Cours de Logique mathématique

Cette page décrit l'avancement d'un projet de Cours de Logique mathématique, fondé sur les leçons données à l'UPMC (maintenant Sorbonne Université) puis à l'ÉNS. Des liens avec la théorie des ensembles sont mentionnés.
Niveau : master de mathématiques pures.

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État des différents chapitres

Cinq chapitres de cours (passage obligé, le dernier porte sur «la théorie des ensembles») ; y répondent cinq chapitres de compléments. Attention, grande instabilité de la numérotation des sections.
Chapitre I
Prérequis de mathématiques. §1 équipotence ; §2 relations d'ordres ; §3 ordinaux ; §4 espaces profinis ; §5 anneaux de Boole et dualité de Stone.
État final (2024-11-21). Màj mineure le 2025-07-09. Màj mineure le 2025-10-04. Màj mineure le 2026-02-28.
Chapitre II
Éléments de logique. §6 satisfaction en logique élémentaire ; §7 autres logiques ; §8 théories et modèles ; §9 va-et-vient ; §10 ultraproduits ; §11 compacité et phénomènes non standard.
État final (2025-01-11). Màj mineure le 2025-07-09. Màj mineure le 2025-10-04. Màj mineure le 2026-02-28.
Chapitre III
Théorie des modèles. §12 catégories de modèles ; §13 phénomènes de Löwenheim-Skolem ; §14 définissabilité et interprétabilité ; §15 espaces de types et élimination des quantificateurs ; §16 omega-saturation et applications.
État final (2025-07-09). Màj mineure le 2025-10-04. Màj mineure le 2026-02-28.
Chapitre IV
Complétude, incomplétude. §17 déductions ; §18 adéquation (1) ; §19 adéquation (2) ; §20 la structure (N ; +, ⋅) ; §21 incomplétude (variations en mode crétois) ; §22 logique d'ordre supérieur.
Version du 2026-02-28. À faire : relecture finale.
Chapitre V
Une axiomatique pour l'appartenance. §23 axiomes et pouvoir expressif ; §24 ordinaux ; §24 cardinaux et axiome du choix ; §26 arithmétique cardinale ; §27 axiome de fondation et hiérarchie cumulative ; §28 ensembles héréditairement définissables par ordinaux ; §29 la hiérarchie constructible.
Version du 2026-02-28. À faire : relecture finale.
Compléments au chapitre I
§A notions de nombres : réels ; §B théorème de division cardinale de Lindenbaum ; §C théorème de Banach-Tarski ; §D ultrafiltres en topologie ; §E algèbre topologique.
État final (2024-11-21). Màj mineure le 2025-07-09. Màj mineure le 2025-10-04. Màj mineure le 2026-02-28.
Compléments au chapitre II
§F axiomatisations logiquement indépendantes ; §G théorème de Feferman-Vaught ; §H théorème d'Arrow ; §I logique algébrique ; §J théorème de Lindström.
État final (2025-01-11). Màj mineure le 2025-07-09. Màj mineure le 2025-10-04. Màj mineure le 2026-02-28.
Compléments au chapitre III
§K corps algébriquement clos ; §L corps réels clos et géométrie euclidienne ; §M le groupe d'automorphismes ; §N extensions finales ; §O amalgames de Fraïssé.
État final (2025-07-09). Màj mineure le 2025-10-04. Màj mineure le 2026-02-28.
Compléments au chapitre IV
§P logique intuitionniste ; §Q logique modale ; §R sémantiques topologiques ; §S logique de la preuve ; §T calcul des séquents.
À créer.
Compléments au chapitre V
§U incomplétude dans le cadre ensembliste ; §V théories d'ensembles et de classes ; §W HCG implique AC ; §X notions de nombres : surréels.
Version du 2026-02-28. À faire : relecture finale.
Sujets d'étude
SÉ1 | SÉ2 | SÉ5
Chronologie sommaire
Mauvaise foi exigée.
Lexique sommaire
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