Enseignement (année universitaire 2018-2019)

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Projet de livre sur les courbes analytiques

Albums photos : tourisme mathématique et personnel



Cours dispensés : Groupes de permutations et d'isométries (Sorbonne-Université, L2, premier semestre) ; Algèbre 1 (ENS, première année, premier semestre) ; Théorie de l'intersection (Sorbonne-Université, M2, cours fondamental de niveau 2).

Licence 2 de Sorbonne-Université, premier semestre : Groupes de permutations et groupes d'isométries

La base du cours est ce polycopié. N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez une erreur ! Je ne traiterai pas forcément la totalité de ce qui figure dans ce texte ; il est notamment possible que j'omette en cours certaines preuves, voire certains énoncés. Mais j'indiquerai précisément après chaque séance ce que j'ai fait.

Modalités pratiques

Il s'agit d'un cours de 12 heures au total, sur 12 semaines. Chaque séance dure donc en principe une heure. En ce qui concerne les étudiants qui suivent mon amphi, le cours aura lieu chaque jeudi de 10h45 à 11h45 en amphi B2.

Il y aura un examen terminal, un examen partiel d'une heure le jeudi 8 novembre (je préciserai le programme en temps voulu) et une note de contrôle continu ; celle-ci sera obtenue à partir de deux interrogations de 30 minutes en TD ; la première aura lieu la semaine du 23 octobre, la seconde celle du 4 décembre (à chaque fois le sujet sera fait par le chargé de TD qui vous indiquera suffisamment à l'avance le programme précis).

L'examen terminal est sur 50, le partiel sur 30, le contrôle continu sur 20. À l'aide de l'examen terminal et du partiel on obtient une note sur 80 : on fait la somme des deux si elle est supérieure aux 8/5 de la note de l'examen terminal, et on prend 8/5 de la note de l'examen terminal sinon. À partir de cette note sur 80, on fabrique une note sur 100 en l'additionnant à la note de CC si la somme obtenue est supérieure à 5/4 de la note sur 80, et en prenant 5/4 de la note sur 80 sinon. En clair : le partiel n'est pris en compte que s'il fait augmenter la note obtenue à l'examen terminal ; puis le contrôle continu n'est pris en compte que s'il fait encore augmenter la note. Si on note T la note de l'examen terminal, P celle du partiel et C celle du contrôle continu, la note totale N est donnée par la formule

N=max(C+max(8/5*T, T+P), 5/4*max(8/5*T, T+P)).

Attention : il n'y aura pas cours le jeudi 25 octobre (journée d'orientation), ni le jeudi 1er novembre (vacances). La semaine du 5 novembre est consacrée aux partiels : il n'y aura donc pas de TD, le créneau du cours (jeudi 8 novembre de 10h45 à 11h45) sera utilisé pour l'examen partiel.

En ce qui concerne mon groupe de TD (groupe numéro 2), le premier contrôle aura lieu mardi 23 octobre à 9 heures précises (soyez à l'heure ; si vous arrivez en retard vous aurez moins de temps pour composer). Il durera 30 minutes sans documents ni calculatrices. Programme : tout ce qui a été traité en TD du début jusqu'à l'algorithme de décomposition en produit de cycles à supports deux à deux disjoints, et à ses applications (calcul de la signature, calcul des puissances d'une permutation...)

Le second contrôle aura lieu le mardi 4 décembre à 9h00 précises (là encore, soyez à l'heure !). Il durera 30 minutes sans documents ni calculatrices. Programme : tout ce qui a été vu en cours et en TD depuis le début du semestre jusqu'aux notions de sous-groupe et de morphisme de groupes.

Documents divers

Déroulement du cours

  • Le 6 septembre : je suis allé jusqu'au milieu de 1.3.4 (j'ai défini la surjectivité, l'injectivité et la bijectivité mais n'ai pas encore parlé de bijection réciproque).

  • Le 13 septembre : je suis allé jusqu'à 2.7.5 (iii).

  • Le 20 septembre : je suis allé jusqu'à 3.4.3 ; je ne traiterai pas 3.4.4 (essayez de le faire vous-mêmes sans regarder la solution).

  • Le 27 septembre : je suis allé jusqu'à 3.8.5.

  • Le 4 octobre : je suis allé jusqu'à 3.15.

  • Le 11 octobre : je suis allé jusqu'à la fin de 4.2.

  • Le 18 octobre : je suis allé jusqu'à 4.7.1.

  • Le 15 novembre : je suis allé jusqu'à 5.9, puis j'ai traité 5.15, 5.15.1 et 5.15.2. Je reviendrai sur les paragraphes 5.10--5.14.3 lors de la prochaine séance.

  • Le 22 novembre : J'ai traité comme annoncé les paragraphes 5.10--5.14.3, et ai également traité 5.15.3, 5.16 et 5.17. J'ai ensuite entamé le chapitre 6, je suis allé jusqu'à 6.6.1.

  • Le 29 novembre : Je suis allé jusqu'à 6.8.2.

  • Le 6 décembre : je suis allé jusqu'au début de 6.14 (mais je n'ai pas traité en détail 6.12.2 et ne le ferai pas ; jetez-y un coup d'œil).

  • Le 13 décembre : j'ai fait une séance d'exercices sur les isométries.

    École normale supérieure, première année, premier semestre : Algèbre 1

    Les deux documents de référence sont les suivants : le polycopié d'Ariane Mézard, qui assurait ce cours lors des deux dernières années ; et le polycopié d'un cours de Master 1 que j'ai donné à Jussieu sur les groupes finis et leurs représentations. J'indiquerai ici au fur et à mesure ce qui aura été traité en cours.

    L'examen partiel aura lieu le mercredi 7 novembre de 8h00 à 10h00 en salle Henri Cartan. Programme : tout le cours jusqu'au chapitre sur le produit semi-direct inclus, donc toutes les séances jusqu'à celle du 22 octobre incluse.

    Déroulement du cours

    • Le 24 septembre. Notion de relation (et, incidemment, définition rigoureuse d'une application) ; notion de relation d'équivalence, de classe d'équivalence et de quotient ; propriété universelle du quotient ; existence d'un «quotient» par une relation quelconque, qui est en fait le quotient par la relation d'équivalence qu'elle engendre. (Sur ces questions, on pourra se reporter à la remarque 2.8 du poly d'Ariane Mézard ; il y a aussi une discussion dans mon poly après la proposition 1.21 sur la façon de formuler la propriété universelle, de penser au quotient, etc. mais c'est dans un cadre un peu plus compliqué que celui considéré lors de ce premier cours, qui était purement ensembliste.) J'ai ensuite entamé la théorie des groupes par les définitions et propriétés de base ; essentiellement, tout jusqu'au point 1.3.3 de mon poly.

    • Le 26 septembre. Je suis allé jusqu'à l'énoncé du théorème 1.18 de mon poly.

    • Le 1er octobre : je suis allé jusqu'à la fin du chapitre 1 de mon poly. Je n'ai pas traité 1.26 (je ne pense pas le faire, vous pouvez y jeter un coup d'œil) ; j'ai remplacé l'exemple 1.20.5 par un autre (dans le groupe des permutations de {1,2,3}). J'ai par ailleurs donné les deux exemples suivants d'application de 1.24, où k est un corps fixé ;

      • l'isomorphisme GL_n(k)/SL_n(k)~k^* (pour n>0) ;
      • l'isomorphisme entre PGL_2(k) :=GL_2(k)/{a I_2, a∈ k^*} et le groupe des homographies de la droite projective k ∪ {∞}, c'est-à-dire des permutations de celle-ci données par une fraction rationnelle non constante de la forme (ax+b)/(cx+d).
    • Le 5 octobre : je suis allé jusqu'à 2.12.3 (je n'ai pas encore décrit le sous-groupe engendré par un élément quelconque de Z/nZ comme je le fais en 2.12.2 ; ce sera traité au début du prochain cours).

    • Le 8 octobre : j'ai terminé le chapitre 2 (en ce qui concerne l'unicité dans le théorème de structure des groupes abéliens finis, j'ai donné une autre preuve que celle du polycopié).

    • Le 10 octobre : j'ai fait essentiellement tout le chapitre 3. J'ai brièvement évoqué la notion d'opération à droite d'un groupe sur un ensemble (dans ce cours, les opérations sont par défaut à gauche). Comme exemple d'isomorphisme équivariant entre une orbite et un quotient j'ai mentionné la bijection entre P^n(k) et le quotient de GL_{n+1}(k) par son sous-groupe formé des matrices (a_{ij}) avec a_{i1}=0 pour i>1 (j'ai défini P^{n}(k) comme l'ensemble des droites vectorielles de k^{n+1} et j'ai expliqué le lien avec ma première définition de P^1(k) comme étant égal à k∪ {∞}). Je n'ai pas traité la formule de Burnside (lemme 3.14) et je pense que je ne la traiterai pas -- vous pouvez essayer de la faire en exercice.

    • Le 15 octobre : j'ai démontré que si un p-groupe G agit linéairement sur un espace vectoriel V sur un corps de caractéristique p alors l'espace des vecteurs de V invariants sous G est non nul dès que V est non nul. J'en ai déduit que si V est de dimension finie, il possède une base dans laquelle tout élément de G agit via une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. J'ai entamé le chapitre 4 et suis allé jusqu'à 4.10.2.

    • Le 17 octobre : j'ai terminé le chapitre 4, puis j'ai présenté quelques isomorphismes exceptionnels : celui entre PGL_2(F_2) et S_3 et celui entre PGL_2(F_3) et S_4 ; j'ai mentionné sans preuve l'existence d'un isomorphisme entre PGL_2(F_5) et S_5, et fait remarquer que le plongement de PGL_2(F_5) dans S_6 (par action sur la droite projective P^1(F_5) ) ne peut pas s'identifier à l'un des plongements standard de S_5 dans S_6, puisque PGL_2(F_5) agit sans point fixe sur P^1(F_5). J'ai ensuite entamé le chapitre 5, et suis allé jusqu'à 5.4.

    • Le 22 octobre : j'ai terminé le chapitre 5, en omettant certains passages : dans 5.12.2 je n'ai traité que le cas où le groupe de droite est isomorphe à Z, et pas celui où il est cyclique ; et en ce qui concerne les liens entre produit semi-direct et suites exactes scindées je me suis essentiellement contenté d'énoncé les faits que je récapitule en 5.16, sans donner les justifications qui occupent les paragraphes 5.13 -- 5.15.2. Je n'ai pas parlé de l'exemple 5.18, je l'évoquerai lors de la prochaine séance.

    • Le 24 octobre : j'ai traité l'exemple 5.18 comme annoncé. Puis je suis passé au chapitre 7 sur les théorèmes de Sylow (je traiterai plus tard le chapitre 6 sur les groupes définis par générateurs et relations). J'ai décrit les sous-groupes de Sylow d'un groupe abélien fini, j'ai montré que le groupe U formé des marices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale est un p-Sylow de GL_n(F_p) (et mentionné que le fait que tout p-sous-groupe de GL_n(F_p) se plonge dans un conjugué de U peut aussi se voir comme une conséquence du résultat sur les opérations linéaires d'un p-groupe en caracéristique p traité le 15 octobre, voir le résumé de cette séance). J'ai décrit les sous-groupes de Sylow de S_4.

    • Le 5 novembre : notion de groupe simple ; les groupes abéliens simples sont les Z/pZ avec p premier ; notion de suite de composition (ce que j'appelle «dévissage» dans le chapitre 8 du poly), de suite de Jordan-Hölder ; tout groupe fini possède une suite de Jordan-Hölder. Théorème : si on se donne deux suites de Jordan-Hölder S_1 et S_2 d'un même groupe, chaque groupe simple apparaît (à isomorphisme près) le même nombre de fois comme quotient de S_1 et comme quotient de S_2. J'ai ensuite repris le poly, de 8.7 à 8.10.4.

    • Le 7 novembre : l'examen partiel et son corrigé .

    • Le 12 novembre : fin du chapitre 8 dans le poly. J'ai un peu modifié la présentation des groupes nilpotents : j'ai défini pour un groupe G le groupe Q^n(G) récursivement, par les formules Q^0(G)=G et Q^{n+1}(G)=Q^n(G)/Z(Q^n(G)). J'ai défini Z_n(G) comme le noyau de la surjection de G vers Q^n(G). Et dans la proposition 8.7 j'ai rajouté «Q^n(G)={e}» comme propriété équivalente. Concernant la résolubilité, j'ai mentionné que si G est un groupe résoluble on peut toujours en trouver une suite de composition à quotients abéliens constituée de sous-groupes distingués dans G.

    • Le 14 novembre : j''ai démontré que si k est un corps et n un entier, le sous-groupe de GL_n(k) formé des matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale est nilpotent, et en ai donné une suite de composition centrale. J'ai ensuite utilisé ça pour démontrer que le sous-groupe de GL_n(k) formé des matrices triangulaires supérieures est résoluble, et qu'il possède une suite de composition dont les n premiers quotients sont isomorphes à (k^*,×) et les n(n-1)/2 suivants à (k,+). J'ai alors entamé le chapitre 6 (que je n'avais pas encore abordé) et suis allé jusqu'à 6.10.5.

    • Le 19 novembre : fin du chapitre 6, et début du chapitre 9 jusqu'à 9.3.5. J'ai ensuite fait des rappels sur la dualité : notion d'espace dual, d'orthogonal, de transposée d'une application linéaire ; notion de base duale en dimension finie ; les problèmes se posant en dimension infinie ; je terminerai ces rappels lors de la prochaines séance.

    • Le 21 novembre : fin des rappels sur la dualité (bidualité, isomorphisme entre un espace et son bidual en dimension finie...) ; très brefs rappels sur les projecteurs et lemme 9.4 du poly. Puis début du cours sur les représentations proprement dites, de 9.5 à 9.12.2.

    • Le 26 novembre : je suis allé jusqu'à 9.20.3.

    • Le 28 novembre : je suis allé jusqu'au théorème 9.26. J'ai également défini une suite de Jordan-Hölder dans le contexte des représentations et ai énoncé les propriétés suivantes, dont les preuves sont mutatis mutandis les mêmes que dans le cas des groupes : toute représentation de dimension finie admet une suite de Jordan-Hölder ; si une représentation admet une suite de Jordan-Hölder, c'est aussi le cas de toutes ses sous-représentations et de toutes ses représentations quotient ; et la liste (à isomorphisme et permutation près) des quotients successifs apparaissant dans une suite de Jordan-Hölder S d'une représentation V ne dépend que de V et pas de S (ceci donne directement l'assertion (2) (ii) du théorème 9.26 ; quant à l'assertion (2) (i) je l'ai énoncée et prouvée pour une représentation V s'écrivant comme une somme directe quelconque de représentations irréductibles).

    • Le 3 décembre : j'ai mentionné que si une représentation possède une écriture comme somme directe finie de représentations irréductibles deux à deux non isomorphes, cette écriture est unique à permutation des termes près (c'est la décomposition en composantes isotypiques) ; je suis ensuite allé jusqu'à 9.35.

    • Le 5 décembre : j'ai terminé le chapitre 9 et ai commencé le chapitre 10 ; je suis allé jusqu'au théorème 10.3 et sa preuve (mais j'ai omis 10.2, 10.2.1, 10.2.2 et 10.2.3, j'évoquerai ces points la prochaine fois). J'ai mentionné oralement l'existence d'une construction intrinsèque du déterminant, dans l'esprit de celle de la trace (9.36.3). J'ai rédigé un texte intitulé Algèbres tensorielle, symétrique et extérieure où j'expose en détail cette construction ainsi que quelques autres ; cela ne fait pas partie du cours, je ne l'utiliserai pas et ce ne sera pas au programme de l'examen, mais vous pouvez y jeter un coup d'œil par curiosité (et ça pourra vous servir pour la suite de vos études, car les objets qui y sont décrits se rencontrent très fréquemment en mathématiques).

    • Le 10 décembre : je suis allé jusqu'à 10.6. Puis j'ai présenté la théorie des éléments entiers sur un anneau, dans le contexte suivant : B est un anneau commutatif unitaire, et A un sous-anneau de B ; j'ai donné les caractérisations équivalentes des éléments entiers sur A, et ai montré qu'ils constituaient un sous-anneau de B ; j'ai précisé qu'on parle d'éléments algébriques lorsque A est un corps, et que si c'est le cas et si B est de plus intègre alors les éléments de B algébriques sur A forment un sous-corps de B. À cette occasion, j'ai expliqué pourquoi la validité du théorème de Cayley-Hamilton sur tout corps entraînait sa validité sur tout anneau (via les matrices «génériques»). J'ai défini le sous-corps de C dit des nombres algébriques et son sous-anneau dit des entiers algébriques ; j'ai montré qu'ils étaient stables par conjugaison, et qu'un nombre rationnel est un entier algébrique si et seulement si il est entier.

    • Le 12 décembre : fin de la partie du cours consacrée aux représentations. J'ai démontré le théorème 10.8, puis introduit les tables de caractères et traité les exemples du chapitre 11. Je suis passé un peu vite sur la deuxième partie de 10.9.3 (la preuve des relations d'orthogonalité en colonne ; jetez-y un coup d'œil). J'ai rappelé que la théorie générale assure que le produit tensoriel d'une représentation irréductible par une représentation de dimension 1 reste irréductible, mais on peut aussi le voir (dans le cas des représentations complexes de dimension finie des groupes finis) par la théorie des caractères ; je ne l'ai que brièvement évoqué, c'est expliqué en 10.9.2 (b) dans le poly.

    • Le 17 décembre : début du chapitre sur les formes quadratiques et les groupes orthogonaux.

      • Notion de forme bilinéaire, et de forme bilinéaire symétrique ; interprétations en termes d'application linéaire de l'espace vers son dual.

      • Dans le cas de la dimension finie (qui est désormais l'hypothèse sous laquelle nous nous plaçons systématiquement) : matrice d'une forme bilinéaire, formules de changement de base ; notion de forme bilinéaire non dégénérée.

      • Noyau d'une forme bilinéaire symétrique ; orthogonal d'un sous-espace pour une telle forme ; dimension de l'orthogonal. Cas particuliers : si la forme est non dégnérée et si n désigne la dimension de l'espace ambiant V, la dimension de l'ortogonal d'un sous-espace E de V est égale à n- dim E, et E coïncide avec son double orthogonal. Si on ne suppose plus notre forme non dégénérée, mais si sa restriction à E est non dégénérée alors l'orthogonal de E est un supplémentaire de E dans V. Nous avons donné un exemple d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace V contenant un sous-espace E qui n'est pas en somme directe avec son orthogonal (V était le «plan hyperbolique» et E une droite égale à son propre orthogonal).

      • Notion de forme quadratique. Correspondance entre formes quadratiques et formes bilinéaires symétriques en car. différente de 2. En se plaçant sous cette hypothèse, preuve que si V est un espace de dimension finie muni d'une forme quadratique q, il existe une base de V dans laquelle Mat q est diagonale, ce qui revient à dire que cette base est orthogonale (c'est-à-dire que ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux pour la forme bilinéaire symétrique associée à q). J'ai donné une preuve théorique (par récurrence sur la dimension et utilisation de supplémentaires orthogonaux) et une plus pratique consistant à décrire l'algorithme de Gauß. J'ai insisté sur le fait que ce dernier fournit de manière naturelle la base duale de la base de diagonalisation cherchée ; pour trouver celle-ci, il faut donc transposer puis inverser la matrice donnée par l'algorithme.

    • Le 19 décembre : poursuite du cours sur les formes quadratiques ; on se place toujours sur un corps k de caractéristique différente de 2.

      • Notion de vecteur isotrope, de sous-espace totalement isotrope, isotrope ou anisotrope, de cône isotrope. Exemple du plan hyperbolique. Si V est un k-ev de dimension finie muni d'une forme quadratique non dégénérée q et si (x_1,...,x_r) est une famille libre d'éléments de V engendrant un sous-espace totalement isotrope alors il existe une famille (y_1,...,y_r) d'éléments de V telle que H_i:=(x_i,y_i) soit un plan hyperbolique pour tout i et telle que les H_i soient en somme directe orthogonale.

      • Notion générale d'isométrie entre deux «espaces quadratiques» (un espace quadratique est ici un k-ev de dimension finie muni d'une forme quadratique) et de groupe orthogonal d'un espace quadratique. Dans le cas d'un espace quadratique (V,q) avec q non dégénérée, notion d'adjoint d'un endomorphisme de V, et caractérisation des isométries de (V,q) comme les bijections linéaires dont l'inverse est égal à l'adjoint ; description matricielle de cette propriété. Corollaire : le déterminant d'une isométrie de (V,q) vaut 1 ou -1, notion d'isométrie directe et indirecte, groupe spécial orthogonal.

      • Soit (V,q) un espace quadratique. Pour tout vecteur isotrope x de V, définition de la réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à kx (lorsque q est non dégénérée, c'est un exemple d'isométrie indirecte). Application : si x et y sont deux vecteurs non isotropes de V tels que q(x)=q(y) alors il existe une isométrie u de V telle que u(x)=y.

    • Le 7 janvier : poursuite du cours sur les formes quadratiques ; on se place toujours sur un corps k de caractéristique différente de 2.

      • Rang d'une forme quadratique, discriminant d'une forme quadratique non dégénérée.

      • Théorème de simplification de Witt.

      • Théorèmes généraux de structure : tout espace quadratique est somme directe orthogonale d'un sous-espace non dégénéré dont la classe d'isométrie est uniquement déterminée et d'un sous-espace totalement isotrope. Tout espace quadratique non dégénéré V est somme directe orthogonales de d plans hyperboliques et d'un espace anisotrope W. L'entier d et la classe d'isométrie de W sont uniquement déterminés ; d est la dimension maximale d'un sous-espace totalement isotrope de V.

      • Classification des espaces quadratiques à isométrie près sur un corps quadratiquement clos (par la dimension de l'espace ambiant et le rang de la forme) ainsi que sur R (par la dimension de l'espace ambiant et la signature, que nous avons définie à cette occasion).

    • Le 9 janvier : classification des formes quadratiques non dégénérées sur un corps fini de caractéristique différente de 2, par le rang et le discriminant (après un bref rappel sur les carrés dans un tel corps fini). Description du groupe orthogonal et du groupe spécial orthogonal d'un espace quadratique non dégénéré de dimension 0, 1 et 2 (l'étude de ce dernier cas n'est pas tout à fait terminée ).

    • Le 14 janvier : fin de l'étude du groupe orthogonal en dimension 2. Théorème de Cartan-Dieudonné : toute isométrie d'un espace quadratique non dégénéré V est produit de réflexions. J'ai donné une première preuve facile qui fournit la borne 2 dim V sur le nombre de réflexions, et dim V dans le cas anisotrope ; puis une seconde plus délicate qui fournit la borne dim V même quand la forme est isotrope. J'ai dit ensuite quelques mots des groupes orthogonaux de (V,q) lorsque k=R : j'ai prouvé que dans ce cas le groupe orthogonal est toujours fermé dans GL(V), et qu'il est compact si et seulement si q est anisotrope . J'ai aussi donné la forme normale d'un élément de O(q) lorsque q est définie positive : si u appartient à O(q) alors si dim V=2n, il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de q est diagonale par blocs, avec n blocs qui sont des matrices de rotation (cas direct) et n-1 blocs qui sont des matrices de rotation et un bloc qui est Diag (1,-1) (cas indirect) ; et si dim V=2n+1, il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de q est diagonale par blocs, avec n blocs qui sont des matrices de rotation et un coefficient 1 (cas direct), ou n blocs qui sont des matrices de rotation et un coefficient -1.

    • Le 16 janvier : examen terminal, dont voici le sujet et son corrigé.


    Master 2 de Sorbonne-Université, cours fondamental de niveau 2 : Théorie de l'intersection

    Le cours suivra pour l'essentiel le livre Intersection theory de William Fulton. L'objectif est de traiter au minimum l'essentiel des chapitres 1 à 6 (qui établissent les fondements de la théorie de l'intersection, jusqu'à la construction du produit de deux classes de cycles sur une variété propre et lisse). J'indiquerai ici au fur et à mesure ce qui aura été traité en cours.

    Ce cours supposera connues les bases de la théorie des schémas. Références possibles : Algebraic geometry de R. Hartshorne, Algebraic Geometry and arithmetic curves de Liu, ou bien cette version un peu étoffée de mon polycopié de cours de M2 de géométrie algébrique. Mais on peut aussi bien entendu se référer directement aux EGA ou au Stacks Project (qui est dans le même esprit, mais spécifiquement conçu pour le web et donc plus convivial).

    Déroulement du cours

    • Les 7 et 8 janvier. Notions de base d'algèbre commutative : modules artiniens et noethériens ; dimension des anneaux locaux noethériens, anneaux locaux noethériens réguliers, Hauptidealsatz, idéaux premiers associés à un module de type fini, conditions équivalentes caractérisant les modules artiniens, notion de longueur (références : n'importe quel traité de base en algèbre commutative, comme le livre de Matsumura ; vous pouvez aussi consulter le chapitre 10 de Stacks Project). Puis j'ai introduit et étudié la fonction A(M,φ) introduite au chapitre A.2 du Fulton -- les résultats à retenir sont les lemmes A.2.7, A.2.8 et A.3. J'ai ensuite défini les diviseurs de Cartier, les diviseurs de Cartier effectifs (et leur description comme sous-schémas fermés), le groupe de Picard, les sections inversibles, régulières et rationnelles d'un fibré en droites ; j'ai expliqué comment associer un diviseur de Cartier (resp. un diviseur de Cartier effectif) à une section rationelle inversible (resp. à une section régulière) d'un fibré en droites.

    • Les 14 et 15 janvier. Groupes de cycles d'un k-schéma de type fini, cas particuliers des diviseurs de Weil. Cycle d'un sous-schéma fermé, diviseur de Weil associé à un diviseur de Cartier. Équivalence rationnelle sur les cycles. Liens entre principalité d'un diviseur de Cartier D, trivialité du fibré en droites associé O(D), et nullité du diviseur de Weil [D] modulo l'équivalence rationnelle (les deux premières propriétés sont équivalentes, impliquent la troisième et lui sont équivalentes si le schéma ambiant est normal). Calcul explicite du groupe des zéro-cycles de la droite projective, modulo équivalence rationnelle. Image directe d'un cycle par un morphisme propre, compatibilité à l'équivalence rationnelle. Description de l'équivalence rationnelle à l'aide de sous-variétés du produit de la variété ambiante par la droite projective (prop. 1.6). Image inverse d'un cycle par un morphisme plat (de dimension relative constante), «commutation» des images directes et inverses dans le cas d'un diagramme cartésien avec une flèche propre et une flèche plate (prop. 1.7 ).

    • Les 21 et 22 janvier. Compatibilité de l'image inverse des cycles à l'équivalence rationnelle. Notion de pseudo-diviseur. Intersection d'un pseudo-diviseur avec une classe de cycle, propriétés de base (prop. 2.3). Commutativité de l'intersection quand elle met en jeu deux diviseurs de Cartier (th. 2.4), avec au passage quelques brefs rappels sur les éclatements. Première classe de Chern d'un fibré en droites. Suite exacte des classes de cycles associée une immersion fermée et à l'immersion ouverte complémentaire. Fibrés vectoriels et projectifs.

    • Les 28 et 29 janvier. Classes de Segré puis classes de Chern d'un fibré vectoriel. Multiplicativité du polynôme de Chern, formule explicite pour celui-ci dans le cas scindé, polynôme annulateur de c_1(O(1)) sur le fibré P(E). Si E est un fibré vectoriel, c_1(E)=c_1(det E) (où det E est la puissance extérieure maximale de E) ; si s est une section de E de lieu des zéros Z, si r est le rang de E et si α est un cycle sur X alors c_r(E) ∩ α est l'image d'un cycle supporté par Z ∩ |α|. Description de A_*(E) et A_*(P(E)). Notion d'intersection avec la section nulle d'un fibré vectoriel E. Classes de cycles sur P(E) dans le cas particulier où X= Spec k : si d est un entier inférieur ou égal à n, le groupe A_d(P^n_k) est libre de rang 1, et admet pour générateur la classe de n'importe quel sous-espace linéaire de P^n_k de dimension d.

    • Les 4 et 5 février. Formule exprimant l'intersection avec la section nulle en termes de classes de Chern (prop. 3.3). Retour sur les éclatements et la notion de transformée stricte. Notion de cône sur un schéma, projectivisé P(C) d'un cône C, classe de Segré d'un cône. Cône normal d'un sous-schéma fermé, exemple des immersions régulières. Classe de Segré d'un sous-schéma fermé X ⊂ Y, multiplicité de X lorsque X et Y sont des variétés, diverses formules à propos des classes de Segré (lemme 4.2 et prop. 4.2). Déformation au cône normal.

    Documents divers




    Quelques documents rédigés pour les prépa-agreg de Rennes et Nice .

    Archives des années précédentes