Morphismes de corps et groupe de Galois¶
Morphismes de corps¶
Définition
ensemble \(\Hom_K(L,L')\) des \(K\)-morphismes de \(L\) dans \(L'\)
groupe \(\Gal(L/K)\) des K-automorphismes de \(L\)
Remarque
un morphisme de corps est toujours injectif
\(\phi\in\Hom_K(L,L')\) est un isomorphisme ssi \([L:K]=[L':K]\).
Prolongement des morphismes¶
Si \(\alpha\in L\) est racine de \(P(x)\in K[x]\), alors pour tout morphisme de corps \(\phi\in\Hom_K(L,L')\), \(\phi(\alpha)\) est racine de \(\phi(P)\).
Réciproquement,
Théorème
Soit \(\phi:K\to L\) un morphisme de corps, et \(a\in L\) algébrique sur \(K\) de minimal \(P\). Alors \(\phi\) se prolonge en un morphisme \(K[a]\to L\) si et seulement si \(\phi(P)\) possède une racine dans \(L\), et plus précisément il y a autant de prolongements que de racines de \(\phi(P)\) dans L.
Remarque
on a une bijection entre ces prolongements et les racines de \(\phi(P)\) dans \(L\).
Démonstration
on a un prolongement en posant \(\phi(a)=b\), où nécessairement b est une racine de \(\phi(P)\) dans \(L\) . Réciproquement, pour tout tel choix de b, le morphisme d’évaluation \(K[x]\to L\) a un noyau qui contient \((P)\), or \(P\) est irréductible, donc le noyau est \((P)\) et on a bien un morphisme \(K[a]\to L\).
Pour des extensions finies générales, on a en itérant cette construction
En particulier, on a le théorème d’Artin
théorème d'Artin
Soit \(L/K\) une extension finie, et \(L'/K\) une extension quelconque. Alors \(\#\Hom_K(L,L')\leq [L:K]\).
De plus, si \(L\) s’écrit \(L=K(a_1,\dots a_n)\), et si on note \(m_i\) le minimal de chacun des \(a_i\), alors
\(\Hom_K(L,L')\neq\varnothing\) si chaque \(m_i\) a une racine dans \(L'\)
\(\#\Hom_K(L,L') = [L:K]\) si chaque \(m_i\) est scindé à racines simples dans \(L'\).
Démonstration
par récurrence sur \([L:K]\), OK si \([L:K]=1\) unique morphisme
on note \(L=K[a_1,\dots a_n]\), \(P_1\) le minimal de \(a_1\) et \(Q_1\) son image par \(\phi\). Alors il y a \(\leq[K[a_1]:K]\) prolongements \(\phi_1:K[a_1]\to F\), avec égalité si \(Q_1\) est scindé à racines simples dans \(F\).
par récurrence, il y a au plus \([L:K[a_1]]\) prolongements de chaque \(\phi_1\), avec égalité si les \(Q_i\) sont scindés à racines simples.
on a donc au plus \([L/K]\) prolongements, avec égalité si les \(Q_i\) sont scindés à racines simples.
La borne sur le nombre de morphismes a de nombreuses conséquences, exemple :
On pose \(L=\Q(x_1,\dots x_n)\) et \(K=\Q(\sigma_1,\dots \sigma_n)\). Alors toute permutation de \(\gS_n\) induit un morphisme \(L\to L\) qui fixe \(K\). Donc \([L:K]\geq n!\). Or \(x_1,\dots x_n\) sont racines d’un polynôme de degré \(n\) à coefficients dans \(K\), donc \([L:K]\leq n!\). Ainsi, on a égalité.
Deux conséquences immédiates :
Théorème
Deux corps de décomposition \(L\) et \(L'\) de \(P\) sur \(K\) sont isomorphes, d’au plus \([L:K]\) manières, avec égalité si \(P\) est à racines simples.
Théorème
\(L/K\) extension séparable finie se plonge de \([L:K]\) manières dans une clôture algébrique \(\bar K\).
Démonstration
Par th de l’élément primitif, \(L=K[a]\subset \bar L\) avec \(a\) racine d’un polynôme irréductible de degré \([L:K]\), qui a autant de racines deux à deux distinctes dans \(\bar L\).
Exemple
il y a 3 plongements de \(\Q(\sqrt[3]2)\) dans \(\C\). L’un de ces plongements est réel (l’image est incluse dans \(\R\)), les deux autres sont complexes et diffèrent par la conjugaison complexe.
Remarque
la théorie de Galois étudie précisément ces isomorphismes
Démonstration
on prolonge l’identité (au plus [L:K] prolongements, avec égalité si P est à racines simples).
Eléments conjugués¶
Principe : des choses se ressemblent s’il existe un morphisme qui les lie (cf symétries de l’espace).
Remarque
puisque \(\Gal(L/K)\) laisse invariant les polynômes de \(K[x]\), il envoie nécessairement les racines d’un polynôme sur des racines du même polynôme.
Définition
Deux éléments algébriques \(α,β\) sont dits conjugués sur \(K\) s’il existe une extension \(L/K\) contenant \(α\) et \(β\), et un automorphisme \(φ\in\Gal(L/K)\) tel que \(φ(α)=β\).
Théorème
Deux éléments sont conjugués sur \(K\) si et seulement si ils ont le même minimal sur \(K\).
Démonstration
si \(α\) et \(β\) sont conjugués par \(φ\), alors \(0=φ(m_α(α))=m_α(β)\) donc \(m_α=m_β\) (annulateurs irréductibles).
on prolonge \(K[α]\to K[β]\) au corps de décomposition \(L\) du minimal.
Le groupe de Galois¶
Définition
\(\Gal(L/K) = \Hom_K(L,L)\), les automorphismes de L qui fixent K
On appelle groupe de Galois d’un polynôme \(P\in K[x]\) le groupe de Galois d’un corps de décomposition de \(P\) sur \(K\).
Remarque
pour que \(σ\in\Gal(L/K)\), il faut que - \(σ\) soit un morphisme de corps (additif, multiplicatif, image de \(1\)) - \(σ\) ait image dans \(L\) - \(σ\) fixe \(K\).
Proposition
Pour toute extension finie \(L/K\)
Si de plus \(L\) est une extension de décomposition d’un polynôme \(P\) à racines simples, alors \(\#\Gal(L:K)=[L:K]\).
Démonstration
c’est le théorème d’Artin.