Calcul du groupe de Galois¶
Quelques techniques pour déterminer le groupe de Galois d’un polynôme.
Soit \(L/K\) une extension galoisienne obtenue comme extension de décomposition d’un polynôme \(P(x)=\prod x-\alpha_i\) de degré \(n\), de sorte que \(L=K(\alpha_1,\dots \alpha_n)\).
Théorème
L’action de \(\Gal(L/K)\) sur les racines de \(P\) induit une injection \(\Gal(L/K)\to \gS_n\).
Théorème
\(P\) est irréductible si et seulement si \(G\) est un sous-groupe transitif de \(\gS_n\) (il existe toujours un élément de \(G\) qui envoie \(\alpha_i\) sur \(\alpha_j\)).
Démonstration
les racines sont conjuguées si elles ont même minimal, donc si \(P\) est irréductible
Proposition
Si \(P\) est irréductible, \(G\) est transitif et \(n\mid \#G\).
Si \(P\in\Q[x]\) possède des racines non réelles, alors \(G\) contient un élément d’ordre \(2\).
Si \(P\in\Q[x]\) possède exactement deux racines non réelles, alors \(G\) contient une transposition.
Exemple
Soit \(P(x)=x^5-6x+3\).
\(P(x)\) est irréductible, donc \(5\mid\card G\), donc \(G\) contient un \(5\)-cycle (car 5 est premier, via le lemme de Cauchy).
\(P(x)\) a 3 racines réelles, donc \(G\) contient une transposition
ainsi c’est \(\gS_5\) tout entier.
Le discriminant¶
Théorème
\(\sigma(\delta)=\epsilon(\sigma)\delta\), donc \(G\subset \cA_n\) si et seulement si \(\Delta\) est un carré de \(K\).
Exemple
dans \(\cA_5\)
Groupe de Galois sur \(\F_p\)¶
Notons \(P=P_1P_2\dots P_k\) la factorisation en irréductibles de \(P\) sur \(\F_p\), avec \(\deg P_i=d_i\). Alors le Frobenius s’envoie sur une permutation dont la décomposition en cycles est de type \((d_1)+(d_2)+\dots (d_k)\). En particulier, \(G\) est cyclique d’ordre \(\ppcm(d_i)\).
Lemme de Dedekind¶
Théorème
Soit \(f\in\Z[x]\) un polynôme unitaire irréductible. On note \(G\) son groupe de Galois, et pour \(p\) premier ne divisant pas le discriminant \(\Delta(f)\), on considère le groupe de Galois \(G_p\) de \(f\) sur \(\F_p\). Alors on a une injection \(G_p\to G\).
Exemple
on retrouve plus précisément l’exemple précédent :
\(x^5-6x+3\) est irréductible modulo 5, donc G contient un 5 cycle
il vaut \((x+2)(x+7)(x+3)(x^2+12x+13)\) modulo 17, donc G contient une transposition
Démonstration
Notons \(K\) le corps de décomposition de \(f\) sur \(\Q\). On note \(\alpha_1,\dots \alpha_n\in K\) les \(n\) racines de \(f\) dans \(K\).
Par leur action sur \(\alpha_1,\dots \alpha_n\), on identifie les éléments de \(G=\Gal(K/\Q)\) à des éléments de \(\gS_n\).
Pour des indéterminées \(t_1,\dots t_n\), et toute permutation \(\sigma\in\gS_n\) on considère les résolvantes
et le polynôme résolvant
qui, par symétrie en \(\alpha_1,\dots \alpha_n\), est à coefficients dans \(\Q[t_1,\dots t_n, x]\), et même dans \(\Z[t_1,\dots t_n, x]\).
Notons \(F(x)=F_1(x)\dots F_k(x)\) sa factorisation en irréductibles sur \(\Z[t_1\dots t_n]\).
Alors si l’on suppose que \(F_1\) contient le facteur \((x-\sum \alpha_it_i)\), on a
puisque \(G\) stabilise \(F_1\), que le terme de gauche obtenu est à coefficients rationels et divise \(F_1\) irréductible.
Remarquons que les facteurs \(F_2,\dots F_k\) correspondent aux classes translatées de \(G\) dans \(\gS_n\).
Puisque \(f\) et \(F\) sont chacun à coefficients entiers, et que \(f\) est à racines simples modulo \(p\), on peut identifier de la même manière le groupe de Galois de \(f\) sur \(\F_p\) à un facteur irréductible de \(F_1\) sur \(\F_p\).
On obtient ainsi une décomposition de \(G\) en translatés de \(G_p\). En particulier on a l’injection \(G_p\to G\).
Théorème
Puisque le groupe de Galois de \(x^4+1\) est \(V_4=(\Z/2\Z)^2\), pour tout \(p>2\) \(x^4+1\) se factorise produit de polynômes de degré au plus 2 \(\F_p\).
D’un autre côté, on le savait aussi car c’est \(\Phi_8\) et \(p\) est toujours d’ordre \(1\) ou \(2\) modulo \(8\), selon que \(p\equiv 1\) ou non modulo 8. Ainsi, \(x^4+1\) est toujours produit de deux irréductibles de degré \(2\) sauf pour les premiers \(p\equiv1\bmod 8\) ou il est scindé (\(p=17,41,73\)…)
Remarque
Le théorème de Dedekind est efficace pour montrer qu’un groupe de Galois contient certaines classes de conjugaison, à condition qu’on réussisse à en exhiber un représentant modulo un certain premier \(p\). Un théorème difficile (le théorème de Cebotarev) permet d’affirmer l’existence de tels nombres premiers \(p\) : on a même plus précis, la densité de ces nombres premiers est égale à la proportion d’éléments du groupe de Galois qui ont exactement cette décomposition en cycles.
Ainsi, si l’on fait le calcul sur assez de nombres premiers, on peut avoir une idée assez précise du « spectre » du groupe de Galois.
Toutefois :
c’est impraticable dès que le groupe devient gros.
le spectre ne caractérise pas le groupe. Plus petit contre exemple : il existe deux groupe d’ordre 16, 8-transitifs, qui ont la même structure de cycles.
Plus précisément (en utilisant le logiciel GAP)
> g:=TransitiveGroup(8,10); [2^2]4 > Collected(List(Elements(g),CycleStructurePerm)); [ [ [ ], 1 ], [ [ ,, 2 ], 8 ], [ [ 2 ], 2 ], [ [ 4 ], 5 ] ] > g:=TransitiveGroup(8,11); 1/2[2^3]E(4)=Q_8:2 > Collected(List(Elements(g),CycleStructurePerm)); [ [ [ ], 1 ], [ [ ,, 2 ], 8 ], [ [ 2 ], 2 ], [ [ 4 ], 5 ] ]
Ces deux groupes sont formés de l’identité, 8 quatre-cycles, 2 doubles transpositions et 5 quadruples transpositions.
Si on fait un tour sur la LMFDB, on trouve par exemple les polynômes
> P = x^8-2*x^6+4*x^4-3*x^2+1 > Q = x^8-2*x^6+5*x^4-4*x^2+1 > read("galois_stats.gp") > conj_count(P,500) [[0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0] 48] [[0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 28] [[4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 13] [[8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 4] > conj_count(Q,500) [[0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0] 49] [[0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 27] [[4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 12] [[8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 5]
www.lmfdb.org/NumberField/?galois-group=8T10
www.lmfdb.org/NumberField/?galois-group=8T11