Polynômes

L’anneau K[x]

K corps, K[x] anneau des polynômes à une indéterminée sur K.

coefficients, degré.

Proposition

division euclidienne

Conséquences : euclidien \(\Rightarrow\) principal \(\Rightarrow\) factoriel.

quelques définitions sur les anneaux

Soit \(A\) un anneau commutatif intègre.

  • on dit que \(a\mid b\) s’il existe \(c\) tel que \(ac=b\), ou de manière équivalente, \((b)\subset(a)\).

  • \(a\) est dit irréductible si \(a=bc\) implique que \(b\) ou \(c\) est une unité.

  • \(a\) est premier si \((a)\) l’est, soit si \(a\) satisfait le lemme de Gauss (\(a\mid bc\Rightarrow a\mid b\) ou \(a\mid c\))

  • un anneau est factoriel si tout élément se décompose de manière unique en un inversible et un produit d’irréductibles

Exemple

  • les éléments irréductibles de \(\Z\) sont les \(\pm p\) avec \(p\) premier.

  • sur \(\Z\), on a \(n\) premier ssi \((n)\) premier ssi \(n\) irréductible

  • polynôme irréductible sur K s’il n’est divisible que par les constantes (les inversibles).

  • premier \(\Rightarrow\) irréductible (l’écrire), mais l’inverse peut être faux : par exemple \(3\) est irréductible mais pas premier dans \(\Z[i\sqrt5]\).

  • dans les anneaux principaux ou factoriels, les irréductibles sont premiers (via Bézout ou l’unicité)

Exemple

  • \(x^2+1\) sur \(\R\)

  • \(x^2-2\) sur \(\Q\)

  • \(x^2+x+1\), \(x^3+x+1\), \(x^3+x^2+1\) sur \(\F_2\)

Théorème

K[X] est principal

Démonstration

prendre un elt non nul de plus petit degré

pgcd, ppcm

  • \((\pgcd(P,Q)) = (P) + (Q)\)

  • \((\ppcm(P,Q)) = (P) \cap (Q)\)

Démonstration

  • Soit \((D)=(P)+(Q)\).

  • Alors \((P)\subset(D)\) donc \(D\mid P\), de même pour \(Q\).

  • si \(M|P\) et \(M|Q\) alors \((P)\subset (M)\), de même pour \(Q\), donc \((P)+(Q)=(D)\subset (M)\) et \(M\mid D\).

  • pareil pour le ppcm.

on a mieux, un algo de calcul explicite

Algorithme d'Euclide

il existe \(U,V\) uniques tels que \(PU+QV=D\).

méthode de calcul :

\[\begin{split}u_0P+v_0Q=r_0=P\\ u_1P+v_1Q=r_1=Q\\ u_kP+v_kQ=r_k,\\ r_{k-1}=r_kq_k+r_{k+1}\end{split}\]

Proposition

les polynômes irréductibles sont premiers, ie si \(P\) irréductible divise \(QR\) alors \(P\mid Q\) ou \(P\mid R\).

Démonstration

Soit \(P\) irréductible, si \(P\mid QR\) et \(P\nmid Q\), alors pgcd(P,Q) vaut 1 et une relation de Bézout donne \(P\mid R\).

Théorème

K[x] est factoriel, ie il existe une famille de polynômes irréductibles (on les choisit unitaires) telle que tout polynôme s’écrit de manière unique comme produit de facteur irréductibles unitaires et d’une constante inversible.

Démonstration

c’est l’unicité qui est importante, on l’obtient car les irréductibles sont premiers.

pgcd, ppcm

en termes de valuation

  • \(R|P\) et \(R|Q\) ssi \(R|D\)

  • \(P|M\) et \(R|M\) ssi \(M|R\)

Quotient

Pour tout \(P\), anneau (algèbre) quotient \(K[x]/(P)\).

Proposition

Si \(\deg(P)=d\), isomorphisme d’e.v. \(K[x]/(P)\simeq K_{d-1}[x]\).

Les inversibles de \(K[x]/(P)\) sont les classes de polynômes premiers à \(P\) (via Bezout).

Théorème

Soit P dans K[x]. Alors P(x) irréductible sur K si et seulement si K[x]/P(x) est un corps.

Démonstration

si \(P\nmid Q\), alors pgcd=1 et Bézout.

Exemple

  • \(\C = \R[x]/(x^2+1)\). Vérifier la loi de multiplication.

  • on construit ainsi deux corps de cardinal 8.

Evaluation, racines

Proposition

morphisme d’évaluation \(K[x]\to L\) en \(a\in L\) si \(K\subset L\).

Proposition

Soit \(a\in K\), \(x-a|P\) ssi P(a)=0

multiplicité d'une racine

plus grand m tq \((x-a)^m\mid P\)

Proposition

a racine de multiplicité >=2 ssi \(P(a)=P'(a)=0\)

Démonstration

on écrit \(P(a) = (x-a)^2Q+R\), alors

Corollaire

un pol de degré n sur K a au plus n racines comptées avec multiplicité

Remarque

nb de racines borné par le degré encore vrai si anneau commutatif intègre contre-exemples : \(x^2+1\) sur les quaternions, \(x^3\) dans \(\Z/8\Z\).

théorème fondamental (existence de racines)

soit P non constant dans K[X]. Il existe un corps L contenant K dans lequel P a une racine.

Démonstration

corps sur un facteur irréductible, la classe de x est une racine

Exemple

  • \(C=R[i]=R[x]/(x^2+1)\) en notant \(i = x mod x^2+1\)

  • \(Q(\sqrt[3]2) \simeq R[x]/(x^3-2)\) en notant \(\sqrt[3]{2}=x\mod x^3-2\)

  • \(F_4 = F_2[a] = F_2[x]/(x^2+x+1)\) en notant \(a=x\mod x^2+x+1\)

Remarque

  • \(x^3-2\) a une unique racine dans \(\Q(\sqrt 3)\)

  • sur \(\F_p\), si \(P\) a une racine, \(P\) a toutes ses racines.

Divisibilité et racines

Théorème

Soient P,Q non constants, P et Q sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont aucune racine commune dans tout corps L contenant K.

Théorème

Soit P irréductible, et a une racine de P dans L. Alors pour tout M, \(M(a)=0\) ssi \(P|M\)

Démonstration

div euclidienne

Coefficients entiers

Il faut faire attention dans \(\Z[x]\) : ce n’est pas un anneau principal (regarder l’idéal \((2,x)\)), encore moins euclidien. Mais il est factoriel.

on recherche les irréductibles

Définition

pol primitif si pgcd(coeffs)=1

tout polynôme s’écrit de manière unique comme produit d’une constante et d’un polynôme primitif.

Théorème de Gauss

si \(P(x)\in\Z[x]\) se factorise sur \(\Q\), il se factorise sur \(\Z\).

Démonstration

  • soit \(P=QR\) une factorisation sur \(\Z\), en chassant les dénominateurs on l’écrit \(aP=QR\) avec \(Q,R\in\Z[x]\), et on peut supposer que \(a\) est premier au pgcd des coefficients de \(Q\) et \(R\).

  • pour tout \(p\) premier divisant \(a\), on a \(QR=0\) dans \(Z/pZ[x]\) intègre, donc \(p\) divise \(Q\) ou \(p\) divise \(R\).

  • donc \(a=1\), la division est dans \(\Z\).

Théorème

Les irréductibles de \(\Z[x]\) sont les nombres premiers et les polynômes primitif et irréductible dans \(\Q[x]\).

Démonstration

  • si degré 0, c’est un irréductible de \(\Z\) donc un nombre premier

  • si degré > 1, nécessairement primitif et irréductible sur \(\Q\) d’après le th de Gauss

Théorème

Z[x] est factoriel (mais ni euclidien ni principal)

Démonstration

soit 2 factorisations, on a l’égalité des constantes et des parties primitives, puis en passant par \(\Q\).

lemme de Gauss

  • un produit de pols primitifs est primitif

  • si \(P,Q\in\Z[x]\) et \(P|Q \in \Q[x]\), alors \(P|Q\in\Z[x]\)

Démonstration

  • si p divisait les coeffs du produit, \(\F_p[x]\) ne serait pas intègre.

  • on écrit \(Q=RP\) soit \(bQ=aR_0P\), écriture unique de la forme entier x pol primitif, donc \(a=b\) et la division est dans \(\Z\).

  • immédiat.

un critère d'irréductibilité

Soit \(P=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in\Z[x]\) et \(p\) premier tel que \(p\nmid a_n\) et \(\bar P\in\F_p[x]\) est irréductible. Alors \(P\) est irréductible sur \(\Q\).

Démonstration

  • si \(P\) n’est pas irréductible sur \(\Q\), soit \(P=QR\) une factorisation non triviale sur \(\Z\)

  • puisque \(\bar P=\bar Q\bar R\) a le même degré, c’est également une factorisation non triviale, impossible

Exemple

Construire un polynôme irréductible sur \(\Q\) de degré \(5\).

Critère d'Eisenstein (pour $Z$)

Soit \(P(x)=a_nx^n+\dots a_1x+a_0\in\Z[x]\) et \(p\) premier tels que - \(p\nmid a_n\) - \(\forall 0\leq i<n, p\mid a_i\) - \(p^2\nmid a_0\) alors \(P(x)\) est irréductible dans \(\Q[x]\)

Remarque

et aussi dans \(Z[x]\) si \(P\) est primitif.

Démonstration

  • on peut supposer que \(P\) est primitif quitte à diviser par le contenu

  • si \(P\) n’est pas irréductible, il ne l’est pas dans \(\Z[x]\), soit \(P=QR\) une factorisation non triviale (\(\deg Q,R\geq 1\)).

  • notons \(q_0\) et \(r_0\) les termes constants

  • Dans \(\F_p[x]\), on a \(P=QR=a_nx^n\), donc \(x\mid Q\) et \(x\mid R\)

  • Ainsi, les termes constants satisfont \(q_0=r_0=0\bmod p\)

  • en remontant, \(p^2\mid a_0=q_0r_0\), impossible.

Exemple

construire un irréductible de degré \(11\) sur \(\Q\).

Exemple

\(x^4+1\) irréductible sur \(\Q\).

Exemple

montrer que \(x^4+1\) n’est pas irréductible sur \(\Q(\sqrt 2)\).