition : produit scalaire u.v de 2 vecteurs de R² ou R³ et norme ||v|| d'un vecteur de R² ou R³
• propriétés du produit scalaire : bi-linéarité, symétrie
• définition : vecteurs orthogonaux
• propriétés de la norme : ||av|| = |a| ||v|| (où a∈R et où v est un vecteur), ||v||=0 si et seulement si v est le vecteur nul
• théorème : inégalité de Cauchy-Schwarz |u.v| ≤ ||u|| ||v|| avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires
• théorème : inégalité triangulaire ||u+v|| ≤ ||u||+||v|| avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires et de même sens (u=av avec a>0)
• vecteur normal à une droite de R² et équation d'une droite dans R²
• définition : produit vectoriel u_∧v de 2 vecteurs de R³
• propriétés du produit vectoriel : bi-linéarité et antisymétrie, u_∧v est orthogonal à la fois à u et v
  
• vecteur normal à un plan de R³ et équation d'un plan dans R³