Publications de Frédéric Hélein



Livres



[1] (avec Fabrice Bethuel et Haïm Brezis)
Ginzburg-Landau Vortices,
Birkhaüser 1994.

Dans ce livre, qui fait suite à l'article [14], nous étudions le comportement asymptotique des solutions de l'équation de Ginzburg-Landau dans un domaine du plan. Cette équation modélise les configurations d'équilibre d'un superfluide ou d'un supra-conducteur (si l'on inclut un champ magnétique) et l'inconnue est un champ à valeurs complexes qui s'interprète comme un paramètre de phase. Lorsque cette phase est de module égal à 1, le matériau est superfluide et lorsque la valeur de la phase est proche de zéro, on est en dehors de l'état superfluide. Les expériences des physiciens permettaient de prédire que la phase devait être presque partout de module égal à 1, sauf en des zones très petites, appelées tourbillons. Dans l'espace tridimensionnel, ces tourbillons s'organisent en fins filaments. Notre travail correspond à étudier une section transversale qui coupent ces filaments en des points. Nous avons obtenu une justification mathématique de cela. De plus, nous montrons que les tourbillons ne se répartissent pas au hasard, mais adoptent une configuration qui minimise une énergie renormalisée dont nous étudions les propriétés.



[2] Applications harmoniques, lois de conservation, et repères mobiles,
Diderot éditeur, Sciences et Arts, 1996.

Ouvrage traduit en anglais :
Harmonic maps, conservation laws and moving frames,
Diderot Multimédia, 1997.

Cet ouvrage est une introduction à la théorie des applications harmoniques entre variétés riemanniennes. J'y présente en détail les applications faiblement harmoniques et la preuve de mon résultat de régularité de ces solutions faibles en dimension deux, démontré dans les articles [7], [8] et [11]. J'ai également inclus les généralisations de ce résultat en dimension plus grande, dues à L.C. Evans et F. Bethuel. C'est l'occasion de présenter deux types d'outils, qui sont nécessaires pour démontrer ces résultats. Des outils géométriques sont le théorème de Noether, lié aux symétries d'un problème variationnel, et l'utilisation de repères mobiles, et des outils d'analyse sont des espaces fonctionnels particulièrement adaptés comme les espaces de Hardy, BMO et Lorentz. Ces espaces permettent en particulier d'exploiter des phénomènes de « régularité par compensation », décelés pour la première fois par H. Wente en 1969. La notion nouvelle de repère mobile de Coulomb est introduite : elle joue une rôle clef pour démontrer ces résultats dans le cas où il n'y a pas de symétrie. Le dernier chapitre est consacré à un travail de S. Müller et V. Svérak qui simplifie le résultat suivant, dû à T. Toro : toute surface immergée dans l'espace dont la seconde forme fondamentale est de carré intégral est une sous-variété lipschitzienne. Ils montrent qu'en fait cette surface admet une paramétrisation conforme bilipschitzienne. La méthode présente des analogies avec les méthodes utilisées pour la régularité des applications faiblement harmoniques. Je conclus sur une preuve originale de l'existence de coordonnées conforme sur une surface, à l'aide des repères mobiles de Coulomb.



[3] Symétries dans les problèmes variationnels et applications harmoniques,
prépublication CMLA 1998, numéro 9602; (version pdf)

Publication du Dipartimento di Matematica dell'Università di Pisa,
Istituti Editoriale e Poligrafici Internatzionali Pisa - Roma, 1998

Ce texte peut être lu comme une version condensée du livre [2]. Les applications harmoniques et les applications faiblement harmoniques sont introduites et le matériel minimal nécessaire aux démonstrations des théorèmes de régularité des applications faiblement harmoniques est exposé, à savoir le théorème de Noether et les espaces fonctionnels « exotiques ». On trouvera néanmoins une présentation différente et sur certains points plus complète du théorème de Noether (notament le lien avec l'identité de Pohozaev pour le problème de Yamabe) et une preuve simplifiée du théorème de régularité partielle de L.C. Evans.



[4] Constant mean curvature surfaces, harmonic maps and integrable systems,
Lectures in Mathematics, ETH Zürich,
Birkäuser 2001.

This book intends to give an introduction to harmonic maps between a surface and a symmetric manifold and constant mean curvature surfaces as completely integrable systems. The presentation is accessible to undergraduate and graduate students in mathematics but will also be useful to researchers. It is among the first textbook in about integrable systems, their interplay with harmonic maps and the use of loop groups, and it presents the theory from the point of view of a differential geometer. The most important results are exposed with complete proofs (except for the two last chapters). Some proofs have been completely rewritten with the objective, in particular, to clarify the relation between finite mean curvature tori, Wente tori and the loop group approach --- an aspect largely neglected in the literature. The books helps the reader to accesse the ideas of the theory and to acquire a unified perspective of the subject.
Preface and chapter 1



[5] Harmonic maps, conservation laws and moving frames,
Cambridge Tracts in Mathematics 150, Cambridge University Press, 2002.

This is a second edition of the book [2]
Preface, table of contents and introduction (postscript)




 

Articles

[1] Minima de la fonctionnelle énergie libre des cristaux liquides,
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. 305, Série I, 1987, pdf

H. Brezis, J.-M. Coron et E.H. Lieb ont montré que l'application \(x/|x|\) minimise l'énergie de Dirichlet parmi les appplications de la boule de \(\mathbb{R}^3\) vers la sphère \(S^2\) (ce résultat a été ultérieurement simplifié et généralisé aux dimensions supérieures par F. H. Lin). Or la fonctionnelle de Dirichlet fait partie d'une famille de fonctionnelles introduites par Oseen et Frank pour modéliser les cristaux liquides nématiques. Cette famille est paramétrisée par trois constantes physiques, \(k_1\), \(k_2\) et \(k_3\) pondérant l'importance de la divergence, de la torsion et de la flexion respectivement dans l'énergie. Dans cette Note, je montre que, lorsque les trois constantes satisfont une inégalité, \(x/|x|\) cesse d'être minimisant et il y a brisure de symétrie du minimum.



[2] Regularity and Uniqueness of Harmonic Maps into an Ellipsoid,
Manuscripta Mathematica 60, 1988.

Cette article généralise trois résultats: le théorème de régularité de S. Hildebrandt, H. Kaul, K.-O. Widman pour des applications faiblement harmoniques à valeurs dans des boules géodésiquement convexes dont le rayon est borné par le quotient de \(\pi/2\) par le maximum de la courbure sectionnelle, un théorème d'unicité pour les applications harmoniques, sous des hypothèses géométriques de « convexité » semblables, dû à W. Jäger et H. Kaul et enfin l'analyse faite par W. Jäger et H. Kaul (dans un deuxième article) d'applications harmoniques équivariantes (sous l'action du groupe de rotation) entre un disque n-dimensionnel et la sphère de dimension n. Nous montrons que tout ce programme peut être mené à bien dans le cas où la variété image est un demi-ellipsoïde aplati, bien que les hypothèses des trois résultats précédents ne soient plus vérifiées.



[3] Homéomorphismes quasi-conformes entre surfaces riemanniennes,
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. 307, Série I, 1988, pdf.

Dans cette note, je résouds un problème posé suite aux travaux de H.C.J. Sealey dans le but de prouver l'existence d'un difféomorphisme harmonique entre deux surfaces riemanniennes, il y a plus de quarante ans. Il avait proposé une preuve qui malheureusement s'est avérée être incomplète sur plusieurs points. Un de ces points étaient de démontrer que tout homéomorphisme quasi-conforme des classe H1 dont la différentielle de Hopf est harmonique est régulier harmonique. C'est précisément le résultat qui est démontré ici. La méthode utilise une idée proche de l'article qui suit, avec J.M Coron, et consiste à montrer que l'homéomorphisme est en fait minimisant, donc harmonique. Depuis la tentative de H.C.J. Sealey, J. Jost et S.T. Yau ont trouvé une preuve du résultat cherché par celui-ci.



[4] (avec Jean-Michel Coron)
Harmonic Diffeomeorphisms, Minimizing Harmonic Maps and Rotational Symmetry,
Compositio Mathematica 69, 1989.

Le but de cet article est de démontrer que certaines applications harmoniques sont minimisantes. Nous nous intéressons ici aux difféomorphismes harmoniques. Nous obtenons deux catégories de résultats : en dimension deux, nous établissons que tous les difféomorphismes harmoniques entre surfaces sont minimisants. L'idée est de décomposer l'image inverse de la métrique de la surface d'arrivée en la somme d'une métrique à courbure négative et d'une métrique conforme à la métrique sur la surface de départ. En dimension strictement plus grande que deux, nous montrons que, sous certaines conditions locales, des difféomorphismes harmoniques équivariants sous l'action du groupe des rotations sont minimisants. La méthode consiste cette fois-ci à décomposer l'image inverse de la métrique sur la variété d'arrivée en une somme infinie de métriques pour lesquels la formule de la coaire permet d'avoir une minoration de l'énergie. Cette méthode avait été employée précédemment par J.M. Coron et R. Gulliver pour montrer que, par exemple, la fibration de Hopf est harmonique minimisante.



[5] Difféomorphismes harmoniques entre un ouvert de R³ et une variété riemannienne,
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. 308, Série I, 1989, pdf.

Dans cette Note, je poursuit le même but que dans l'article précédent avec J.M. Coron, à savoir, montrer que certains difféomorphismes harmoniques sont minimisants. La méthode proposée ici est un peu différente et fait appel à un lagrangien nul, procédé très similaire à une calibration pour une sous-variété minimale. Cette technique avait été employé par F.H. Lin pour montrer que l'application qui à tout x associe \(x/|x|\) est minimisante de la boule unité de l'espace euclidien dans la sphère, dès que la dimension est supérieure ou égale à trois. L'emploi de lagrangien nul permet ici d'améliorer et de simplifier les résultats obtenus dans l'article précédent.



[6] Approximation of Sobolev Maps between an Open Subset and an Euclidean Sphere, Boundary Datas and Singularities,
Mathematische Annalen 285, 1989.

Ici, le but est de démontrer que l'application qui à tout \(x\) associe \(x/|x|\) est minimisante de la boule unité de l'espace euclidien dans la sphère. Je montre ici que ce résultat est vrai si la dimension est supérieure ou égale à 9. Ce résultat est bien entendu moins général que celui de F.H. Lin mentionné plus haut. En revanche, la méthode permet d'avoir une minoration de l'écart entre l'énergie d'une application avec l'énergie minimale en fonction de la distance dans la topologie \(H^1\) entre cette application et l'application minimisante. La méthode fait appel à un résultat d'approximation de fonctions à valeurs dans la sphère dans la topologie \(H^1\) par des applications régulières sauf en certains lieux, variantes des nombreux résultats obtenus dans ce sens par F. Bethuel.



[7] Régularité des applications faiblement harmoniques entre une surface et une sphère,
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. 311, Série I, 1990, pdf.

Dans cette Note, je prouve que toute application faiblement harmonique sur une surface et à valeurs dans une sphère est régulière. Ce résultat avait été démontré (pour des applications à valeurs dans des variétés quelconques) par C.B. Morrey sous l'hypothèse supplémentaire que l'application est minimisante, par M. Grüter, sous l'hypothèse supplémentaire que l'application est conforme et par R. Schoen, sous l'hypothèse supplémentaire que l'application est stationnaire. Egalement, J. Sacks et K. Uhlenbeck avaient démontré que les application faiblement harmoniques sur une surface ne peuvent pas avoir de singularités ponctuelles. La méthode utilisée ici utilise le fait que la sphère est une variété homogène, ce qui entraîne, grâce au théorème de Noether, l'existence de nombreuses lois de conservation qui jouent un rôle crucial ici. De plus, la preuve exploite des phénomènes de compensation du même type que ceux découverts et utilisés par H. Wente pour prouver la régularité des surfaces à courbure moyenne constante. Ces techniques ont été réutilisées par L.C. Evans pour démontrer qu'en dimension plus grande m, toute application faiblement harmonique et stationnaire est régulière en dehors d'un lieu singulier dont la dimension de Hausdorff est plus petite que \(m-2\). Cela a nécessité d'autres ingrédients comme l'utilisation des espaces de Hardy et de BMO et le fait que ces espaces sont en dualité. Le lien entre l'espace de Hardy et les phénomènes de compensation avait été découvert par R. Coifman, P.-L. Lions, Y. Meyer et S. Semmes.



[8] Regularity of Weakly Harmonic Maps from a Surface into a Manifold with Symmetries,
Manuscripta Mathematica 70, 1991.

We prove that any weakly harmonic map form a surface into a compact manifold on which a Lie group acts transitively by isometries is regular. We stats a similar result for weakly harmonic maps on manifolds of arbitrary dimension m under the assumption that this map belongs to W1,m.
This paper extends results in [7].



[9] Harmonic Diffeomorphisms with Rotational Symmetries,
Journal für die reine und angewandte Mathematik 414, 1991
pdf

Cet article généralise le résultat obtenu dans la Note [5] de cette liste, dans le but de montrer que certains diffémorphismes harmoniques sont minimisants, en dimension m strictement supérieure à trois. Cependant, le résultat est plus faible que celui que j'avais obtenu en dimension trois, valable sans symétrie, et ici, on est obligé de supposer que le difféomorphisme est équivariant sous l'action du groupe de rotation SO(m). La méthode est similaire et repose sur la construction d'un lagrangien nul adéquat.



[10] (avec Fabrice Bethuel, Jean-Michel Coron et Francoise Demengel)
A Cohomological Criterion for Density of Smooth Maps in Sobolev Spaces between Riemannian Manifolds,
in "Nematics, Mathematical and Physical Aspects", NATO ASI Series C 332, Kluwer Academic Publishers.

We consider in this paper two compact Riemannian manifolds \(\mathcal{M}\) and \(\mathcal{N}\) and a map \(f\) in \(W^{1,p}(\mathcal{M}, \mathcal{N})\), where \(p\) belongs to \([1,m)\) (here \(\mathcal{M}\) is the dimension of \(\mathcal{M}\)). We assume that \(\mathcal{N}\) is \(([p]-1)\)-connected and that \(H_{[p]}(\mathcal{N}, \mathbb{Q})\) is isomorphic to the \([p]\)th homotopy group of \(\mathcal{N}\), where \([p]\) is the largest integer less or equal to \(p\). We prove that \(f\) can be approximated by smooth maps between \(\mathcal{M}\) and \(\mathcal{N}\) if and only if the pull-back by \(f\) of any closed \([p]\)-form on \(\mathcal{N}\) is closed.



[11] Régularité des applications faiblement harmoniques entre une surface et une variété riemanienne,
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. 312, Série I, 1991, pdf.

Cette Note généralise les résultats montrés dans [7] et [8] sans avoir à faire d'hypothèse de symétrie sur la variété d'arrivée. Comme substitut au théorème de Noether et aux lois de conservation, on fait appel à une construction ad hoc : un repère mobile sur la variété d'arrivée d'énergie minimisante (une section harmonique), que j'appelle repère de Coulomb. Cela permet d'exploiter des symétries agissant cette-fois sur le fibré tangent de la variété d'arrivée et donc d'obtenir de nouvelles lois de conservations. On retrouve alors des phénomènes de compensation. Il sont exploités à l'aide des résultats mentionnés précédemment concernant l'epace de Hardy et d'autres espaces, comme les espaces de Lorentz. Ces méthodes (notamment le repère de Coulomb) seront utilisées par F. Bethuel pour généraliser le résultat de L.C. Evans aux applications faiblement harmoniques stationnaires à valeurs dans une variété quelconque.



[12] Ecoulement stationnaire et irrotationnel d'un fluide incompressible dans un canal bidimensionnel à fond presque plat,
prépublication CMLA 1991.

Ce rapport est une étude de l'écoulement de l'eau d'une rivière ou d'un fleuve. De façon plus précise, le problème abordé est celui dun mouvement plan irrotationnel et stationnaire d'un fluide incompressible non visqueux dans un canal de longueur infinie. Nous supposons que le fond du canal est plat et horizontal partout sauf en un endroit où se trouve une bosse. Nous nous intéressons alors à l'effet de cette bosse dans l'hypothèse où le fluide arrive dessus avec une vitesse uniforme constante. Nous donnons une solution dans le cas du poblème linéarisé.



[13] (avec Fabrice Bethuel, Haïm Brezis et Bernard Coleman)
Bifurcation Analysis of Minimizing Harmonic Maps Describing the Equilibrium of Nematic Phases between Cylinders,
Archi. Rat. Mech. Anal. 118, 1992.

Consider a nematic liqui crystal confined between two coaxial circular cylinders centered on the \(z\)-axis. Suppose that each cylinder imposes a strong anchoring boundary condtion requiring the director field to be normal to it. In experiments on a nematic material in such a configuration, Williams, Cladis & Kléman observed that, for the range of cylinder diameters studied, at equilibrium the director lies along radial lines in the \((x,y)\)-plane with no component in the \(z\)-direction. We shall here show that such is the case in the one-constant theory, i.e. for minimizing harmonic maps into \(S^2\), provided the ratio \(\rho\) of the radius of the inner cylinder to that of the outer cylinder is equal to or greater than \(e^{-\pi}\); however, if \(\rho\) is less than \(e^{-\pi}\), then the free energy has a minimizer that preserves radial symmetry in the sense that the projection of \(u\) onto the \((x,y)\)-plane lies along radial lines, but this minimizer has a component alont the \(z\)-axis at every point off the bounding surfaces.

[14] (avec Fabrice Bethuel et Haïm Brezis)
Asymptotics for the Minimization of a Ginzburg-Landau Functional,
Calculus of Variations and PDEs 1 (1993), 123--148.

Let \(\Omega\) be a smooth bounded simply connected domain. Consider the functional \(E_\varepsilon(u)\), which is equal to half the square of the \(L^2\)-norm of u plus the integral over \(\Omega\) of \((|u|^2-1)^2/4\varepsilon^2\) on the class \(H^1_g\) of \(H^1\) complex valued functions on \(\Omega\) which agree with \(g\) on the boundary of \(\Omega\), where \(g\) is a given map from the boundary of \(\Omega\) to the unit circle in the complex plane of degree 0. Let \(u_\varepsilon\) be a minimizer for \(E_\varepsilon\) on \(H^1_g\). We prove that \(u_\varepsilon\) converges to \(u_0\) in the \(\mathcal{C}^{1,\alpha}\) topology on the closure of \(\Omega\), where \(u_0\) is identified. Moreover the \(L ^\infty\)-norm of \(u_\varepsilon - u_0\) is bounded by a constant times \(\varepsilon^2\).
This paper is a preliminary work to the book [1].



[15] Inégalité isopérimétrique et calibrations,
Annales de l'Institut Fourier 44, 4 (1994), 1211-1218.

Dans cet article je démontre l'inégalité isopérimétrique avec la constante optimale pour des domaines contenu dans le plan euclidien, la sphère \(S^2\) ou le plan hyperbolique \(H^2\) à l'aide d'une méthode analogue aux calibrations utilisées pour démontrer que certaines sous-variétés « minimales » minimisent bien le volume dans leur classe d'homotopie. (Voir aussi l'article [16] qui suit.)



[16] Isoperimetric inequalities and calibrations,
"Progress in Partial Differential Equations: the Metz surveys", M. Chipot and I. Shafrir ed., Pitman Research Notes in Mathematics, Series 345, Longman (1996). Postscript, pdf

The subject of these Notes is the new proof, proposed in [15], of the classical isoperimetric inequality in the plane. This proof is far from being the first one, but its interest is that it uses essentially integration by parts and Stoke's formula in a simple manner, like in a calibration. Here we expound again this proof and discuss in which sense our proof works like a calibration, or it can be understood in the framework of the theory of null Lagrangians, which goes back to Weierstrass, Mayer, Hilbert, Weyl, Carathéodory, and Lepage.



[17] Willmore immersions and loop groups,
Journal of Differential Geometry, Vol. 50, n. 2 (1998), 331-388
Postscript

Pour une présentation plus « pédagogique » de cet article, voir le texte (postscript, pdf) de Proceeding Weierstrass representation for Willmore surfaces, publié dans le livre Harmonic morphisms, harmonic maps, and related topics édité par C. K. Anand, P. Baird, E. Loubeau and J. C. Wood, Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics 413.
Bonus : des détails sur l'équation d'Euler-Lagrange.



[18] (avec Pascal Romon))
Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces in \(\mathbb{C}^2\),
Comm. Anal. Geom. Vol. 10, N. 1 (2002), 79--126
Postscript,
math-dg/0009202

We study Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces in the four-dimensional Euclidean space (that we identify with the complex vector plane), i.e. Lagrangian surfaces in the complex vector plane which are stationary points of the area functional under smooth Hamiltonian variations. Using loop groups, we propose a formulation of the equation as a completely integrable system. We construct a Weierstrass type representation and produce all tori through either the integrable systems machinery or more direct arguments.
For other works on the same subject, see the papers [21], [23], [24] and [29].



[19] (avec Yuxin Ge)
A remark on H-surfaces in R³,
Mathematische Zeitschrift 242 (2002), 241--250
Postscript

In this paper we exploit previous works of myself and mainly of Yuxin relating constant mean curvature surfaces and the Wente inequality. The aim here is to construct constant mean curvature immersions of an annulus with suitable boundary conditions so that we could build an immersed torus by gluing two images of the immersed annulus. Then we would be able to obtain Wente tori by a variational method. We show here existence of these annuli. However, since we are not able to force the Hopf differential to vanish, we cannot conclude that we did construct a constant mean curvature surface. It seems that among all our solutions there should be such a constant mean curvature surface, but in order to prove that we need to control the Hopf differential by acting on the conformal type of the annulus.



[20] Problèmes variationnels invariants par transformation conforme en dimension 2,
prépublication 1999 numéro 9927 Postscript
math-ph/0101237
A paraître dans Partial differential equations and variational calculus in Physics, éditeur J. Kouneiher, Springer-Verlag.

The motivation for this paper was to characterize conformally invariant variational problems in two variables. We first obtain that (it is relatively simple) and then we try to understand the structure of these problem. The nice surprise is that, from a geometrical point of view, these problems lead to an analog of Finsler geometry. But here where we replace real homogeneous functions on the tangent bundle (the object which describes a Finsler metric) by complex homogeneous functions on the complexified tangent bundle. In a second part we present Hamiltonian formulations of these problems (mainly exploring the Carathéodory theory in this situation).



[21] (avec Pascal Romon)
Weierstrass representation of Lagrangian surfaces in four-dimensional space using spinors and quaternions,
Postscript
Commentari Mathematici Helvetici 75 (2000), 688-680

We derive a Weierstrass-type formula for conformal Lagrangian immersions in euclidean 4-space, and show that the data satisfies an equation similar to Dirac equation with complex potential. We apply the representation to the Hamiltonian stationary case to construct all possible tori and obtain a first approach to a moduli space in terms of a simple algebraic-geometric problem on the plane. We also classify Hamiltonian stationary Klein bottles and show they self-intersect.
For other works on the same subject, see the papers [18], [23], [24] and [29].



[22] (avec Joseph Kouneiher)
Finite dimensional Hamiltonian formalism for gauge theory and quantum field theory,
Journal of Mathematical Physics, Volume 43, Number 5, May 2002.
math-ph/0010036

Dans ce papier, nous proposons une généralisation du formalisme hamiltonien classique pour des problèmes variationnels à plusieurs variables. De telles tentatives ne sont pas nouvelles et remontent à De Donder, Weyl, Carathéodory (et indirectement aussi E. Cartan) dans les années trente. L'idée est de définir une généralisation correcte du formalisme d'Hamilton, dans lequel les équations d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel s'écrivent comme un système du premier ordre «covariant» . Une des motivations les plus importantes serait la construction d'un crochet de Poisson, dans le but de construire une théorie quantique des champs covariante. Ces constructions sont apparues plus récemment, mais souvent de façon partielle et un des premiers crochets de Poisson satisfaisant (à notre connaissance) apparaît dans un article de I. Kannatchikov, en 1993. Notre contribution ici consiste à généraliser et simplifier les constructions précédentes, ce qui conduit notamment à formuler les problèmes avec invariance de jauge (comme les équations de Maxwell) sous forme d'équations de Hamilton sans difficultés.



[23] (avec Pascal Romon)
Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces in Hermitian symmetric spaces,
publié dans "Differential Geometry and Integrable Systems", Martin Guest, Reiko Miyaoka, and Yoshihiro Ohnita, Editors - AMS, 2002.
math.DG/0010231

This paper is the third of a series on Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces. We present here the most general theory, valid for any Hermitian symmetric target space. Using well-chosen moving frame formalism, we show that the equations are equivalent to an integrable system, generalizing the \(\mathbb{C}^2\) subcase analysed in math-dg/0009202. It shares many features with the harmonic map equation of surfaces into symmetric spaces, allowing us to develop a theory close to Dorfmeister, Pedit and Wu's one, including for instance a Weierstrass-type representation. Notice that this article encompasses the article mentionned above, although much fewer details will be given on that particular flat case.
For other works on the same subject, see the papers [18], [21], [24] and [29].



[24] On Konopelchenko's representation for surfaces in 4 dimensions,
eprint math.DG/0104101

The purpose of this short note is to relate the representation formula in the paper [21] above for Lagrangian surfaces to a more general Weierstrass representation type formula found by Konopelchenko for surfaces in 4-dimensional space (see math.DG/9807129). As a byproduct we deduce simplifications of Konopelchenko's formula using quaternions.
For other works on the same subject, see the papers [18], [21], [23] and [29].



[25] Hamiltonian formalisms for multidimensional calculus of variations and perturbation theory,
Noncompact Problems at the Intersection of Geometry, Analysis and Topology Contemporary Mathematics, Volume 350, A. Bahri, S. Klainerman et M. Vogelius, eds., 2004, AMS, 127--147.
math-ph/0212036

In a first part we propose an introduction to multisymplectic formalisms, which are generalizations of Hamilton's formulation of Mechanics to the calculus of variations with several variables: we recall some physical motivations, related to the quantum field theory, and expound the simplest example, based on a theory due to T. De Donder and H. Weyl. In a second part we explain quickly a work in collaboration with J. Kouneiher on generalizations of the De Donder--Weyl theory (known as Lepage theories). Lastly we show that in this framework a perturbative classical field theory (analogue to the quantum field theory) can be constructed.
A precise formulation of this perturbative field theory has been constructed subsequentely by Dika Harrivel, see math.AP/0410050



[26] (avec Joseph Kouneiher)
Covariant Hamiltonian formalism for the calculus of variations with several variables: Lepage--Dedecker versus De Donder--Weyl,
Advances in Theoretical and Mathematical Physics 8 (2004), 565-601. reprint, math-ph/0401046

The main purpose in the present paper is to build a Hamiltonian theory for fields which is consistent with the principles of relativity. For this we consider detailed geometric pictures of Lepage theories in the spirit of Dedecker and try to stress out the interplay between the Lepage-Dedecker (LP) description and the (more usual) De Donder-Weyl (DDW) one. One of the main points is the fact that the Legendre transform in the DDW approach is replaced by a Legendre correspondence in the LP theory (This correspondence behaves differently: ignoring the singularities whenever the Lagrangian is degenerate).
This paper and the following one result from a splitting of a first version in math-ph/0211046
(or in Prépublication)



[27] (avec Joseph Kouneiher)
The notion of observable in the covariant Hamiltonian formalism for the calculus of variations with several variables,
Advances in Theoretical and Mathematical Physics 8 (2004), 735-777: reprint, math-ph/0401047

This papers is concerned with multisymplectic formalisms which are the frameworks for Hamiltonian theories for fields theory. Our main purpose is to study the observable \((n-1)\)-forms which allows one to construct observable functionals on the set of solutions of the Hamilton equations by integration. We develop here two different points of view: generalizing the law \(\{p,q\} = 1\) or the law \(dF/dt = \{H,F\}\). This leads to two possible definitions; we explore the relationships and the differences between these two concepts. We show that -- in contrast with the de Donder--Weyl theory -- the two definitions coincides in the Lepage--Dedecker theory.
This paper and the previous one result from a splitting of a first version in math-ph/0211046
(or in Prépublication)



[28] Removability of singularities of harmonic maps into pseudo-Riemannian manifolds,
Annales Fac. Sciences Toulouse, Vol. XIII, n. 1, 2004, 45--71
math.AP/0305217

We consider harmonic maps into pseudo-Riemannian manifolds. We show the removability of isolated singularities for continuous maps, i.e. that any continuous map from an open subset of \(\mathbb{R}^m\) into a pseudo-Riemannian manifold which is two times continuously differentiable and harmonic everywhere outside an isolated point is actually smooth harmonic everywhere.
Note: this regularity result was motivated by the theory of conformal surfaces and in particular answers a question asked by F. Pedit. It has been used by K. Leschke and F. Pedit for characterizing Willmore surfaces in math.DG/0306150.



[29] (avec Pascal Romon)
Hamiltonian stationary tori in the complex projective plane,
Proc. London Roy. Soc. (3) 90 (2005), 472-496.
math.DG/0310095

We analyze here Hamiltonian stationary surfaces in the complex projective plane as (local) solutions to an integrable system, formulated as a zero curvature on a loop group. As an application, we show in details why such tori are finite type solutions, and eventually describe the simplest of them: the homogeneous ones.
For other works on the same subject, see the papers [18], [21], [23] and [24].
Bonus : compléments sur \(S^{2n+1}\) et l'espace projectif complexe \(\mathbb{C}P^n\).



[30] A representation formula for maps on supermanifolds, J. Math. Phys. 49 (2008), 19 p.
Copyright 2008 American Institute of Physics. This article may be downloaded for personal use only. Any other use requires prior persmission of the author and the American Institute of Physics. This article appeared in and may be found at Journal of Mathematical Physics
reprint from JMP, math-ph/0603045

In this paper we analyze the notion of morphisms of rings of superfunctions which is the basic concept underlying the definition of supermanifolds as ringed spaces (i.e. following Berezin, Leites, Manin, etc.). We establish a representation formula for all morphisms from the algebra of functions on an ordinary manifolds to the superalgebra of functions on an open subset of \(\mathbb{R}^{p|q}\). We then derive two consequences of this result. The first one is that we can integrate the data associated with a morphism in order to get a (non unique) map defined on an ordinary space (and uniqueness can achieved by restriction to a scheme). The second one is a simple and intuitive recipe to compute pull-back images of a function on a manifold by a map defined on a superspace.
(See also the introduction paper An introduction to supersymmetry text [7]).



[31] (avec R. Dikanaina Harrivel)
First integrals for non linear hyperbolic equations,
pdf, arXiv:0704.2674.

Given a solution of a nonlinear wave equation on the flat space-time (with a real analytic nonlinearity), we relate its Cauchy data at two different times by nonlinear representation formulas in terms of asymptotic series. We first show how to construct formally these series by mean of generating functions based on an algebraic framework inspired by the construction of Fock spaces in quantum field theory. Then we build an analytic setting in which all these constructions really make sense and give rise to convergent series. A presentation
This result extends and simplifies a previous result by D. Harrivel arXiv:math/0410050 (Ann. IHP (C) Analyse non linéaire 23, no.6 (2006), 891-909). These results answer some questions addressed in [25].



[32] (avec Laurent Hauswirth et Frank Pacard)
A note on some overdetermined elliptic problem,
hal-00444828/fr/, Pacific J. Math. 250 (2011), no. 2, 319-334.

We define the notion of an exceptional manifold to be a flat Riemannian manifold with boundary which supports a positive harmonic function satisfying simultaneously a zero Dirichlet condition and a constant (nonzero) Neumann condtion at the boundary. We study the two-dimensional case: we present various examples and give a general construction algorithm of such surface by using complex analysis. We deduce a classification of all such surfaces assuming some further natural hypotheses and prove a Bernstein type theorem.



[33] First integrals for nonlinear dispersive equations,
arXiv:1311.0722.
Transactions of the AMS 368 (2016), 6939-6978

Given a solution of a semilinear dispersive partial differential equation with a real analytic nonlinearity, we relate its Cauchy data at two different times by nonlinear representation formulas in terms of convergent series. These series are constructed by means of generating functions. This generalizes the result in [31]. Moreover improvements are obtained, thanks to a new suitable formulation of the dynamics of solutions of dispersive equations.



[34] (avec Christian Brouder et Nguyen Viet Dang)
A smooth introduction to the wavefront set,
arXiv:1404.1778, J. Phys. A, Math. Theor. 47, No. 44, Article ID 443001, 30 p. (2014)

The wavefront set provides a precise description of the singularities of a distribution. Because of its ability to control the product of distributions, the wavefront set was a key element of recent progress in renormalized quantum field theory in curved spacetime, quantum gravity, the discussion of time machines or quantum energy inequalitites. However, the wavefront set is a somewhat subtle concept whose standard definition is not easy to grasp. This paper is a step by step introduction to the wavefront set, with examples and motivation. Many different definitions and new interpretations of the wavefront set are presented. Some of them involve a Radon transform.



[35] Multisymplectic formulation of Yang-Mills equations and Ehresmann connections,
Advances in Theoretical and Mathematical Physics, Volume 19, Number 4, 805-835, 2015
arXiv:1406.3641.

We present a multisymplectic formulation of the Yang--Mills equations. The connections are represented by normalized equivariant 1-forms on the total space of a principal bundle, with values in a Lie algebra. Within the multisymplectic framework we realize that, under reasonable hypotheses, it is not necessary to assume the equivariance condition a priori, since this condition is a consequence of the dynamical equations.



[36] (avec Christian Brouder et Nguyen Viet Dang)
Boundedness and continuity of the fundamental operations on distributions having a specified wave front set (with a counter example by Semyon Alesker),
arXiv:1409.7662, Studia Mathematica 232 (3) (2016), 201-226.

The pull-back, push-forward and multiplication of smooth functions can be extended to distributions if their wave front set satisfies some conditions. Thus, it is natural to investigate the topological properties of these operations between spaces \(\mathcal{D}'_\Gamma\) of distributions having a wave front set included in a given closed cone \(\Gamma\) of the cotangent space. As discovered by S. Alesker, the pull-back is not continuous for the usual topology on \(\mathcal{D}'_\Gamma\), and the tensor product is not separately continuous. In this paper, the pseudo-topology of \(\mathcal{D}'_\Gamma\) defined by Hörmander is shown to be a bornology and a new topology is defined for which the pull-back and push-forward are continuous, the tensor product, the multiplication and the convolution product of distributions are hypocontinuous.



[37] (avec Dimitri Vey)
Curved space-times by crystallization of liquid fiber bundles,
arXiv:1508.07765
Foundations of Physics, January 2017, Vol. 47, Issue 1, 1-41.

Motivated by the search for a Hamiltonian formulation of Einstein equations of gravity which depends in a minimal way on choices of coordinates, nor on a choice of gauge, we develop a multisymplectic formulation on the total space of the principal bundle of orthonormal frames on the 4-dimensional space-time. This leads quite naturally to a new theory which takes place on 10-dimensional manifolds. The fields are pairs of \(((\alpha,\omega),\varpi)\), where \((\alpha,\omega)\) is a 1-form with coefficients in the Lie algebra of the Poincaré group and \(\varpi\) is an 8-form with coefficients in the dual of this Lie algebra. The dynamical equations derive from a simple variational principle and imply that the 10-dimensional manifold looks locally like the total space of a fiber bundle over a 4-dimensional base manifold. Moreover this base manifold inherits a metric and a connection which are solutions of a system of Einstein--Cartan equations.



 

Autres textes

[1] From cmc surfaces to Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces
(avec Pascal Romon)
Surveys on geometry and integrable systems, 163-187, Adv. Stud. Pure Math., 51, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2008.
postscript, pdf

This text is an introductory survey to some completely integrable systems in differential geometry. Some basics of the representation theory of constant mean curvature surfaces and our new results on Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces (see [18], [21], [23], [29]) are expounded.
This theory has been recently generalized for surfaces in octonions by my PhD student Idrisse Khemar (see math.DG/0511258).



[2] On the soliton-particle dualities
(avec Joseph Kouneiher)
in « Geometries of Nature, Living Systems and Human Cognition », edited by Luciano Boi, World Scientific 2005, p. 93-128.

In some field theories we have the striking feature that we have two different spectra: There is the spectrum of particle-like solitons and the spectrum of the actual particles. From this idea that in certain field theories the two spectra may be inter-related or inter-reliant emerges the particle-soliton duality. This phenomena is surprising and deep and occurs elsewhere in field theory and has had important applications in supersymmetric field theory and in superstring theory. It is similar to, and linked with, the T-duality. In this paper we investigate the foundation and the develoment of this duality.



[3] Dualités, supersymétries et systèmes complètement intégrables
in Vers une nouvelle philosophie de la nature, J. Kouneiher, ed., Actualités mathématiques, physiques et biologiques, Hermann 2010, page 95-115.
Postscript, PDF

This exposition text expounds some points about the soliton-particle duality, which were covered in the previous text [1] in more details. It is focus on simple instances in space-time dimension \(1+1\). The kinks solutions of some nonlinear Klein-Gordon are expounded and interpreted as Bogomolny'i solutions. The supersymmetric interpretation of the Bogomolny'i condition is detailed. These solitons can be interpreted like fermions which behave like the quantum particle of the nonlinear massive Thirring model (a duality discovered by Coleman, Mandelstam and conjectured by Skyrme). The goal is to stress out the interrelation between solitons, integrable systems, supersymmetry and dualities.



[4] Postface : analyse et géométrie
in Géométrie au XXème siècle : histoire et horizons, J. Kouneiher, D. Flament, P. Nabonnand, J.J. Szczeciniarz, éditeurs, Hermann 2005.
Postscript, PDF

This text is an incomplete and subjective review about the role of analysis in geometry in the 20th century. I discuss mainly about the emergence of variational methods and more particularly the Dirichlet principle and its nonlinear analogues. It is interesting to see how the Dirichlet principle evolved from a heuristic method inspired by Physics (as for Riemann and Poincaré) to a powerful and robust tool, after the work of Hilbert. The Plateau problem was also a challenging question: its solution by Douglas and Rado helped to impose for many decades the suprematy of analytical methods on geometrical ones.



[5] Four Lambda stories, an introduction to completely integrable systems
paru dans Partial Differential Equations and Applications, p. 47-118, X.P. Wang, C. Zhong, eds., collection « Séminaires et congrès », Volume 15, SMF 2007.
Postscript, PDF

This is an introduction to completely integrable systems through a list of examples by increasing the number of variables: ordinary differential equations of Toda type like the sin-Gordon equation by using a « Lax equation » formulation and the Adler-Kostant-Symes theory, constant mean curvature surfaces in Euclidean space and the Dorfmeister-Pedit-Wu algorithm based on loop groups decompositions, the KdV equation by using the inverse scattering method, the Grasmannian and the tau function of Sato and lastly the Ward theorem on anti-self-dual Yang-Mills connections in four dimensions, based on the twistor theory of Penrose. The leading thread is the so-called Λ parameter.



[6] (avec John C. Wood) Harmonic maps
Handbook on global analysis,
Postscript, D. Krupka and D. Saunders editors, Elsevier, 2008, P. 417--491. PDF

Harmonic maps are maps between Riemannian manifolds which extremize a natural energy functional or `Dirichlet integral. They include harmonic functions between Euclidean spaces, geodesics, minimal immersions, and harmonic morphisms (maps which preserve Laplace's equation). The Euler--Lagrange equations satisfied by a harmonic map form a semi-linear elliptic system of partial differential equations of second order. We concentrate on the key questions of existence, uniqueness and regularity of harmonic maps between given manifolds. We survey some of the main methods of global analysis for answering these questions, together with the approach using twistor theory and integrable systems.



[7] An introduction to supermanifolds and supersymmetry
in Systèmes intégrables et théorie des champs quantiques, P. Baird, F. Hélein, J. Kouneiher, F. Pedit, V. Roubtsov, eds, collection Travaux en Cours (Physique-Mathématiques), Hermann 2009, p.103--157.
Postscript, PDF

We give an introduction to some mathematical aspects of supersymmetry. We follow one of the two main approaches, i.e. the one which is inspired by algebraic geometry and consists in defining a supermanifold through its superalgebra (or sheaf of superalgebras) of functions. We start with a quick and slightly naive version of it and then use this framework to analyze a first example (the superparticle). Then we expound some of the inconsistencies which follow from a too naive approach and are led naturally to the introduction of infinitely many odd variables. This way the theory is connected with the alternative approach to supermanifolds by DeWitt and Rogers. This presentation uses and completes the results proved in the paper [30]. We also give examples of BPS solutions as discussed in the the text [3]. The last section is devoted to a presentation of the super Minkowski spaces and the super Poincaré groups in space-time dimensions 3, 4, 6 and 10. They all can be constructed starting from the group \(SL(2,\mathbb{K})\), where \(\mathbb{K}\) is respectively \(\mathbb{R}\) (the real numbers), \(\mathbb{C}\) (the complex), \(\mathbb{H}\) (the quaternions) or \(\mathbb{O}\) (the octonions).



[8] Manifolds obtained by soldering together points, lines, etc.
in Geometry, topology, quantum field theory and cosmology, C. Barbachoux, J. Kouneiher, F. Hélein, eds, collection Travaux en Cours (Physique-Mathématiques), Hermann 2009, p. 23--43.
arXiv:0904.4616

This text is the extended version of a talk given at the conference Geometry, Topology, QFT and Cosmology hold from May 28 to May 30, 2008 at the Observatoire de Paris.
We explore the notion of solder (or soldering form) in differential geometry and propose an alternative interpretation of it, motivated by the search of an accurate mathematical description of the General Relativity. This new interpretation leads naturally to imagine a rich family of new geometries which has not yet a satisfactory definition in general. We try however to communicate to the reader an intuition of such geometries through some examples and review quickly some possible applications in physics.
Note: Analogues of isometric embeddings for these geometries have been obtained by Nabil Kahouadji, see e.g. arXiv:1304.5605 and applications to the stress-energy tensor of General Relativity in arXiv:1304.5606.

[9] Multisymplectic formalism and the covariant phase space
in Variational Problems in Differential Geometry, Roger Bielawski, Kevin Houston, Martin Speight, eds, London Mathematical Society Lecture Note Series 394, Cambridge University Press, 2012, p. 94-126.
arXiv:1106.2086

The formulation of a relativistic dynamical problem as a system of Hamilton equations by respecting the principles of Relativity is a delicate task, because in their classical form the Hamilton equations require the use of a time coordinate, which of course contradicts the Relativity. Two interesting solutions have been proposed during the last century: the covariant phase space and the multisymplectic formalism. These two approaches were inspired at the beginning by different points of view. However, as shown by works by Kijowski-Szczyrba, Forger-Romero and Vitagliano, a synthetic vision of the two theories leads probably to the most satisfactory answer to the basic question of understanding the Hamiltonian structure of relativistic fields theory.


 

Quelques vidéos

Les bulles sont-elles toutes rondes ? (30 minutes), Premier juin 2010, Ecole Normale Supérieure.

Les problèmatiques de l'édition scientifique (5 minutes), 3 octobre 2016, Centre Henri Lebesgue, Université de Rennes.

From the Calculus of Variations to the Multisymplectic Formalism (1 heure 14 minutes), 30 août 2017, CIRM Luminy.





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