Polynômes¶
L’anneau K[x]¶
K corps, K[x] anneau des polynômes à une indéterminée sur K.
coefficients, degré.
Proposition
division euclidienne
Conséquences : euclidien \(\Rightarrow\) principal \(\Rightarrow\) factoriel.
quelques définitions sur les anneaux
Soit \(A\) un anneau commutatif intègre.
on dit que \(a\mid b\) s’il existe \(c\) tel que \(ac=b\), ou de manière équivalente, \((b)\subset(a)\).
\(a\) est dit irréductible si \(a=bc\) implique que \(b\) ou \(c\) est une unité.
\(a\) est premier si \((a)\) l’est, soit si \(a\) satisfait le lemme de Gauss (\(a\mid bc\Rightarrow a\mid b\) ou \(a\mid c\))
un anneau est factoriel si tout élément se décompose de manière unique en un inversible et un produit d’irréductibles
Exemple
les éléments irréductibles de \(\Z\) sont les \(\pm p\) avec \(p\) premier.
sur \(\Z\), on a \(n\) premier ssi \((n)\) premier ssi \(n\) irréductible
polynôme irréductible sur K s’il n’est divisible que par les constantes (les inversibles).
premier \(\Rightarrow\) irréductible (l’écrire), mais l’inverse peut être faux : par exemple \(3\) est irréductible mais pas premier dans \(\Z[i\sqrt5]\).
dans les anneaux principaux ou factoriels, les irréductibles sont premiers (via Bézout ou l’unicité)
Exemple
\(x^2+1\) sur \(\R\)
\(x^2-2\) sur \(\Q\)
\(x^2+x+1\), \(x^3+x+1\), \(x^3+x^2+1\) sur \(\F_2\)
Théorème
K[X] est principal
Démonstration
prendre un elt non nul de plus petit degré
pgcd, ppcm
\((\pgcd(P,Q)) = (P) + (Q)\)
\((\ppcm(P,Q)) = (P) \cap (Q)\)
Démonstration
Soit \((D)=(P)+(Q)\).
Alors \((P)\subset(D)\) donc \(D\mid P\), de même pour \(Q\).
si \(M|P\) et \(M|Q\) alors \((P)\subset (M)\), de même pour \(Q\), donc \((P)+(Q)=(D)\subset (M)\) et \(M\mid D\).
pareil pour le ppcm.
on a mieux, un algo de calcul explicite
Algorithme d'Euclide
il existe \(U,V\) uniques tels que \(PU+QV=D\).
méthode de calcul :
Proposition
les polynômes irréductibles sont premiers, ie si \(P\) irréductible divise \(QR\) alors \(P\mid Q\) ou \(P\mid R\).
Démonstration
Soit \(P\) irréductible, si \(P\mid QR\) et \(P\nmid Q\), alors pgcd(P,Q) vaut 1 et une relation de Bézout donne \(P\mid R\).
Théorème
K[x] est factoriel, ie il existe une famille de polynômes irréductibles (on les choisit unitaires) telle que tout polynôme s’écrit de manière unique comme produit de facteur irréductibles unitaires et d’une constante inversible.
Démonstration
c’est l’unicité qui est importante, on l’obtient car les irréductibles sont premiers.
pgcd, ppcm
en termes de valuation
\(R|P\) et \(R|Q\) ssi \(R|D\)
\(P|M\) et \(R|M\) ssi \(M|R\)
Quotient¶
Pour tout \(P\), anneau (algèbre) quotient \(K[x]/(P)\).
Proposition
Si \(\deg(P)=d\), isomorphisme d’e.v. \(K[x]/(P)\simeq K_{d-1}[x]\).
Les inversibles de \(K[x]/(P)\) sont les classes de polynômes premiers à \(P\) (via Bezout).
Théorème
Soit P dans K[x]. Alors P(x) irréductible sur K si et seulement si K[x]/P(x) est un corps.
Démonstration
si \(P\nmid Q\), alors pgcd=1 et Bézout.
Exemple
\(\C = \R[x]/(x^2+1)\). Vérifier la loi de multiplication.
on construit ainsi deux corps de cardinal 8.
Evaluation, racines¶
Proposition
morphisme d’évaluation \(K[x]\to L\) en \(a\in L\) si \(K\subset L\).
Proposition
Soit \(a\in K\), \(x-a|P\) ssi P(a)=0
multiplicité d'une racine
plus grand m tq \((x-a)^m\mid P\)
Proposition
a racine de multiplicité >=2 ssi \(P(a)=P'(a)=0\)
Démonstration
on écrit \(P(a) = (x-a)^2Q+R\), alors
Corollaire
un pol de degré n sur K a au plus n racines comptées avec multiplicité
Remarque
nb de racines borné par le degré encore vrai si anneau commutatif intègre contre-exemples : \(x^2+1\) sur les quaternions, \(x^3\) dans \(\Z/8\Z\).
théorème fondamental (existence de racines)
soit P non constant dans K[X]. Il existe un corps L contenant K dans lequel P a une racine.
Démonstration
corps sur un facteur irréductible, la classe de x est une racine
Exemple
\(C=R[i]=R[x]/(x^2+1)\) en notant \(i = x mod x^2+1\)
\(Q(\sqrt[3]2) \simeq R[x]/(x^3-2)\) en notant \(\sqrt[3]{2}=x\mod x^3-2\)
\(F_4 = F_2[a] = F_2[x]/(x^2+x+1)\) en notant \(a=x\mod x^2+x+1\)
Remarque
\(x^3-2\) a une unique racine dans \(\Q(\sqrt 3)\)
sur \(\F_p\), si \(P\) a une racine, \(P\) a toutes ses racines.
Divisibilité et racines¶
Théorème
Soient P,Q non constants, P et Q sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont aucune racine commune dans tout corps L contenant K.
Théorème
Soit P irréductible, et a une racine de P dans L. Alors pour tout M, \(M(a)=0\) ssi \(P|M\)
Démonstration
div euclidienne
Coefficients entiers¶
Il faut faire attention dans \(\Z[x]\) : ce n’est pas un anneau principal (regarder l’idéal \((2,x)\)), encore moins euclidien. Mais il est factoriel.
on recherche les irréductibles
Définition
pol primitif si pgcd(coeffs)=1
tout polynôme s’écrit de manière unique comme produit d’une constante et d’un polynôme primitif.
Théorème de Gauss
si \(P(x)\in\Z[x]\) se factorise sur \(\Q\), il se factorise sur \(\Z\).
Démonstration
soit \(P=QR\) une factorisation sur \(\Z\), en chassant les dénominateurs on l’écrit \(aP=QR\) avec \(Q,R\in\Z[x]\), et on peut supposer que \(a\) est premier au pgcd des coefficients de \(Q\) et \(R\).
pour tout \(p\) premier divisant \(a\), on a \(QR=0\) dans \(Z/pZ[x]\) intègre, donc \(p\) divise \(Q\) ou \(p\) divise \(R\).
donc \(a=1\), la division est dans \(\Z\).
Théorème
Les irréductibles de \(\Z[x]\) sont les nombres premiers et les polynômes primitif et irréductible dans \(\Q[x]\).
Démonstration
si degré 0, c’est un irréductible de \(\Z\) donc un nombre premier
si degré > 1, nécessairement primitif et irréductible sur \(\Q\) d’après le th de Gauss
Théorème
Z[x] est factoriel (mais ni euclidien ni principal)
Démonstration
soit 2 factorisations, on a l’égalité des constantes et des parties primitives, puis en passant par \(\Q\).
lemme de Gauss
un produit de pols primitifs est primitif
si \(P,Q\in\Z[x]\) et \(P|Q \in \Q[x]\), alors \(P|Q\in\Z[x]\)
Démonstration
si p divisait les coeffs du produit, \(\F_p[x]\) ne serait pas intègre.
on écrit \(Q=RP\) soit \(bQ=aR_0P\), écriture unique de la forme entier x pol primitif, donc \(a=b\) et la division est dans \(\Z\).
immédiat.
un critère d'irréductibilité
Soit \(P=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in\Z[x]\) et \(p\) premier tel que \(p\nmid a_n\) et \(\bar P\in\F_p[x]\) est irréductible. Alors \(P\) est irréductible sur \(\Q\).
Démonstration
si \(P\) n’est pas irréductible sur \(\Q\), soit \(P=QR\) une factorisation non triviale sur \(\Z\)
puisque \(\bar P=\bar Q\bar R\) a le même degré, c’est également une factorisation non triviale, impossible
Exemple
Construire un polynôme irréductible sur \(\Q\) de degré \(5\).
Critère d'Eisenstein (pour $Z$)
Soit \(P(x)=a_nx^n+\dots a_1x+a_0\in\Z[x]\) et \(p\) premier tels que - \(p\nmid a_n\) - \(\forall 0\leq i<n, p\mid a_i\) - \(p^2\nmid a_0\) alors \(P(x)\) est irréductible dans \(\Q[x]\)
Remarque
et aussi dans \(Z[x]\) si \(P\) est primitif.
Démonstration
on peut supposer que \(P\) est primitif quitte à diviser par le contenu
si \(P\) n’est pas irréductible, il ne l’est pas dans \(\Z[x]\), soit \(P=QR\) une factorisation non triviale (\(\deg Q,R\geq 1\)).
notons \(q_0\) et \(r_0\) les termes constants
Dans \(\F_p[x]\), on a \(P=QR=a_nx^n\), donc \(x\mid Q\) et \(x\mid R\)
Ainsi, les termes constants satisfont \(q_0=r_0=0\bmod p\)
en remontant, \(p^2\mid a_0=q_0r_0\), impossible.
Exemple
construire un irréductible de degré \(11\) sur \(\Q\).
Exemple
\(x^4+1\) irréductible sur \(\Q\).
Exemple
montrer que \(x^4+1\) n’est pas irréductible sur \(\Q(\sqrt 2)\).