Théorie descriptive des ensembles

 En théorie descriptive des ensembles classique, on s’intéresse aux ensembles apparaissant naturellement dans divers domaines des mathématiques, notamment l’analyse fonctionnelle, l’analyse harmonique, les systèmes dynamiques ou encore la théorie des groupes. Un des objectifs est d’étudier leur complexité topologique. Par exemple, on peut classifier les sous-ensembles boréliens des réels selon le nombre d'étapes qui sont nécessaires pour les obtenir à partir d’ensembles ouverts en effectuant des unions dénombrables et des passages au complémentaire.

 Le cadre général est celui des espaces topologiques polonais, où le théorème de Baire est un outil puissant. On s’intéressera d'abord aux sous-ensembles boréliens des espaces polonais, dont on verra qu’ils sont naturellement hiérarchisés par les ordinaux dénombrables. Ensuite viennent les images via une application borélienne de boréliens (ensembles analytiques) et leurs complémentaires (ensembles co-analytiques). On verra notamment une méthode permettant de montrer qu’un ensemble est co-analytique mais non borélien.

 Le cours se terminera par une introduction à la théorie descriptive effective des ensembles et à ses applications. Un de ses outils très puissants est la topologie de Gandy-Harrington, et nous établirons ses propriétés permettant son utilisation dans la preuve de nombreux résultats de dichotomie. Nous détaillerons trois exemples, les dichotomies d’Hurewicz, Silver et Kechris-Solecki-Todorcevic. Nous énoncerons d’autres exemples plus récents, en détaillant suivant le temps disponible.