Corps finis I¶
On démontre les propriétés fondamentales des corps finis en raisonnant uniquement en termes de polynômes sur \(\F_p\).
On reviendra plus tard sur ce sujet muni de la théorie des extensions de corps ou de la théorie de Galois.
Structure¶
corps \(F_p\), construction d’un corps de cardinal \(p^n\) quand \(P\) irreductible de degré \(n\).
ex
\(\F_4\), \(\F_{7^3}\) via \(x^3-2\)
Théorème
Soit K un corps fini de cardinal q. Il existe p premier et \(n\geq1\) tel que \(q=p^n\). Réciproquement, pour tout q de la forme \(p^n\), il existe un corps fini de cardinal q.
Démonstration
noyau de \(\Z\to K\) de la forme \(p\Z\), si bien que \(K\) est un \(\F_p\) espace vectoriel -> base -> \(p^n\)
on le fera plus tard ( besoin soit de l’existence d’un irréductible de degré n, soit du Frob pour mq les racines de \(x^{p^n}-x\) forment un corps).
Théorème
Soit K fini de cardinal q. Alors tout élément de K est racine de \(x^q-x\) et K est égal à l’ensemble des racines de \(x^q-x\). On dit que \(x^q-x\) est scindé sur K.
Théorème
K* cyclique = racines de \(x^{p^d-1}-1\)
Théorème
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(K^\ast\), \(K\) corps (commutatif). Alors \(G\) est cyclique.
Démonstration
Dans un groupe abélien, si \(x\) est d’ordre \(a\) et \(y\) d’ordre \(b\), il existe \(z\) d’ordre \(\ppcm(a,b)\).
Donc il existe un élément \(g\in G\) d’ordre l’exposant \(m\) de \(G\), c’est-à-dire le ppcm des ordres de tous les éléments de \(G\).
En outre tout élément de G est racine de \(x^m-1\) qui a au plus \(m\) racines, donc \(m=\#G\) et \(g\) engendre \(G\).
Théorème
Soit K de cardinal \(q=p^n\). Alors il existe un polynôme irréductible de de degré \(n\) tel que \(K=\F_p[x]/(P)\).
Démonstration
on considère un générateur de \(K*\) et son minimal.
Unicité¶
Théorème
Si P irréductible a une racine dans K de cardinal q, alors P est scindé dans K
Démonstration
P irréductible divise \(x^q-x\) qui est scindé dans K.
Théorème
Soient K1 et K2 deux corps finis de même cardinal p^n, alors K1 est isomorphe à K2, et il existe n tels isomorphismes
Factorisation des polynômes¶
Lemme
Soit \(x\) une variable ou un entier, et \(n\equiv r\bmod m\), alors
\(x^n-1\equiv x^r-1\bmod x^m-1\).
\(x^{p^n-1}-1\equiv x^{p^r-1}-1\bmod x^{p^m-1}-1\).
Démonstration
on écrit \(n=mq+r\), alors \(x^n-1=(x^{mq}-1)x^r+(x^r-1)\) et \(x^{mq}-1=(x^m-1)\sum_{k=0}^{q-1}x^{mk}\).
on applique deux fois le premier point.
Théorème
Sur \(\F_p[x]\) \(x^{p^n}-x\) est produit de tous les irréductibles unitaires de degré \(d\mid n\).
Démonstration
soit \(P_d\) un irréductible de degré \(d\), alors en regardant un corps de rupture \(P_d\) divise \(x^{p^d}-x\), donc \(x^{p^n}-x\) pour \(n\) multiple de \(d\). Ainsi le produit des irréductibles de degré \(d\mid n\) divise \(x^{p^n}-x\).
réciproquement, tout facteur irréductible de degré \(k\) de \(x^{p^n}-x\) divise \(x^{p^k}-x\), donc divise \(x^{p^r}-x\), où \(r\) est le reste de la division de \(n\) par \(k\). Par récurrence sur \(n\), on peut supposer que \(x^{p^r}-x\) est produit des irréductibles de degré divisant \(r\), donc \(k\mid r=0\). Ainsi, \(k\mid n\).
Théorème
\(P(x)\in\F_p[x]\) de degré \(k\) est irréductible
si et seulement si \(\pgcd(P,x^{p^d}-x)=1\) pour tout \(d\leq K/2\).
si et seulement si \(P\mid x^{p^n}-x\) et pour tout facteur premier \(q\) de \(n\), \(P\nmid x^{p^{\frac nq}}-x\).
Démonstration
irréductible ssi pas de facteur de degré \(d\leq k/2\)
ssi aucun diviseur des \(x^{p^d}-x\) pour \(d\leq k/2\),
ssi les pgcd valent 1
Automorphisme de Frobenius¶
Morphisme de Frobenius
Soit A une \(\F_p\)-algèbre (un anneau contenant \(\F_p\)). Alors \(\phi_p:a\to a^p\) est un morphisme \(\F_p\)-linéaire, en particulier
\(a^p=a\) pour tout \(a\in\F_p\),
\((a+b)^p = a^p+b^p\) pour tous \(a,b\) dans \(A\).
De plus
si A est intègre, \(\phi_p\) est injectif,
si A est un corps, pour tout \(a\in A\), \(\phi_p(a)=a\) ssi \(a\in F_p\).
Démonstration
en développant par le binôme, les termes \((p j)\) sont nuls pour \(0<j<p\)
\(a^p=b^p\) ssi \((a-b)^p=0\) ssi \(a=b\) quand \(A\) est intègre
\(a^p=a\) si \(a\in F_p\) ce qui fait déjà \(p\) racines dans un corps.
Théorème
Soit \(\F_p\subset L\) un corps.
si \(P\in L[x]\), alors \(P(x)^p = P(x)\) ssi \(P\in F_p[x]\).
si \(P\in\F_p[x]\), alors \(P(\alpha)=0 \Leftrightarrow P(\alpha^p)=0\)
si \(P\in\F_p[x]\) est irréductible de degré \(k\) et \(a\in L\) est racine de \(P\), alors ses racines sont \(\alpha,\alpha^p,\dots \alpha^{p^{k-1}}\).
Application:
isomorphismes de la forme \(x\mapsto x^k\) où \(P(x^k)\equiv 0[Q]\) (remarque: k n’est pas de la forme \(p^e\))