Enseignement (année universitaire 2025-2026)
J'interviens en préparation à l'agrégation de mathématiques (leçons, développements, écrits et oraux blancs), j'assure le cours d'algèbre du premier semestre de L3
(UE 3M270) et les cours de Théorie analytique des nombres et Introduction aux catégories en M1 au second semestre.
Licence
3 de Sorbonne-Université, premier semestre : Algèbre
Ma référence sera ce
polycopié. Il couvre un contenu bien plus important que celui de ce cours, et nous ne devrions en traiter essentiellement que les chapitres
1,2,3,4,5 et 7, pas nécessairement dans cet ordre. J'indiquerai précisément sur cette page après chaque séance les parties du poly que j'aurai abordées.
Examens
Il y aura deux contrôles continus réalisés pendant les séances de TD. Le premier aura lieu la semaine du 13 octobre, le second la semaine du 1er décembre. La séance précise concernée par le CC vous sera indiquée par le chargé de TD.
Pour le premier CC vous pourrez a priori être interrogé sur tout ce qui aura fait l'objet d'exercices en TD jusqu'au vendredi 3 octobre inclus, mais votre chargé de TD pourra éventuellement modifier ce programme à la baisse s'il juge que certains points n'ont pas été suffisamment travaillés en séance.
L'examen partiel aura lieu le 3 novembre, à l'heure habituelle du cours (13h45). L'épreuve durera 1h30 (et donc 2h00 pour les élèves bénéficiant d'un tiers-temps), sans documents.
Modifications d'emploi du temps
Il n'y aura pas cours les lundis 6 octobre et 17 novembre ; deux séances de rattrapage seront organisées.
La première séance de rattrapage aura lieu le vendredi 12 septembre de 8h30 à 10h30 en amphi 44.
La seconde séance de rattrapage aura lieu le jeudi 27 novembre de 16h00 à 18h00 (le lieu sera précisé ultérieurement).
Déroulement du
cours
Le 8 septembre : j'ai commencé par le chapitre 2 (j'aborderai une partie du chapitre 1 plus tard), que j'ai essentiellement traité jusqu'à 2.5.4.
J'ai également énoncé et démontré le lemme 3.4.2, au moment où je donnais différents exemples de sous-groupes. Je n’ai pas parlé de groupe produit (exemple 2.1.11), je le ferai sans doute plus tard à l’occasion dans le cours.
Le 12 septembre : j'ai poursuivi le chapitre 2, jusqu'au théorème 2.10.2 que j'ai énoncé et démontré (pour la construction de la loi sur G/H, j'ai utilisé le produit de deux parties de G ; je fais autrement dans le poly, et je vous incite à en regarder la preuve pour avoir deux points de vue
sur la question). J'ai laissé en exercice l'assertion du lemme 2.10. 1 relative au caractère abélien. J'ai fait une assez longue digression sur les relations
d'équivalence, en traitant essentiellement les paragraphes de 1.3 à 1.3.8; vous pouvez regarder le reste du chapitre 1 par curiosité si vous le souhaitez, mais ce n'est pas indispensable.
Le 15 septembre : j'ai terminé le chapitre 2. Je n'ai pas mentionné 2.10.8 (je le ferai sûrement à l'occasion), et concernant 2.10.9 j'ai donné un autre contre-exemple (le sous-groupe de S_{1,2,3} constitué de l'identité et de la permutation qui échange 1 et 2) ; je n'ai pas mentionné 2.10.10, mais vous pouvez
le regarder, c'est facile et je le signalerai en cours si j'en ai besoin. J'ai montré la proposition 2.11.2 directement sans passer par le lemme 2.11.1 (dont n'aurai pas besoin, mais vous pouvez le lire). Par ailleurs l'un d'entre-vous m'a fait remarquer que je n'ai pas énoncé en amphi
la caractérisation de l'injectivité par le noyau (2.4.3), c'est un oubli fâcheux que je réparerai lundi prochain.
Je n'ai pas traité les exemples de 2.15. Vous pouvez les regarder pour votre culture mathématique personnelle, mais je ne les utiliserai pas.
Le 22 septembre : je suis allé jusqu'à 3.7.4. Je n'ai pas parlé du sous-groupe de Z/nZ engendré par la classe d'un entier quelconque (ne divisant pas n), je le ferai au début de la prochaine séance. Concernant l'arithmétique je n'ai pas évoqué
le corollaire 3.4.7 (regardez-le à l'occasion) et j'ai énoncé sans démonstration le théorème 3.4.8 (existence et unicité de la décomposition en produits de facteurs premiers). Vous pouvez à titre d'exercice essayer de faire la preuve sans regarder le poly. Je n'ai pas montré le lemme 3.4.10 mais seulement
sa version plus faible assurant que PPCM(a,b)=ab si a et b sont premiers entre eux (elle me suffira).
Le 29 septembre. J'ai terminé le chapitre 3, à ceci près que dans le théorème de structure des groupes abéliens finis je n'ai montré que l'existence, je traiterai l'unicité la prochaine fois.
Documents divers, annales d'examens
Examen partiel du 23 octobre 2023 : le sujet et son
corrigé.
Examen terminal du 8 janvier 2024 : le sujet et son
corrigé.
Examen partiel du 21 octobre 2024 : le sujet et
son corrigé.
Examen terminal du 8 janvier 2025: le sujet et
son corrigé.
La
feuille
de TD numéro 1.
La
feuille
de TD numéro 2.
La
feuille
de TD numéro 3.
Archives : divers
documents pédagogiques
Le
polycopié de mes cours de M2 de géométrie algébrique donnés en 2019-2020, 2020-2021 et 2021-2022.
Un texte sur les torseurs, qui est un «complément culturel» de géométrie algébrique. Ce texte utilise plusieurs définitions et résultats de l'exercice 1
de l'examen de 2020 du cours Les outils de la géométrie algébrique (sujet, corrigé).
Le
polycopié d'un cours de L2 sur les groupes de permutation et d'isométries donné
en 2016-2017, 2017-2018 et 2018-2019.
Le polycopié d'un cours de géométrie affine de L3 donné à l'Université Pierre-et-Marie Curie
en 2011-2012.
Un texte sur l'utilisation des matrices échelonnées (rédigé pour le cours de L3 évoqué juste au-dessus).
Transvections
et groupe des commutateurs de GL_n(k) (prépa-agreg, Nice).
Construction
des polynômes cyclotomiques (prépa-agreg, Nice).
La
décomposition polaire (prépa-agreg, Nice).
La
simplicité de A_n pour n au moins égal à 5 : traduction de
la preuve de Jacobson dans Les
sous-groupes distingués de S_n pour n au moins égal à 5 (prépa-agreg, Nice).
Dénombrement
des parenthésages de n termes (prépa-agreg, Nice).
Irréductibilité
du polynôme déterminant (en n^2 variables X_ij) (prépa-agreg, Nice).
Discriminant
et loi de réciprocité quadratique (prépa-agreg, Nice).
J'ai commencé le chapitre 3. Je me suis arrêté à 3.3.1 (mais j'ai fait aussi la remarque 3.4.1, juste après avoir introduit les idéaux). Je n'ai pas mentionné 3.15, ni 3.1.6 ni 3.2.3 ; vous pouvez éventuellement y jeter un coup d'œil.