Vendredi 8 juin 2018

10h 30 Robert Roussarie (Dijon) :

Forme normale et transition

Résumé:

L’existence de formes normales Cpour les champs de vecteurs, au voisinage de points partiellement hyperboliques, permet d’obtenir sans calculs excessifs la forme de la transition au voisinage de ces points. Par exemple, en utilisant une forme normale C, il est très facile d’établir que la transition au voisinage d’un point de selle hyperbolique de trace nulle, pour un champ de vecteurs Cde dimension 2, est de la forme suivante : xx (1+xlnx·φ(x,xlnx) ),où φ est une fonction C. On peut établir des formules similaires pour les transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques plus généraux.
J’illustrerai mon exposé à l’aide des familles particulières de champs de vecteurs que sont les systèmes lents-rapides en dimension 2. Les points singuliers obtenus dans la désingularisation d’un point de contact d’un tel système sont tous partiellement hyperbol- iques. En consèquence, la transition au voisinage d’un point de contact se présente comme composition de transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques, points pour lesquels on a des formules de transition simplesévoquées plus haut. On peut en déduire une formule simple pour la transition au voisinage de certains points de contact. Cette formule permet de calculer la borne supérieure du nombre de cycles limites bifurquant de certains cycles canard du système lent-rapide.