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Projet de livre sur les courbes analytiques

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Cours dispensés en 2017-2018 : Suites, intégrales et algèbre linéaire (L1, second semestre) ; Théorie de l'intersection (M2, cours fondamental de niveau 2) ; Groupes finis et représentations (M1, second semestre) ; Groupes de permutations et d'isométries (L2, premier semestre).



Licence 1, second semestre : Suites et intégrales, algèbre linéaire

Je suivrai ce polycopié (rédigé par Antonin Guilloux). J'indiquerai sur cette page le déroulement détaillé du cours ce qui a été fait à chaque séance et ce qui est exigible pour les interrogations de cours en TD.

Modalités de contrôle

La note finale sera sur 100 (avec possibilité de passer un examen de rattrapage si elle est <50). Elle sera elle-même obtenue à partir de 3 notes :


Déroulement du cours



Master 2, cours fondamental de niveau 2 : Théorie de l'intersection

Le cours suivra pour l'essentiel le livre Intersection theory de William Fulton. L'objectif est de traiter au minimum l'essentiel des chapitres 1 à 6 (qui établissent les fondements de la théorie de l'intersection, jusqu'à la construction du produit de deux classes de cycles sur une variété propre et lisse). Si le temps le permet, nous aborderons ensuite le théorème de Riemann-Roch (chapitre 15). J'indiquerai ici au fur et à mesure ce qui aura été traité en cours.

Ce cours supposera connues les bases de la théorie des schémas. Références possibles : Algebraic geometry de R. Hartshorne, Algebraic Geometry and arithmetic curves de Liu, ou bien cette version un peu étoffée de mon polycopié de cours de M2 de géométrie algébrique. Mais on peut aussi bien entendu se référer directement aux EGA ou au Stacks Project (qui est dans le même esprit, mais spécifiquement conçu pour le web et donc plus convivial).



Déroulement du cours (les références se rapportent au livre de Fulton)

  • Les 15 et 16 janvier. Résultats d'algèbre commutative, pour partie sans démonstrations : dimension des anneaux locaux noethériens et des algèbres de type fini sur un corps, anneaux locaux réguliers, idéaux premiers associés à un module de type fini sur un anneau noethérien, modules de longeur finie et anneaux artiniens. Diviseurs de zéro, anneau total des fractions et sa variante faisceautique ; l'essentiel des sections A2 et A3 du Fulton.
    Notion de diviseur de Cartier, diviseur de Cartier effectif, fibrés en droites, sections rationnelles inversibles d'un tel fibré ; isomorphisme entre le groupe des diviseurs de Cartier sur un schéma et celui des classes d'isomorphismes de couples (L,s) où L est un fibré en droites et s une section rationnelle inversible de L. Groupes de cycles d'un k-schéma de type fini, cas particuliers des diviseurs de Weil. Cycle d'un sous-schéma fermé, diviseur de Weil associé à un diviseur de Cartier. Équivalence rationnelle sur les cycles.

  • Les 22 et 23 janvier. Liens entre principalité d'un diviseur de Cartier D, trivialité du fibré en droites associé O(D), et nullité du diviseur de Weil [D] modulo l'équivalence rationnelle (les deux premières propriétés sont équivalentes, impliquent la troisième et lui sont équivalentes si le schéma ambiant est normal). Calcul explicite du groupe des zéro-cycles de la droite projective, modulo équivalence rationnelle. Image directe d'un cycle par un morphisme propre, compatibilité à l'équivalence rationnelle. Description de l'équivalence rationnelle à l'aide de sous-variétés du produit de la variété ambiante par la droite projective (prop. 1.6). Image inverse d'un cycle par un morphisme plat (de dimension relative constante), «commutation» des images directes et inverses dans le cas d'un diagramme cartésien avec une flèche propre et une flèche plate (prop. 1.7 ). Compatibilité de l'image inverse des cycles à l'équivalence rationnelle. Suite exacte des classes de cycles associée une immersion fermée et à l'immersion ouverte complémentaire. Notion de pseudo-diviseur. Intersection d'un pseudo-diviseur avec une classe de cycle, propriétés de base (prop. 2.3). Énoncé et début de la preuve de la commutativité de l'intersection quand elle met en jeu deux diviseurs de Cartier (th. 2.4), avec au passage quelques brefs rappels sur les éclatements.

  • Les 29 et 30 janvier. Fibrés vectoriels et projectifs. Classes de Segré puis classes de Chern d'un fibré vectoriel. Multiplicativité du polynôme de Chern, formule explicite pour celui-ci dans le cas scindé, polynôme annulateur de c_1(O(1)) sur le fibré P(E). Si E est un fibré vectoriel, c_1(E)=c_1(det E) (où det E est la puissance extérieure maximale de E) ; si s est une section de E de lieu des zéros Z, si r est le rang de E et si α est un cycle sur X alors c_r(E) ∩ α est l'image d'un cycle supporté par Z ∩ |α|. Description de A_*(E) et A_*(P(E)). Notion d'intersection avec la section nulle d'un fibré vectoriel E. Classes de cycles sur P(E) dans le cas particulier où X= Spec k : si d est un entier inférieur ou égal à n, le groupe A_d(P^n_k) est libre de rang 1, et admet pour générateur la classe de n'importe quel sous-espace linéaire de P^n_k de dimension d.

  • Les 5 et 6 février. Formule exprimant l'intersection avec la section nulle en termes de classes de Chern (prop. 3.3). Retour sur les éclatements et la notion de transofrmée stricte. Notion de cône sur un schéma, projectivisé P(C) d'un cône C, classe de Segré d'un cône. Cône normal d'un sous-schéma fermé, exemple des immersions régulières. Classe de Segré d'un sous-schéma fermé X ⊂ Y, multiplicité de X lorsque X et Y sont des variétés, diverses formules à propos des classes de Segré (lemme 4.2 et prop. 4.2). Déformation au cône normal et construction du morphisme de spécialisation des classes de cycles (prop. 5.2).

  • Les 12 et 13 février. Construction des produits d'intersections associés à une immersion fermée régulière. Description en termes de classes de Chern et de Segré, compatibilité aux morphismes propres et plats, excès d'intersection, commutation aux classes de Chern de fibrés vectoriels, commutativité, fonctorialité. Pour terminer le cours j'ai expliqué (sans démonstrations) la construction du produit d'intersection sur une variété lisse, et plus généralement la construction d'un produit d'intersection associé à un morphisme d'un k-schéma de type fini quelconque vers un k-schéma lisse ; j'ai attiré l'attention sur la fonctorialité contravariante de l'anneau de Chow par morphisme quelconque entre variétés lisses. J'ai ensuite parlé de la multiplicité d'intersection d'une composante ayant la «bonne» dimension, de sa comparaison avec la longueur de l'anneau local correspondant et du cas d'égalité ; j'ai dit pour l'occasion quelques mots sur les anneaux de Cohen-Macaulay.

Documents divers



Master 1, second semestre : Groupes finis et représentations

La base du cours est ce polycopié. N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez une erreur ! L'essentiel de ce texte devrait être couvert en cours. J'indiquerai précisément après chaque séance ce que j'ai fait, et les passages que j'aurai éventuellement choisi d'omettre.

Modalités pratiques

Le mercredi 21 mars il y aura deux heures de cours de 13h45 à 15h45 à la place du TD. En échange, la séance de cours du vendredi 30 mars est remplacée par un TD.

Il y aura un examen partiel en TD le mercredi 7 mars. Il aura lieu de 13h45 à 15h45 en amphi 25. Programme : chapitres 1 à 5 (pour le chapitre 5, seule est au programme la partie traitée dans ce cours, c'est-à-dire jusqu'à 5.8 inclus).

Déroulement du cours

  • Séance du 19 janvier : je suis allé jusqu'au théorème 1.18 (énoncé et preuve).

  • Séance du 26 janvier : je suis allé jusqu'au paragraphe 2.6.7 inclus ; je n'ai évoqué (1.22.2) que brièvement à l'oral, je vous invite à le lire ; j'ai énoncé le lemme chinois (2.6.6) sous une forme un peu plus générale : si I_1,...,I_r sont des idéaux d'un anneau A (commutif unitaire) et si I_i+I_j=A dès que i est différent de j, alors le morphisme naturel A/(I_1...I_r)--->A/I_1×A/I_2×...×A/I_r est un isomorphisme.

  • Séance du 2 février : je suis allé jusqu'à l'énoncé du théorème 2.20. J'ai prouvé l'existence des d_i, et je montrerai l'unicité la prochaine fois.

  • Séance du 9 février : je suis allé jusqu'à la fin du chapitre 3. Dans 2.20.2 je n'ai pas détaillé la reconstitution des d_i à partir des l(p,m). Au chapitre 3 je n'ai pas défini les G-ensembles (3.4) et ne le ferai pas -- j'ai par contre bien défini les applications équivariantes. Je n'ai pas traité le paragraphe 3.8 -- vous pouvez y jeter un coup d'œil, je pense que je n'en parlerai pas, je ferai directement les raisonnements qu'on y trouve si j'en ai besoin à un moment. Je n'ai pas démontré la formule de Burnside car je ne m'en servirai pas ; je vous incite néanmoins à lire le lemme qui la concerne (3.14) pour votre culture mathématique personnelle. J'ai terminé la séance en démontrant que si un p-groupe agit linéairement sur un Z/pZ-espace vectoriel E de dimension finie > 0 il existe un vecteur v non nul de E qui est invariant sous l'action de G (c'est en fait démontré bien plus tard dans le poly, lemme 9.22).

  • Séance du 16 février : j'ai fait tout le chapitre 4, et ai commencé le chapitre 5. Je suis allé jusqu'à 5.4 inclus, mais n'ai pas encore traité 5.3.2 que je ferai en début de séance suivante.

  • Séance du 23 février : j'ai traité 5.3.2 comme annoncé, puis suis allé jusqu'à 5.7.5 ; je n'ai pas mentionné explicitement 5.8, mais je l'utiliserai sans doute implicitement, donc jetez-y un coup d'œil. Les sections 5.9 à 5.18 du chapitre 5 ne seront pas vues pendant ce cours, et pas supposées connues ; vous pouvez les parcourir pour votre culture mathématique personnelle. J'ai traité l'intégralité du chapitre 6.

  • Séance du 2 mars. J'ai traité le chapitre 7, puis le chapitre 8 jusqu'à 8.12 (j'ai simplement mentionné le résultat de 8.10.8, sans le prouver).

  • Séance du 9 mars. J'ai fini le chapitre 8 et commencé le chapitre 9. Je me suis arrêté au milieu de 9.9.2 (et je n'ai pas parlé du produit et de la somme directe de représentations ; je les mentionnerai au cours prochain).

  • Séance du 16 mars. Je suis allé jusqu'au lemme 9.22. Dans 9.18.3 j'ai omis la preuve concernant l'indécomposabilité. Je n'ai pas traité les exemples 9.14, 9.16 et 9.19, et je ne les traiterai pas. Je vous encourage à les lire pour votre culture mathématique.

  • Séance du 21 mars. Je suis allé jusqu'au corollaire 9.32.4. Je n'ai pas énoncé précisément ni démontré l'unicité du produit tensoriel (le dernier paragraphe «De plus...» de l'énoncé de la proposition 9.29) ; jetez-y un coup d'œil. Je n'ai pas non plus prouvé l'associativité du produit tensoriel (9.30.5) ; je vous conseille avant de lire ce paragraphe d'essayer de l'établir vous-même -- la preuve est du même tonneau que celle de la commutativité, mais est un peu plus lourde.

  • Séance du 23 mars. Je suis allé jusqu'au paragraphe 10.6.

  • Séance du 6 avril. J'ai terminé le polycopié. En plus des exemples qui y sont traités, j'ai construit la table des caractères de A_4.

    Documents divers

    Licence 2, premier semestre : Groupes de permutations et groupes d'isométries

    La base du cours est ce polycopié. N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez une erreur ! Je ne traiterai pas forcément la totalité de ce qui figure dans ce texte ; il est notamment possible que j'omette en cours certaines preuves, voire certains énoncés. Mais j'indiquerai précisément après chaque séance ce que j'ai fait.

    Modalités pratiques

    Il s'agit d'un cours de 12 heures au total, sur 12 semaines. Chaque séance dure donc en principe une heure. En ce qui concerne les étudiants qui suivent mon amphi, le cours aura lieu chaque lundi de 9h30 à 10h30 en amphi A2. Il n'y aura pas cours le lundi 4 décembre ; en compensation, les cours du 27 novembre et du 11 décembre dureront 1h30, de 9h00 à 10h30.
    Il y aura un examen terminal, et une note de contrôle continu. Celle-ci compte pour un quart de la note finale si elle contribue à faire monter la moyenne (sinon, elle est ignorée). Elle sera attribuée par le chargé de TD sur la base de deux interrogations de 45 minutes (pendant le TD) ; l'une aura lieu la semaine du 6 novembre, et l'autre la semaine du 11 décembre.

    Programme pour l'interrogation en TD de la semaine du 6 novembre : chapitres 1, 2 et 3 du polycopié. Programme pour l'interrogation en TD de la semaine du 11 décembre : à voir avec chaque chargé de TD.

    En ce qui concerne mes groupes de TD (5 et 13) : je serai absent le mardi 5 décembre. Le groupe 5 aura son TD le 5 décembre à l'heure et dans la salle habituelles, c'est Rígel Juárez qui me remplacera. Le groupe 5 n'aura pas TD le mardi 5, et aura à la place une séance (avec moi) le vendredi 8 décembre de 10h45 à 12h30 en salle 24-34-301. Programme du contrôle continu du 12 décembre (toujours pour les groupes 5 et 13) : chapitres 1 à 5 du poly.

    Programme de l'examen terminal : l'intégralité du poly à l'exception de 6.20, 6.20.1 et 6.20.2 qui n'ont pas été abordés en cours (vous pouvez y jeter un coup d'œil par curiosité mais ce ne sera pas supposé connu).

    Déroulement du cours

    • Le 11 septembre : je suis allé jusqu'au milieu de 1.4 (définitions de la surjectivité et de l'injectivité, mais je n'ai pas abordé la bijectivité). J'ai donné des exemples d'intersection, de réunion et de complémentaires (alors qu'il n'y en a pas dans le poly) ; je n'ai par contre pas donné d'exemples explicites d'application composée, si vous en voulez un vous pouvez reporter au paragraphe 1.3.3.

    • Le 18 septembre : je suis allé jusqu'au paragraphe 2.7.5 inclus.

    • Le 25 septembre : je suis allé jusqu'au paragraphe 3.4 inclus. Je n'ai pas détaillé toutes les preuves de 2.8.7 (j'ai fait uniquement l'associativité).

    • Le 2 octobre : je suis allé jusqu'au paragraphe 3.9 inclus.

    • Le 9 octobre : je suis allé jusqu'au début de 3.19 (j'ai défini les inversions).

    • Le 16 octobre : je suis allé jusqu'au paragraphe 4.3.1. Je n'ai pas donné l'exemple 4.2.4 ; à la place j'ai montré que l'ensemble des permutations paires est un sous-groupe de S_n. Je n'ai pas détaillé la preuve du deuxième énoncé de 4.2.5 (l'intersection d'une famille de sous-groupes est un sous-groupe).

    • Le 23 octobre : je suis allé jusqu'à 4.7.2 (je n'ai pas donné tous les détails des exemples 4.7.1 et 4.7.2, ni traité 4.5.6 -- les groupes de cardinal premier seront évoqués lors du cours sur l'ordre d'un élément).

    • Le 6 novembre : je suis allé jusqu'à 5.12.2. Je n'ai pas traité en détail l'exemple 5.10.1 (j'en ai parlé un peu oralement).

    • Le 13 novembre : je suis allé jusqu'au théorème 6.5, preuve incluse.

    • Le 27 novembre : je suis allé jusqu'au 6.10.4 inclus (dans 6.10.3 je n'ai pas démontré que h est un morphisme, je l'ai laissé en exercice).

    • Le 11 décembre : je suis allé jusqu'à 6.19.2. Mais j'ai omis 6.12.2 (ainsi que 6.13. (B) et 6.13 (2) qui en dépendent directement) ; et je me suis contenté de mentionner rapidement les résulats de 6.18.4 et 6.18.5, sans preuve.

    Documents divers

    Quelques documents rédigés pour les prépa-agreg de Rennes et Nice .

    Archives des années précédentes