Enseignement (année universitaire 2020-2021)

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Projet de livre sur les courbes analytiques

Albums photos : tourisme mathématique et personnel



Cours dispensés : Les outils de la géométrie algébrique (Sorbonne-Université, M2, cours introductif ) ; Introduction à la théorie des schémas I (Sorbonne-Université, M2, cours fondamental niveau 1) ; Algèbre 1 (ENS, première année, premier semestre).


Master 2 de Sorbonne-Université, cours introductif : Les outils de la géométrie algébrique

En raison des dernières restrictions instaurées pour faire face à la crise sanitaire, les séances des 7, 8, 14 et 15 octobre auront lieu en télé-enseignement. Les détails pratiques vous seront envoyés par mail.

Ce cours se fondera sur ce polycopié, et plus précisément sur ses trois premiers chapitres. N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez une erreur ! Je ne traiterai pas forcément la totalité de ce qui figure dans ce texte, mais j'indiquerai précisément après chaque séance ce que j'ai fait.

L'examen aura lieu en présentiel le mardi 27 octobre de 9h00 à 12h00 en salles 15-16 101 et 15-25 102. Au programme : tout ce qui a été traité en cours, c'est-à-dire essentiellement les 3 premiers chapitres du poly, à l'exception de 2.6 et de la plus grande partie de 2.9.

Sujets d'examens posés en 2012, 2013, 2014 et 2019.



Déroulement du cours

  • Le 9 septembre : je suis allé jusqu'à la fin de 1.3. Je n'ai mentionné qu'oralement l'exemple 1.3.12.3, sans entrer dans les détails. J'ai donné deux exemples d'isomorphismes de catégories qui ne figurent pas dans le poly : l'isomorphisme (induit par le foncteur d'oubli) entre la catégorie des F_p-espaces vectoriels et celle des groupes abéliens de p-torsion, et celui (là encore induit par le foncteur d'oubli) entre la catégories des Q-espaces vectoriels et celle des groupes abéliens uniquement divisibles.

  • Le 10 septembre : je suis allé jusqu'à 1.5.8.2. Je n'ai pas traité et ne traiterai pas l'exemple 1.4.8.4 ni le court paragraphe 1.5.9 (vous pouvez jeter un coup d'œil aux deux).

  • Le 16 septembre : je suis allé jusqu'au début de 2.1.3.4 (j'ai construit S^-1A mais pas vérifié qu'il représente F). Je n'ai pas décrit le produit amalgamé de groupes en détail, c'est fait dans 1.5.13.3 sous certaines hypothèses (lisez-le éventuellement par curiosité). En ce qui concerne les exemples d'adjonction (1.6.4 et sq), je n'ai traité que 1.6.4.2 et 1.6.4.5 ; regardez les autres à l'occasion. Au sujet des limites et colimites, je n'ai pas traité 1.7.9 (c'est très formel, jetez-y un coup d'œil si vous le souhaitez) ; et je n'ai décrit que très brièvement et à l'oral les colimites dans la catégorie des groupes (1.7.10.5).

  • Le 17 septembre : je suis allé jusqu'à la fin de 2.3. Je n'ai pas traité 2.1.7 ni 2.1.8.2 ; je ne m'en servirai pas mais ce peut être intéressant de les lire, en essayant par exemple de faire les preuves vous-même avant de les regarder.

  • Le 23 septembre : je suis allé jusqu'à 2.7.5.1. Je n'ai pas traité 2.5.5.4 en détail (je l'ai simplement mentionné oralement) ; je n'ai pas évoqué les «objets classiques revisités»  (2.4.18 et sq.), jetez-y un coup d'œil -- vous pouvez aussi si ça vous intéresse regarder dans le polycopié de mon cours d'Algèbre 1 (plus bas sur cette page) la section 10.8 où est entre autre proposée une construction intrinsèque du déterminant à l'aide de la notion d'algèbre extérieure, elle-même fondée sur le produit tensoriel (tout y est fait sur un corps mais se transpose facilement aux modules libres de rang fini sur un anneau quelconque). Je n'ai pas démontré le lemme 2.4.4.2 (essayez de le faire par vous-même en exercice) ; je n'ai pas non plus traité 2.4.12, qui en fait contient implicitement l'associativité du produit tensoriel ; j'ai directement établi celle-ci en montrant que M⊗(N⊗L) et (M⊗N)⊗L représentent tous deux le foncteur des applications trilinéaires de source M×N×L.

  • Le 24 septembre : j'ai traité 2.5.7.2 et 2.5.7.3, mais pas 2.5.7.4 que que j'aborderai éventuellement plus tard si j'en ai besoin ; je n'ai pas traité la section 2.6 sur les modules projectifs (et je ne l'aborderai pas dans ce cours). J'ai traité 2.7, à l'exception de ce qui a trait aux colimites générales dans la catégorie des anneaux (de 2.7.9 à 2.10.3) ; vous pouvez le lire par curiosité. J'ai traité 2.8 jusqu'à 2.8.10.2 ; je n'ai pas évoqué les lemmes 2.8.9. et 2.8.12, que j'énoncerai et prouverai lors de la prochaine séance. Je n'ai pas abordé (et n'aborderai pas) l'algèbre de scindage universelle (de 2.8.13 à la fin de 2.8), ni les rappels sur les extensions algébriques (de 2.9.1 à 2.9.10), mais j'utiliserai parfois ces derniers (notamment l'existence d'une clôture algébrique et son unicité à isomorphisme près) ; vous pouvez donc par curiosité jeter un coup d'œil à ce qui est fait de 2.8.13 à 2.9.10, d'autant que même si vous connaissez déjà les résultats qui y sont évoqués, les preuves qu'on y donne sont sans doute nouvelles pour vous car on y exploite à fond le produit tensoriel. J'ai ensuite très brièvement présenté la théorie du degré de transcendance (2.9.11 à 2.9.18) mais sans donner tous les énoncés ni les preuves, qui reposent sur la brève étude des relations de dépendance abstraites faite en 0.4 (que je vous conseille de lire).

  • Le 30 septembre : je suis allé jusqu'à 2.10.6 (j'ai commencé par les lemmes 2.8.9 et 2.8.12, comme annoncé).

  • Le 1er octobre : je suis allé jusqu'à 3.1.12. À la fin du chapitre 2, j'ai remarqué que si k est un corps, si A est une k-algèbre de type fini non nulle et si (t_1,...,t_n) sont des éléments algébriquement indépendants sur k tels que A soit entière sur k[t_1,...,t_n] (l'existence d'une telle famille (t_1,....,t_n) est assurée par le lemme de normalisation de Noether) alors la dimension de Krull de A est égale à n.

  • Le 7 octobre : je suis allé jusqu'à 3.2.4.2 (sans mentionner 3.2.4.1). Je n'ai pas évoqué 3.1.33.5 ni 3.1.33.6 (je mentionnerai sans doute ces points au moment où j'en aurai besoin en cours). Je n'ai pas démontré que l'exactitude d'une suite de faisceaux en groupes se teste fibre à fibre (3.1.28.1). J'ai donné une preuve de 3.1.22.3 différente de celle du poly (et que je n'ai qu'esquissée).

  • Le 8 octobre : je suis allé jusqu'à 3.2.27 ; je n'ai pas traité 3.2.21--3.2.23, je le ferai brièvement lors du prochain cours.

  • Le 14 octobre : je suis allé jusqu'à 3.8.3.2.

  • Le 15 octobre : j'ai terminé le chapitre 3. Nous avons fait ensuite quelques exercices, dont le lemme 2.6.2.1, le corollaire 2.6.2.3 et le lemme 2.6.2.4 du poly (qui sont dans la partie 2.6 non traitée en cours), dans le cas particulier où (S_i) est la famille des A-p pour p parcourant Spec A.

  • Le 27 octobre : examen terminal. Le sujet et son corrigé. En lien avec ce sujet, ce texte sur les torseurs, que vous pouvez lire par pure curiosité mathématique (je ne m'en servirai pas lors du cours sur les schémas).




      Master 2 de Sorbonne-Université, cours fondamental de niveau 1 : Introduction à la théorie des schémas I



      En raison des dernières restrictions instaurées pour faire face à la crise sanitaire, le cours aura lieu en télé-enseignement. Les informations nécessaires vous seront communiquées par mail.

      Modalités pratiques : le cours initialement prévu le mardi est remplacé par un cours le lundi de 16h00 à 18h00. Les séances du vendredi seront consacrées aux TD.

      Ce cours se fondera sur le même polycopié que le précédent, mais nous y traiterons ses trois derniers chapitres.

      Sujets d'examens posés en 2012, 2013, 2014 et 2019.

      Travaux dirigés



      Déroulement du cours

      • Le 2 novembre : je suis allé jusqu'à 4.1.25.3.

      • Le 5 novembre : je suis allé jusqu'à 4.3.9.2. Je n'ai évoqué que vaguement 4.2.12 et sq., et n'ai pas explicité l'exemple évoqué en 4.2.12.1 ; regardez-le à l'occasion.

      • Le 9 novembre : je suis allé jusqu'à 5.1.13.

      • Le 12 novembre : je suis allé jusqu'à 5.2.9.1. Je n'ai fait qu'évoquer le processus de recollement décrit en détail en 5.2.8.3 ; lisez ce paragraphe.

      • Le 16 novembre : je suis allé jusqu'à 5.3.8.1.

      • Le 19 novembre : je suis allé jusqu'à 5.4.11.12.

      • Le 23 novembre : je suis allé jusqu'à la proposition 5.5.3 (que j'ai énoncée, mais pas encore démontrée). J'ai donné une version trop restrictive de la proposition 5.5.1 (dans l'énoncé présenté en cours, je supposais indûment X affine, alors que ce n'est pas nécessaire -- et d'ailleurs je n'ai pas utilisé cette hypothèse dans la preuve).

      • Le 26 novembre : j'ai terminé le chapitre 5.

      • Le 30 novembre : je suis allé jusqu'à 6.1.17.3.

      • Le 7 décembre : je suis allé jusqu'à 6.4.12.3, mais en passant un peu rapidement sur certains passages : je n'ai pas parlé de 6.3.17 (lisez-le), j'ai mentionné mais sans vraiment le justifiier ce qui est expliqué en 6.4.5 et sq. ; je n'ai pas donné beaucoup de détails concernant la preuve de la proposition 6.4.7 (j'ai décrit la construction par cocycles, sans vérifiez qu'elle donnait bien la bijection réciproque de l'application considérée), et je me suis contenté de l'énoncé des propositions 6.4.10 et 6.4.12. Essayez de regarder au moins une fois une de ces preuves en détail ; c'est fasitidieux, mais ça montre comment manipuler sur le plan calculatoire un faisceau tordu par un cocyle.

      • Le 10 décembre : j'ai terminé le poly.

      • Le 6 janvier : examen terminal. Le sujet et son corrigé.




      École normale supérieure, première année, premier semestre : Algèbre 1

      En raison des dernières restrictions instaurées pour faire face à la crise sanitaire, le cours aura lieu en télé-enseignement à compter du 2 novembre. Les informations nécessaires figurent sur Moodle.

      Il n'y aura pas de cours les 16 et 18 novembre (semaine libérée pour les DM).

      Programme de l'examen : l'intégralité du cours à l'exclusion des chapitres 13 et 14 du poly.

      Ce cours se fondera sur ce polycopié. Si vous repérez des erreurs, merci de me le signaler !


      Déroulement du cours

      • Le 21 septembre : je suis allé jusqu’à 2.1.3. Je n’ai pas donné tous les détails de 1.4 et sq. En particulier je n’ai pas donné la description concrète de la relation d’équivalence engendrée par S (1.4.2 ; je vous conseille de la lire).

      • Le 23 septembre : je suis allé jusqu’à la définiton 2.9.3 ; j'ai omis de mentionner les exemples triviaux évoqués en 2.8.4 (je le ferai sans doute à la prochaine séance).

      • Le 28 septembre : je suis allé jusqu’au début de 2.15.2 ; je n’ai pas donné le contre-exemple 2.10.9 que je n’ai mentionné qu’oralement ; à la place, j’ai donné comme exemple le sous-groupe du groupe des bijections de {1,2,3} dans lui-même engendré par la bijection qui échange 1 et 2 et fixe 3 ; je n’ai pas mentionné 2.10.10 et le ferai brièvement lors de la prochaine séance.

      • Le 30 septembre : je suis allé jusqu’à 3.5.8. Concernant la remarque 3.5.3, j’ai donné un autre exemple que celui figurant dans le poly, à savoir les bijections σ et τ de Z données par les formules respectives σ(x)=-x et τ(x)=1-x.

      • Le 5 octobre : je suis allé jusqu'au théorème 3.9.4. Je l'ai énoncé et ai démontré l'existence des d_i ; je montrerai l'unicité à la prochaine séance.

      • Le 7 octobre : j'ai terminé la preuve du théorème 3.9.4, sans détailler complètement la façon dont on reconstruit les d_i à partir des ℓ(p,m) (c'est fait dans le poly ; jetez-y un coup d'œil si l'algorithme ne vous semble pas évident). J'ai ensuite commencé le chapitre 4 et suis allé jusqu'à l'exemple 4.3.12. J'ai omis 4.3.4.1 et 4.3.4.2 (ce sont des remarques que je pourrai faire en cours si j'en ai besoin un jour) et l'exemple 4.3.10 (je ne pense pas le mentionner explicitement, vous pouvez le regarder).

      • Le 12 octobre : je suis allé jusqu'à l'énoncé de la proposition 5.3.2. ; je ne l'ai pas encore prouvée (je le ferai lors du prochain cours) mais j'ai déjà fait les remarques 5.3.3.1 et 5.3.3.2. En ce qui concerne les actions de groupes, je n'ai pas fait et ne ferai pas la formule de Burnside (lemme 4.4.4) ; vous pouvez y jeter un œil ou essayer de la démontrer en exercice, c'est un résultat utile que vous aurez peut-être l'occasion d'utiliser en TD (mais qui ne nous servira pas dans le cours proprement dit).

      • Le 14 octobre : je suis allé jusqu'au début de 6.2.2 (j'ai donné la construction du produit semi-direct externe mais pas encore fait tous les commentaires qui suivent). Concernant les isomorphismes exceptionnels à la fin du chapitre 5, j'ai mentionné 5.5.3 et 5.5.4 mais pas 5.5.5 ni la remarque 5.5.6 ; vous pouvez les lire par curiosité.

      • Le 19 octobre : je suis allé jusqu'à l'énoncé de 6.4.8, mais sans encore détailler les différentes bijections construites (de 6.4.1 à 6.4.7) ; j'ai par contre démontré qu'un groupe Γ est comme dans le lemme 6.4.2 si et seulement si p induit un isomorphisme entre Γ et K. Je n'ai pas parlé de 6.3.8.1 et 6.3.8.2 (je le ferai peut-être la prochaine fois) ni de l'interprétation géométrique du groupe diédral (6.2.9) que je n'ai évoquée qu'oralement -- j'ai par contre décrit le groupe des isométries de C comme le produit semi-direct du groupe U des nombres complexes de module 1 par {1-,1}, où -1 agit par inversion sur U.

      • Le 21 octobre : je suis allé jusqu'à 7.3.1, et j'ai traité en plus le cas des sous-groupe de Sylow de S_3. Je n'ai pas parlé de 7.2.6 que j'évoquerai en cours si besoin, et je n'ai pas donné le détail des démonstrations menant à l'énoncé 6.4.8 (lisez-les ou essayez de les faire vous-mêmes). Je suis revenu sur 6.8.3.1 que je n'avais pas traité lors du cours précédent, par contre je n'ai pas parlé de 6.3.8.2 et n'en parlerai pas (regardez-le à l'occasion) ; j'ai mentionné le fait qu'une suite exacte d'espaces vectoriels (avec applications linéaires) est toujours scindée. En ce qui concerne l'exemple 6.4.11, il est écrit dans le formalisme des espaces affines que vous ne connaissez peut-être pas (si cela vous intéresse, voir ce polycopié) ; je l'ai présenté en cours sous une forme un peu différente utilisant uniquement le langage des espaces vectoriels.

      • Le 2 novembre : je suis allé jusqu'au théorème 8.2.4. Dans la preuve de ce dernier, je n'ai traité en détail que le premier cas parmi les quatre que l'on distingue à la fin de la démonstration (il s'agit du cas où H n'est isomorphe à aucun des deux autres groupes en jeu ; que ces deux derniers soient ou non isomorphes n'a en fait aucune importance contrairement à ce que laise croire la rédaction du poly) ; pour les trois autres, essayez de les traiter par vous-mêmes avant de regarder la solution !

      • Le 4 novembre : je suis allé jusqu'à 8.5.7. Je n'ai mentionné 8.4.6 qu'oralement.

      • Le 9 novembre : je suis allé jusqu'à 9.1.7.2.

      • Le 11 novembre : je suis allé jusqu'à 10.4.8.2 (je n'ai donnée la matrice de la k-linéarisée que pour une bijection de X dans lui-même, auquel cas c'est une matrice de permutation stricto sensu, mais la formule générale donnée dans le poly est exactement la même). Je n'ai évoqué 10.4.5 qu'oralement, et n'ai pas mentionné du tout 10.4.6 (jetez-y un œil). J'ai évoqué une propriété du groupe libre qui ne figure pas dans le poly : le cardinal de X peut se retrouver en termes des propriétés intrinsèques du groupe F(X) : si A désigne l'abélianisé de F(X), noté additivement, alors le cardinal de X est la dimension du F_2-espace vectoriel A/X. J'ai signalé que tout sous-groupe de F(X) est libre, mais avec un ensemble de générateurs qui peut être de cardinal strictement plus grand que celui de X (ainsi si X est fini de cardinal au moins 2, le groupe [F(X),F(X)] est libre sur un ensemble dénombrable).

      • Les 16 et 18 novembre : pas de cours, c'était la semaine du devoir à la maison.

      • Le 23 novembre : je suis allé jusqu'à la proposition 10.6.17 (je n'ai pas évoqué la remarque 10.6.18 ; lisez-là à l'occasion).

      • Le 25 novembre : je suis allé jusqu'à la définition 11.1.1. La section 10.8 n'a pas été traitée, ne le sera pas et son contenu ne sera pas exigible à l'examen. Elle est à lire si vous le souhaitez pour votre culture mathématique personnelle ; on y introduit différentes constructions reposant sur le produit tensoriel et qui sont très utilisées en mathématiques, de l'algèbre à la géométrie différentielle ; on y donne notamment une définition intrinsèque du déterminant d'un endomorphisme (sans référence à une base).

      • Le 30 novembre : je suis allé jusqu'à 11.4.5, avec quelques omissions : 11.4.2 et 11.4.3 seront traitées au cours suivant ; je n'ai pas mentionné 11.4.6 et 11.4.7 (et je ne le ferai sans doute pas ; jetez-y un coup d'œil à l'occasion).

      • Le 2 décembre : j'ai traité 11.4.2 et 11.4.3, puis je suis allé jusqu'à 11.65.8.2. J'ai simplement omis 1.5.10 (c'est une remarque facile ; je la ferai en cours lorsque j'en aurai besoin).

      • Le 9 décembre : je suis allé jusqu'au lemme 11.8.1. Je n'ai pas traité les exemples 11.6.10.2 et 11.6.10.3 ; regardez-les à l'occasion.

      • Le 14 décembre : je suis allé jusqu'à 12.4.5.2 ; je n'ai pas traité 12.4.5.3, vous pouvez le faire à titre d'exercice.

      • Le 16 décembre : je suis allé jusqu'à 13.3.1.

      • Le 4 janvier : je suis allé jusqu'à 13.4.1, ai sauté 13.4.2 et 13.4.3 que je traiterai à la prochaine séance, ai fait 13.4.7 et 13.4.8, ai sauté 13.4.9--13.4.12 que je traiterai également à la prochaine séance, et j'ai fait 13.4.13, 13.4.13.1 et 13.4.13.2.

      • Le 6 janvier : j'ai traité les points évoqués précédemment, puis suis allé jusqu'au lemme 13.5.5, en omettant le lemme 13.5.4 que je ferai à la prochaine séance.

      • Le 11 janvier : je suis allé jusqu'au corollaire 14.3.3 ; je n'ai pas fait la remarque 13.5.11, lisez-la à l'occasion.

      • Le 18 janvier : fin du cours. Je suis allé jusqu'à la remarque 14.7.9 ; j'ai sauté la section 14.4 sur les «parties anisotropes».


      Sujets d'examens posés les deux années précédentes.