4M001
4M001 Géométrie affine et projective 2016-17
En ce qui concerne la géométrie affine et projective, le contenu du cours sera à peu près le même qu'en 2015-16. Un thème nouveau sera l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel V de dimension n, et l'on essaiera d'aller jusqu'à l'introduction de la grassmannienne Grd(V) des d-plans dans V (une généralisation de l'espace projectif). Afin de dégager du temps pour cela, on laissera sans doute de côté les polytopes convexes réguliers de dimension 3. Un polycopié sera mis en ligne au fur et à mesure. Les informations sur le déroulement du cours 2015-16 restent accessibles plus bas.
POLYCOPIÉ 2016-17:
Chap. 1 version révisée du 4/10/16: une coquille corrigée dans 7.2 et phrase avant 7.1 supprimée: les thm. de Pappus et Desargues sont au programme de l'examen.
Chap. 2 version du 4/10/16: R,Q,P renommés A1, B1, C1 dans le th. de Desargues 14.3. Celui-ci, ainsi que le th. de Pappus, a été traité en cours après la dualité projective du chap.3.
Chap. 3 version du 4/10/16 avec un erratum ajouté: les thm. de Pappus et Desargues sont au programme de l'examen.
Chap. 4 version du 18/10/16: détails ajoutés au sujet des divisions harmoniques et équianharmoniques.
Chap. 5 version du 26/10/16.
Chap. 6 version du 16/11/16.
Chap. 7 version du 2/12/16.
Partiel du 7/11/16 et son Corrigé du 7/11/16
Examen du 15/12/16 et son Corrigé du 15/12/16
AVANCEMENT DU COURS. Attention il y aura cours en salle 15-25 101 le MERCREDI 26/10 8h30-10h30 et le mardi 8/11 8h30-10h30 pour rattraper le cours supprimé le 13/10 et tenir compte de l'Atrium des Métiers le 8/11 à partir de 10h45.
Cours 1 (mar. 6/9/16): de 1.1 à 1.6 (sauf 1.4). Puis 3.1 à 3.3 et section 2.
Cours 2 (jeu. 8/9/16): 3.5 à 4.7, puis 5.1 à 5.5
Cours 3 lun. 12/9/16 en remplacement du TD: Fin du chap.1: 5.6 puis 4.8 à 4.15, puis section 6.
Cours 4-6 (13, 15 et 20 sept. 2016): Chap.2: sections 8-10, puis 11 jusque 11.14 inclus.
Cours 7 (jeu. 22/9/16): sections 12 et 13.
mar. 27/9/16: pas de cours mais TD!
Cours 8 (jeu. 29/9/16): Début du Chap.3: Dualité projective puis th. de Céva comme conséquence du th. de Ménélaüs.
Cours 9 (mar. 4/10/16): Retour sur le TH 16.1: le th. de Céva se déduit par dualité projective du th. de Ménélaüs, et réciproquement. Puis démonstration du th. de Desargues affine (chap.1, th.7.2) et de sa version projective (chap.2, th.14.3, avec l'hypothèse simplificatrice c)). Les détails affreux (gory details) des cas dégénérés considérés au chap.3, th.17.2 ne seront pas traités en cours mais les lecteurs intéressés sont invités à les étudier.
Cours 10 (jeu. 6/10/16): Fin du Chap.3: retour sur le th. de Desargues, puis th. de Pappus et son dual. Début du chapitre 4 sur sur le birapport: 18.1 à 18.8.
Cours 11 (mar. 11/10/16): suite du Chap.4: 18.9 à 18.16.
Pas de cours le 13/10/16 en raison de l'OIP.
Cours 12 (mar. 18/10/16): suite du Chap.4: 18.17 à 19.1.
Cours 13 (jeu. 20/10/16): Fin du Chap.4 (19.2 à 20.1) puis début du Chap.5: "rappels" sur les formes quadratiques 21.1 à 21.13, puis définition des quadriques (et coniques) projectives (22.1 à 22.6), étude de l'important exemple 22.7.
Cours 14 (mar. 25/10/16): suite du Chap.5: fin des "rappels" 21.14 à 21.16. Puis section 22 jusqu'au th. de Pascal 22.14.
Cours 15 (MERCREDI 26/10/16): suite du Chap.5: 22.15 classification des coniques projectives (et affines) réelles. Puis résultats sur les plans hyperboliques (22.16 à 22.18). Puis, début de la section 23: définition 23.7 des points lisses et hyperplans tangents à une hypersurface algébrique de kn (en supposant connus 23.1 à 23.5). Puis application au cas d'un cône isotrope C(Q): début de la Prop. 23.13.
Cours 16 (jeu. 27/11/16): suite du Chap.5: fin de la section 23 (23.10-11 et 23.17), puis début de la section 24: définition de la forme quadratique Q* et lemme 24.2.
Pas de cours le 1er nov. (férié)
Cours 17 (jeu. 3/11/16): Fin de la section 24: Polarité et th. de Brianchon.
Cours 18 (mar. 8/11/16 8h30) Attention: horaire et salle inhabituels!: Section 25: Th. de Bézout lorsque l'une des courbes est une droite ou une conique (sous l'hypothèse car(k) différente de 2, omise dans le poly).
Cours 19 (jeu. 10/11/16): Début du Chap.6: puissances extérieures et grassmanniennes: 26.1 à 26.16.
Cours 20 (mar. 15/11/16): suite du Chap.6: 26.17-18 puis 27.1 à 27.7.
Cours 21 (jeu. 17/11/16): Fin du Chap.6: explicitation des équations quadratiques 27.7 puis cas de la grassmannienne des 2-plans (27.8-9). Puis début du Chap.7: section 28 Produit tensoriel.
Cours 22 (mar. 22/11/16): Suite du Chap.7: Algèbres tensorielle et extérieure: section 29 puis section 30 jusque 30.5.
Cours 23 (jeu. 24/11/16): Suite de la section 30: pour V de dimension finie, isomorphisme entre la puissance extérieure p-ième de V* et le dual de la puissance extérieure p-ième de V. Puis début de la section 32: Algèbre symétrique (cette section ne figure pas dans le polycopié du 2/12/16).
Cours 24 (mar. 29/11/16): Fin du Chap.7: retour sur l'application de Sp(V*) vers Sp(V)* puis section 31: identification du produit des espaces projectifs Pq-1(k) et Pp-1(k) à l'image dans P(Mp,q(k)) des matrices de rang 1, qui est la sous-variété définie par l'annulation de tous les mineurs de taille 2.
4M001 Géométrie affine et projective 2015-16 Ce titre me semble plus approprié et j'essaierai d'en faire le titre officiel à partir de l'an prochain.
Le contenu du cours sera à peu près le même qu'en 2014-15, mais l'ordre de présentation sera modifié et l'on insistera plus sur certains points et moins sur d'autres. Un polycopié sera mis en ligne au fur et à mesure. Les informations sur le déroulement du cours 2014-15 restent accessibles plus bas.
Remarque. Il n'y a pas eu cours le mardi 29/9. Ce cours a été rattrapé par anticipation le mardi 8/9 de 14h à 16h.
Il y aura deux partiels pendant les créneaux de TD: mardi 20 octobre et jeudi 19 novembre.
Programme du 1er partiel: Chapitres 1 et 2.
Programme du 2ème partiel: Chapitres 3 à 5.
Sujet du 19/11/15 et son Corrigé du 19/11/15
Examen du 17/12/15 et son Corrigé du 17/12/15
Examen 2e session du 20/5/16 et son Corrigé du 20/5/16
POLYCOPIÉ 2015-16:
Chap. 1 version du 16/9/15 (Modifs du 8/9: ajout des prérequis et correction de coquilles dans 2.4 et 2.6 et d'une erreur dans la preuve du Th. de Cauchy, signalées par Alex Panetta. Merci à lui! Modifs du 9/9: correction de 3 coquilles, bas de p.8. Modifs du 16/9: correction de (iii) du Th. de Thalès.)
Chap. 2 version du 6/10/15 (Modifs du 2/10: détails ajoutés au début de la preuve de 10.8. Modifs du 6/10: terminologie étoile d'un sommet ajoutée dans 11.6(ii). Preuve de 11.6 raccourcie en utilisant les égalités n = mf = sk. Une 2ème preuve de 11.10 ajoutée.)
Chap. 3 version du 9/10/15
Chap. 4 version du 27/10/15 (Modifs du 27/10: coquilles corrigées dans les preuves de 18.5, 18.10 et 18.15, + un ajout dans 18.12.)
Chap. 5 version du 6/11/15
Chap. 6 version du 22/11/15
AVANCEMENT DU COURS.
Cours 1, 2 (mar. 8/9): section 1 sauf produits semi-directs. Cours 3 (mer. 9/9): section 2 et 3.1 à 3.4.
Cours 4 (mar. 15/9): 3.6 à 4.12. Cours 5 (mer. 16/9): Th. de Thalès, puis sections 5 et 6.
Cours 6 (mar. 22/9): section 8 jusque 8.13 inclus (en omettant 8.9). Cours 7 (mer. 23/9): Th. de Hahn-Banach: 8.14 à 8.22 inclus.
Cours 8 (mer. 30/9): La projection sur un convexe fermé (Th. 9.2) n'a pas été traitée; elle le sera en TD.
On a introduit les points extrémaux et sommets (10.1-2), prouvé le Th. de Krein-Milman (10.3), défini les polytopes (10.4) et considéré la structure faciale du cube.
Pour un polytope arbitraire P de dimension 3, on a défini ses faces, arêtes et sommets (10.6) puis prouvé 10.7, 10.8 et 10.11, en énonçant sans démonstration 10.9 et 10.10. Ceci donne la structure faciale de P.
Enfin, on a défini les drapeaux de P et prouvé que le groupe Is(P) agit librement sur l'ensemble Drap(P) des drapeaux de P (ceci est le point (i) du lemme 11.5).
Cours 9 (mar. 6/10): Section 11 (polytopes réguliers) jusque 11.7 inclus.
Cours 10 (mer. 7/10): en sautant 11.9-10, on a construit 3 polytopes réguliers: tétraèdre, cube et octaèdre, et déterminé dans chaque cas leur groupe d'isométries. De plus, on a utilisé la construction 11.25 pour construire un polytope I à 12 sommets dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Il reste à montrer que l'action des isométries est transitive sur les drapeaux.
Cours 11 (mar. 13/10): En utilisant 11.21 et 11.19, on a montré que l'icosaèdre I construit la fois précédente est un polytope de type IER (11.22). Pour un tel polytope P, on a démontré la proposition-clé 11.13 qui permet d'exhiber de nombreux éléments de Is(P). En utilisant le fait qu'on peut numéroter de 1 à 12 les faces de I de sorte que les faces i et i+1 soient adjacentes (c'est un fait général, cf. 10.15), on a montré que Is(I) agit transitivement sur Drap(I). (Cette démo ne figure pas dans le poly mais se trouve dans le livre de R. Goblot cité dans les réfs.) Ceci achève de prouver que I est un polytope régulier (à 12 sommets, 20 faces et 30 arêtes). En prenant comme sommets les centres des faces de I, on obtient le dodécaèdre D. Alors I et D ont le même groupe d'isométries, qu'on notera G. Il est de cardinal 120. Enfin, on a montré (cf. 11.16) que D contient 5 cubes et qui sont permutés par G. Ceci définit un morphisme de G vers le groupe symétrique S5, dont le noyau K est formé de id et -id (cf. 11.16); on en déduit (cf. 11.17) que G est le produit de K et du groupe alterné A5. FIN du chap. 2 !
Puis on a commencé le chap. 3 et construit le plongement vectoriel canonique d'un espace affine (Th. 3.2).
Cours 12 (mer. 14/10): Propositions 13.4 et 14.2 (coord. barycentriques) puis Th. 14.3. Applications: Th. de Menelaus (14.4) et de Ceva (14.5). Définition de l'espace projectif P(V) (16.1) puis deux exemples fondamentaux: le complété projectif d'une droite affine (parag. 15.1) et d'un plan affine (parag. 15.2).
Cours 13 (mar. 20/10): Suite du chap. 3: 16.1 à 16.15. On a évoqué la difficulté expliquée en 16.16-17, à savoir que la "vraie" direction de U est un produit tensoriel. Pour le moment, on peut laisser cette difficulté de côté. Par ailleurs, dans la rédaction actuelle, le point (ii) de 16.13 est exact mais peu pertinent et sera modifié plus tard pour mieux rendre compte de cette difficulté.
Cours 14 (mer. 21/10): Fin du chap. 3: 16.18 puis théorèmes de Pappus et Desargues affines, tirés du chap.1, puis leurs versions projectives (17.1 à 17.3). FIN du chap. 3 !
Cours 15 (mar. 27/10): Début du chap. 4: 18.1 à 18.17.
Cours 16 (mer. 28/10): Fin de la section 18: divisions harmoniques ou équianharmoniques. Puis début de la section 19: de 19.1 à l'énoncé de 19.11 (thm. du (n+1)-rapport).
Cours 17 (mer. 3/11): Fin de la section 19: démonstration de 19.11, puis corollaire 19.12 puis retour rapide sur le birapport (19.14-15). FIN du chap. 4 ! Puis début du chap. 5: dualité entre l'espace projectif de V et celui du dual V*.
Cours 18 (mer. 4/11): Suite de la dualité projective: notion de pinceau d'hyperplans = pinceau de droites concourantes si l'on est dans un plan projectif, ce qu'on suppose désormais. Puis équivalence entre "points alignés" et "droites concourantes" dans l'espace projectif dual. Notion de configuration duales, exemples des triangles, quadrilatères complets et quadrangles complets. Puis dualisation d'un énoncé: th. de Pappus dual et auto-dualité du th. de Desargues. Puis définition du birapport de quatre droites concourantes du plan.
Cours 19 (mar. 10/11): Retour sur le birapport de quatre droites concourantes du plan. FIN du chap. 5 ! Puis début du chap. 6: points lisses d'une hypersurface et hyperplans tangents, dans le cas affine puis projectif; cas des cônes isotropes et quadriques projectives ( 24.1 à 24.5 puis 25.1 à 25.13, en sautant 25.8, 25.11 et 25.12).
Cours 20 (mar. 17/11): Lien entre les notions d'hyperplans tangents dans le cas affine et projectif: Prop. 25.11. Puis énoncé et démonstration du Th. 24.12 et du Th. de Pascal 24.15, en se limitant au cas non dégénéré. Enfin, étude de l'intersection d'une quadrique et d'une droite projective (24.7 et 24.8).
Cours 21 (mer. 18/11): Polarité et théorème de Brianchon (26.1 à 26.5)
Cours 22 (mar. 24/11): (prévisions) Prop. 26.6 puis 24.15 à 24.21. FIN du chap. 6 ! La suite du cours n'est pas au programme de l'examen.
Cours 23 (mardi 24 à 13h45 ): (échange d'horaire avec le TD!) Présentation de l'espace des sphères, hyperplans et points, en vue de l'exposé de Frédéric Jean (ENSTA) le mercredi 2/12.
Cours 24 (mar. 1/12): Suite du cours précédent.
Cours supplémentaire (mer. 2/12): Exposé de Frédéric Jean (professeur à l'ENSTA) sur son article avec Ch. Arber: "La mécanique des sphères de Lie: un futur pour la CAO?", dans le fascicule "Journée annuelle de la Soc. Math. France 2015".
Notes sur l'espace des sphères
4M001 Algèbre géométrique 2014-2015
Examen du 18/12/2014 Examen et son corrigé: Corrigé de l'examen
Polycopié semaine 1 (cours du 9 et 10 sept. 2014): Semaine 1
Polycopié semaine 2 (cours du 16 et 17 sept. 2014): Semaine 2 (version du 18/9 avec cinq coquilles corrigées)
Polycopié semaine 3 (cours du 23 et 24 sept. 2014): Semaine 3 Version du 4/11 (Corrections signalées le 4/11 par Rémi Clarisse: dans 9.7 a) et b) les indices 2 et 3 doivent être 1 et 2, et idem dans la démo.)
Les sections 7 et 8 ainsi que les sous-sections 9.1 et 9.2 (Thalès et Pappus) ont été faites en cours le 23 et 24 sept.
Polycopié semaine 4 (cours du 30 sept et 1er oct. 2014): Semaine 4 (version du 2/10: on a ajouté: (1) l'action de GL(V) sur les familles libres de vecteurs (Prop. 10.10 + Cor. 10.11), (2) les nos. 10.17 à 10.20 (sur 3 bijections), qui peuvent être omis en 1ère lecture, (3) deux démonstrations du théorème du (n+1)-rapport, qui est devenu le Th. 10.22 (4) un no. 10.5 sur le birapport usuel. )
Le 30/9 on a fait le th. de Desargues (no. 9.3 de la sem.3), le no. 10.1 et le début du no. 10.2.
Le 1/10 on a fini 10.2 et traité entièrement 10.3 et 10.4 (en allant vite sur la démo du Th. 10.22).
Polycopié semaines 5 et 6 (cours du 7, 8, 14 et 15 oct. 2014): Semaines 5-6 (version du 21/10: correction de coquilles signalées par Alex Panetta dans les énoncés 11.26-27: dans certains birapports la permutation des pi avait été omise, et le dernier birapport est lambda/lambda-1)
Les 7 et 8 oct. on a traité les parag. 10.6, 10.7, 11.1--3 et 11.6 (le début).
Le 14 oct. on a traité le parag. 11.6, sauf la Prop. 11.21 et le point (iv) du Th. 11.24. On a commencé le parag. 11.7 en traitant 11.26 et 11.27.
Le 15 oct. on a traité les produits semi-directs (Déf. 11.10) et terminé le parag. 11.7. On a continué les produits semi-directs avec la Prop. 11.11 et le Th. 11.9. Le parag. 11.5 (homologies et élations) ne sera pas traité en cours.
Le 17 oct. séance supplémentaire (pour rattraper par avance le cours du mardi 11/11). On a fini le poly des semaines 5-6 en traitant la Prop. 11.21 et le point (iv) du Th. 11.24. Puis l'on a commencé un nouveau chapitre: dualité entre l'espace projectif de V et celui de V*.
Polycopié des semaines 1 à 6 (avec index): Partie I: semaines 1-6 (version du 21/10 avec les corrections sus-mentionnées dans 11.26-27. Par contre, les corrections dans 9.7 n'ont pas été faites.)
Polycopié semaine 7 (cours du 21 et 22 oct. 2014): Semaine 7 (version du 4/11: 3 corrections signalées par Rémi Clarisse: en particulier dans 13.11 la tangente a pour équations 2(x-1) = 0 et (z-1) + (u-1) = 0, c.-à-d. 2x = 2 = z + u.)
Le 21 oct. on est revenu sur la définition de la dualité projective et la notion de pinceau (ou faisceau) d'hyperplans, puis l'on a démontré l'autodualité du th. de Desargues (en complétant la démonstration de la semaine 3, qui avait omis un cas "dégénéré".
Le 22 oct. on a traité le dual du théorème de Pappus projectif, puis le birapport de 4 éléments distincts d'un pinceau d'hyperplans. Puis on a introduit les notions d'hypersurface algébrique de l'espace projectif, de point lisse et d'hyperplan tangent (Déf. 13.12).
Polycopié semaines 8 et 9 (cours du 28, 29 et 31 oct. 2014): Semaines 8-9 (version du 4/11: 2 corrections signalées par Rémi Clarisse: en particulier dans 14.30, v est isotrope mais pas dans N(Q).).
Le 28/10 on est revenu sur la fin du Chap. 7: on a introduit les notions d'hypersurface algébrique de l'espace affine kn, de point lisse et d'hyperplan tangent, puis montré que ces notions ne dépendant pas du choix des coordonnées affines (13.9 à 13.11). Puis on est revenu sur les définitions dans le cas projectif et reliées celles-ci on cas affine (Prop. 13.13) et l'on en a déduit l'indépendance, dans le cas projectif, du choix des coordonnées homogènes (Cor. 13.14).
Le 29/10 on a traité la section 14 = rappels sur les formes quadratiques. Le 31/10 on a commencé l'étude des coniques projectives et traité les énoncés 15.1 à 15.7, en utilisant certains des résultats ajoutés dans les nouveaux paragraphes 14.3 et 14.4.
Le 4/11 on démontrera le théorème de Pascal puis son énoncé "dual", le théorème de Brianchon.
Polycopié des semaines 7 à 9 (avec index): Partie II: semaines 7-9 (version du 4/11 avec les corrections sus-mentionnées)
Polycopié semaine 10 (cours du 5 et 12 nov. 2014): Semaine 10 (version du 12/11)
Le 5/11 on a commencé l'étude des coniques d'un plan réel euclidien, en commençant par la définition comme sections C d'un cône de révolution R par un plan P ne contenant pas l'axe du cône. En vue du théorème de Dandelin, on a introduit les sphères S tangentes à R et à P (il y en a 1 ou 2). Fixant une telle sphère S, notons F son point de contact avec le plan P. Si P est orthogonal à l'axe du cône alors C est un cercle de P dont le centre est F. Sinon, le plan P' contenant le cercle de contact de R et S coupe P selon une droite D, et l'on a montré que C est l'ensemble des points M de P telle que la distance MF soit égale à e fois la distance de M à D, où e est un réel strictement positif, égal au quotient de sin(a) par cos(b), où a désigne l'angle entre les plans P et P' et b le demi-angle d'ouverture du cône R. Ceci conduit à la définition d'une conique C du plan P par la donnée d'un couple (directrice,foyer) = (D,F) et excentricité = e. On a commencé à écrire l'équation qui en résulte, et montré que si e = 1 on obtient une parabole y2 = 2px, et que, revenant au cône de révolution R, ceci correspond au cas où le plan P est parallèle à une génératrice du cône, c.-à-d. où le plan P0 parallèle à P passant par le sommet du cône contient une génératrice. Lorsque l'excentricité e est différente de 1, on a calculé deux "sommets" de la conique = ses points d'intersection avec la droite orthogonale à D passant par F.
Le 12 nov. on a traité les cas où l'excentricité est < 1 (ellipses) ou > 1 (hyperboles), puis l'on a donné la définition bifocale des ellipses et des hyperboles. Puis on a énoncé le théorème de Dandelin. Finalement, on a commencé le calcul (Th. 17.8) qui montre que toute équation en x,y de degré 2 définit une conique.
Polycopié semaines 11 et 12 (cours du 18, 25 et 26 nov. 2014): Semaines 11-12 (version du 30/11: on a corrigé une erreur au début du parag. 19.2 et détaillé la construction des cinq polyèdres réguliers et la description de leurs groupes d'isométries.)
Le 18 nov. on a fini le calcul précité, puis on a commencé le chapitre sur la convexité. On a défini les parties convexes d'un espace affine (euclidien) E, donné des exemples, et montré qu'elles sont stables par combinaisons barycentriques à coefficients positifs. Puis on a défini l'enveloppe convexe d'une partie X de E. Enfin, on a fait des rappels de topologie pour pouvoir parler d'ouverts et de fermés, de l'adhérence, de l'intérieur et de la frontière d'une partie (convexe) A de E.
Le 25 nov., on a introduit les demi-espaces (18.8) puis l'on est passé directement à la notion de polyèdres convexes (18.21-22), en se concentrant sur ceux qui sont compacts (i.e. fermés et bornés): on a défini et classifié les polygones réguliers du plan et montré qu'ils sont caractérisés par le fait que leur groupe d'isométrie agit transitivement sur l'ensemble des drapeaux (19.5). On a pris ceci comme définition d'un polyèdre (convexe compact) régulier de dimension 3 et l'on a commencé à tirer des conséquences de cette définition: Lemme 19.7 et Prop. 19.8 (i).
Le 26 nov. (dernier cours) on a fini de démontrer 19.8 et l'on a terminé en montrant que pour les lignes 1 à 3 du tableau 19.8 (iv), il existe un polyèdre régulier: le tétraèdre, le cube et l'octaèdre, et l'on a décrit leur groupes d'isométries. Pour le dodécaèdre et l'icosaèdre, on s'est contenté d'exhiber des modèles construits par Dominique Bernardi (merci à lui!) et d'indiquer que le groupe des isométries est le produit direct du groupe à deux éléments (identité, -identité) et du groupe alterné A5. Comme corollaire de la démonstration, on a obtenu la formule d'Euler F - A + S = 2. (Elle est en fait valable pour tout polyèdre convexe compact, pas nécessairement régulier.) On n'a pas eu le temps de montrer que chacun des cinq polyèdres réguliers est unique à similitude près. Mais ceci est inclus dans le polycopié, de même que la construction explicite du dodécaèdre.
Polycopié des semaines 10 à 12 (avec index): Partie III: semaines 10-12 (version du 1/12)