Enseignement (année universitaire 2018-2019)

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Projet de livre sur les courbes analytiques

Albums photos : tourisme mathématique et personnel



Cours dispensés : Groupes de permutations et d'isométries (Sorbonne-Université, L2, premier semestre) ; Algèbre 1 (ENS, première année, premier semestre) ; Théorie de l'intersection (Sorbonne-Université, M2, cours fondamental de niveau 2).

Licence 2 de Sorbonne-Université, premier semestre : Groupes de permutations et groupes d'isométries

La base du cours est ce polycopié. N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez une erreur ! Je ne traiterai pas forcément la totalité de ce qui figure dans ce texte ; il est notamment possible que j'omette en cours certaines preuves, voire certains énoncés. Mais j'indiquerai précisément après chaque séance ce que j'ai fait.

Modalités pratiques

Il s'agit d'un cours de 12 heures au total, sur 12 semaines. Chaque séance dure donc en principe une heure. En ce qui concerne les étudiants qui suivent mon amphi, le cours aura lieu chaque jeudi de 10h45 à 11h45 en amphi B2.

Il y aura un examen terminal, un examen partiel d'une heure le jeudi 8 novembre (je préciserai le programme en temps voulu) et une note de contrôle continu ; celle-ci sera obtenue à partir de deux interrogations de 30 minutes en TD ; la première aura lieu la semaine du 23 octobre, la seconde celle du 4 décembre (à chaque fois le sujet sera fait par le chargé de TD qui vous indiquera suffisamment à l'avance le programme précis).

L'examen terminal est sur 50, le partiel sur 30, le contrôle continu sur 20. À l'aide de l'examen terminal et du partiel on obtient une note sur 80 : on fait la somme des deux si elle est supérieure aux 8/5 de la note de l'examen terminal, et on prend 8/5 de la note de l'examen terminal sinon. À partir de cette note sur 80, on fabrique une note sur 100 en l'additionnant à la note de CC si la somme obtenue est supérieure à 5/4 de la note sur 80, et en prenant 5/4 de la note sur 80 sinon. En clair : le partiel n'est pris en compte que s'il fait augmenter la note obtenue à l'examen terminal ; puis le contrôle continu n'est pris en compte que s'il fait encore augmenter la note. Si on note T la note de l'examen terminal, P celle du partiel et C celle du contrôle continu, la note totale N est donnée par la formule

N=max(C+max(8/5*T, T+P), 5/4*max(8/5*T, T+P)).

Attention : il n'y aura pas cours le jeudi 25 octobre (journée d'orientation), ni le jeudi 1er novembre (vacances). La semaine du 5 novembre est consacrée aux partiels : il n'y aura donc pas de TD, le créneau du cours (jeudi 8 novembre de 10h45 à 11h45) sera utilisé pour l'examen partiel.

En ce qui concerne mon groupe de TD (groupe numéro 2), le premier contrôle aura lieu mardi 23 octobre à 9 heures précises (soyez à l'heure ; si vous arrivez en retard vous aurez moins de temps pour composer). Il durera 30 minutes sans documents ni calculatrices. Programme : tout ce qui a été traité en TD du début jusqu'à l'algorithme de décomposition en produit de cycles à supports deux à deux disjoints, et à ses applications (calcul de la signature, calcul des puissances d'une permutation...)

Documents divers

Déroulement du cours

  • Le 6 septembre : je suis allé jusqu'au milieu de 1.3.4 (j'ai défini la surjectivité, l'injectivité et la bijectivité mais n'ai pas encore parlé de bijection réciproque).

  • Le 13 septembre : je suis allé jusqu'à 2.7.5 (iii).

  • Le 20 septembre : je suis allé jusqu'à 3.4.3 ; je ne traiterai pas 3.4.4 (essayez de le faire vous-mêmes sans regarder la solution).

  • Le 27 septembre : je suis allé jusqu'à 3.8.5.

  • Le 4 octobre : je suis allé jusqu'à 3.15.

  • Le 11 octobre : je suis allé jusqu'à la fin de 4.2.

  • Le 18 octobre : je suis allé jusqu'à 4.7.1.

  • Le 15 novembre : je suis allé jusqu'à 5.9, puis j'ai traité 5.15, 5.15.1 et 5.15.2. Je reviendrai sur les paragraphes 5.10--5.14.3 lors de la prochaine séance.



École normale supérieure, première année, premier semestre : Algèbre 1

Les deux documents de référence sont les suivants : le polycopié d'Ariane Mézard, qui assurait ce cours lors des deux dernières années ; et le polycopié d'un cours de Master 1 que j'ai donné à Jussieu sur les groupes finis et leurs représentations. J'indiquerai ici au fur et à mesure ce qui aura été traité en cours.

L'examen partiel aura lieu le mercredi 7 novembre de 8h00 à 10h00 en salle Henri Cartan. Programme : tout le cours jusqu'au chapitre sur le produit semi-direct inclus, donc toutes les séances jusqu'à celle du 22 octobre incluse.

Déroulement du cours

  • Le 24 septembre. Notion de relation (et, incidemment, définition rigoureuse d'une application) ; notion de relation d'équivalence, de classe d'équivalence et de quotient ; propriété universelle du quotient ; existence d'un «quotient» par une relation quelconque, qui est en fait le quotient par la relation d'équivalence qu'elle engendre. (Sur ces questions, on pourra se reporter à la remarque 2.8 du poly d'Ariane Mézard ; il y a aussi une discussion dans mon poly après la proposition 1.21 sur la façon de formuler la propriété universelle, de penser au quotient, etc. mais c'est dans un cadre un peu plus compliqué que celui considéré lors de ce premier cours, qui était purement ensembliste.) J'ai ensuite entamé la théorie des groupes par les définitions et propriétés de base ; essentiellement, tout jusqu'au point 1.3.3 de mon poly.

  • Le 26 septembre. Je suis allé jusqu'à l'énoncé du théorème 1.18 de mon poly.

  • Le 1er octobre : je suis allé jusqu'à la fin du chapitre 1 de mon poly. Je n'ai pas traité 1.26 (je ne pense pas le faire, vous pouvez y jeter un coup d'œil) ; j'ai remplacé l'exemple 1.20.5 par un autre (dans le groupe des permutations de {1,2,3}). J'ai par ailleurs donné les deux exemples suivants d'application de 1.24, où k est un corps fixé ;

    • l'isomorphisme GL_n(k)/SL_n(k)~k^* (pour n>0) ;
    • l'isomorphisme entre PGL_2(k) :=GL_2(k)/{a I_2, a∈ k^*} et le groupe des homographies de la droite projective k ∪ {∞}, c'est-à-dire des permutations de celle-ci données par une fraction rationnelle non constante de la forme (ax+b)/(cx+d).
  • Le 5 octobre : je suis allé jusqu'à 2.12.3 (je n'ai pas encore décrit le sous-groupe engendré par un élément quelconque de Z/nZ comme je le fais en 2.12.2 ; ce sera traité au début du prochain cours).

  • Le 8 octobre : j'ai terminé le chapitre 2 (en ce qui concerne l'unicité dans le théorème de structure des groupes abéliens finis, j'ai donné une autre preuve que celle du polycopié).

  • Le 10 octobre : j'ai fait essentiellement tout le chapitre 3. J'ai brièvement évoqué la notion d'opération à droite d'un groupe sur un ensemble (dans ce cours, les opérations sont par défaut à gauche). Comme exemple d'isomorphisme équivariant entre une orbite et un quotient j'ai mentionné la bijection entre P^n(k) et le quotient de GL_{n+1}(k) par son sous-groupe formé des matrices (a_{ij}) avec a_{i1}=0 pour i>1 (j'ai défini P^{n}(k) comme l'ensemble des droites vectorielles de k^{n+1} et j'ai expliqué le lien avec ma première définition de P^1(k) comme étant égal à k∪ {∞}). Je n'ai pas traité la formule de Burnside (lemme 3.14) et je pense que je ne la traiterai pas -- vous pouvez essayer de la faire en exercice.

  • Le 15 octobre : j'ai démontré que si un p-groupe G agit linéairement sur un espace vectoriel V sur un corps de caractéristique p alors l'espace des vecteurs de V invariants sous G est non nul dès que V est non nul. J'en ai déduit que si V est de dimension finie, il possède une base dans laquelle tout élément de G agit via une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. J'ai entamé le chapitre 4 et suis allé jusqu'à 4.10.2.

  • Le 17 octobre : j'ai terminé le chapitre 4, puis j'ai présenté quelques isomorphismes exceptionnels : celui entre PGL_2(F_2) et S_3 et celui entre PGL_2(F_3) et S_4 ; j'ai mentionné sans preuve l'existence d'un isomorphisme entre PGL_2(F_5) et S_5, et fait remarquer que le plongement de PGL_2(F_5) dans S_6 (par action sur la droite projective P^1(F_5) ) ne peut pas s'identifier à l'un des plongements standard de S_5 dans S_6, puisque PGL_2(F_5) agit sans point fixe sur P^1(F_5). J'ai ensuite entamé le chapitre 5, et suis allé jusqu'à 5.4.

  • Le 22 octobre : j'ai terminé le chapitre 5, en omettant certains passages : dans 5.12.2 je n'ai traité que le cas où le groupe de droite est isomorphe à Z, et pas celui où il est cyclique ; et en ce qui concerne les liens entre produit semi-direct et suites exactes scindées je me suis essentiellement contenté d'énoncé les faits que je récapitule en 5.16, sans donner les justifications qui occupent les paragraphes 5.13 -- 5.15.2. Je n'ai pas parlé de l'exemple 5.18, je l'évoquerai lors de la prochaine séance.

  • Le 24 octobre : j'ai traité l'exemple 5.18 comme annoncé. Puis je suis passé au chapitre 7 sur les théorèmes de Sylow (je traiterai plus tard le chapitre 6 sur les groupes définis par générateurs et relations). J'ai décrit les sous-groupes de Sylow d'un groupe abélien fini, j'ai montré que le groupe U formé des marices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale est un p-Sylow de GL_n(F_p) (et mentionné que le fait que tout p-sous-groupe de GL_n(F_p) se plonge dans un conjugué de U peut aussi se voir comme une conséquence du résultat sur les opérations linéaires d'un p-groupe en caracéristique p traité le 15 octobre, voir le résumé de cette séance). J'ai décrit les sous-groupes de Sylow de S_4.

  • Le 5 novembre : notion de groupe simple ; les groupes abéliens simples sont les Z/pZ avec p premier ; notion de suite de composition (ce que j'appelle «dévissage» dans le chapitre 8 du poly), de suite de Jordan-Hölder ; tout groupe fini possède une suite de Jordan-Hölder. Théorème : si on se donne deux suites de Jordan-Hölder S_1 et S_2 d'un même groupe, chaque groupe simple apparaît (à isomorphisme près) le même nombre de fois comme quotient de S_1 et comme quotient de S_2. J'ai ensuite repris le poly, de 8.7 à 8.10.4.

  • Le 7 novembre : l'examen partiel et son corrigé .

  • Le 12 novembre : fin du chapitre 8 dans le poly. J'ai un peu modifié la présentation des groupes nilpotents : j'ai défini pour un groupe G le groupe Q^n(G) récursivement, par les formules Q^0(G)=G et Q^{n+1}(G)=Q^n(G)/Z(Q^n(G)). J'ai défini Z_n(G) comme le noyau de la surjection de G vers Q^n(G). Et dans la proposition 8.7 j'ai rajouté «Q^n(G)={e}» comme propriété équivalente. Concernant la résolubilité, j'ai mentionné que si G est un groupe résoluble on peut toujours en trouver une suite de composition à quotients abéliens constituée de sous-groupes distingués dans G.

  • Le 14 novembre : j''ai démontré que si k est un corps et n un entier, le sous-groupe de GL_n(k) formé des matrices triangualires supérieures avec des 1 sur la diagonale est nilpotent, et en ai donné une suite de composition centrale. J'ai ensuite utilisé ça pour démontrer que le sous-groupe de GL_n(k) formé des matrices triangulaires supérieures est résoluble, et qu'il possède une suite de composition dont les n premiers quotients sont isomorphes à (k^*,×) et les n(n-1)/2 suivants à (k,+). J'ai alors entamé le chapitre 6 (que je n'avais pas encore abordé) et suis allé jusqu'à 6.10.5.

  • Le 19 novembre : fin du chapitre 6, et début du chapitre 9 jusqu'à 9.3.5. J'ai ensuite fait des rappels sur la dualité : notion d'espace dual, d'orthogonal, de transposée d'une application linéaire ; notion de base duale en dimension finie ; les problèmes se posant en dimension infinie ; je terminerai ces rappels lors de la prochaines séance.



Master 2 de Sorbonne-Université, cours fondamental de niveau 2 : Théorie de l'intersection

Le cours suivra pour l'essentiel le livre Intersection theory de William Fulton. L'objectif est de traiter au minimum l'essentiel des chapitres 1 à 6 (qui établissent les fondements de la théorie de l'intersection, jusqu'à la construction du produit de deux classes de cycles sur une variété propre et lisse). J'indiquerai ici au fur et à mesure ce qui aura été traité en cours.

Ce cours supposera connues les bases de la théorie des schémas. Références possibles : Algebra geometry de R. Hartshorne, Algebraic Geometry and arithmetic curves de Liu, ou bien cette version un peu étoffée de mon polycopié de cours de M2 de géométrie algébrique. Mais on peut aussi bien entendu se référer directement aux EGA ou au Stacks Project (qui est dans le même esprit, mais spécifiquement conçu pour le web et donc plus convivial).




Quelques documents rédigés pour les prépa-agreg de Rennes et Nice .

Archives des années précédentes