Vendredi 16 septembre 2016

Attention : nouvel horaire.

10h30
François Gay-Balmaz
A variational Lagrangian formulation for nonequilibrium thermodynamic

Résumé: we present a Lagrangian variational formulation for nonequilibrium thermodynamics. This formulation extends the Hamilton principle of classical mechanics to include irreversible processes in both discrete and continuum systems. The irreversibility is encoded into a nonlinear nonholonomic constraint given by the expression of entropy production associated to the irreversible processes involved. The introduction of the concept of thermodynamic displacement allows the definition of a corresponding variational constraint. We also present the geometric structures underlying nonequilibrium thermodynamics. We illustrate our theory with both finite and infinite dimensional examples, including mechanical systems with friction, chemical reactions, electric circuits, and reacting fluids.

vendredi 23 septembre 2016

10h30 Charles-Michel Marle
Les travaux de Jean-Marie Souriau en mécanique statistique et en thermodynamique.

Résumé: Dans cet exposé je présenterai les travaux de Jean-Marie Souriau en mécanique statistique et en thermodynamique, exposés dans le chapitre IV de son livre ”Structure des systèmes dynamiques” paru en 1969 [1] et dans plusieurs publications un peu plus récentes [2, 3, 4].
Suivant les idées de Ludwig Boltzmann (1844-1906), Jean-Marie Souriau introduit la notion d’état statistique d’un système mécanique (lagrangien ou hamiltonien) et définit son entropie (qui, au signe près, est la fonction Êta in-troduite par Boltzmann dans sa théorie cinétique des gaz, et qui est à rapprocher aussi de l’entropie de Shannon utilisée en théorie du signal). Un état de Gibbs est un état statistique qui réalise, sur l’ensemble des états statistiques d'énergie fixée, un extremum de l’entropie. Les propriétés de convexité de l’entropie permettent de montrer que cet extremum est en fait un maximum strict. Pour les physiciens, un état de Gibbs est un état d'équilibre thermodynamique. Je présenterai quelques exemples de calcul d'états de Gibbs, pour des systèmes mécaniques représentant un gaz parfait monoatomique ou polyatomique, classique ou relativiste, un solide, un gaz de particules de masse nulle. L’accord des prévisions faites au moyen de la mécanique statistique classique avec les résultats expérimentaux est correct pour les gaz parfaits, pas très bon pour la chaleur spécifique des solides (on retrouve bien la loi de Dulong et Petit, mais celle-ci n’est en accord avec les résultats expérimentaux qu’`a haute température) et franchement mauvais pour un gaz de particules de masse nulle (malgré toutes les tentatives d’ajustement la loi de distribution de l’impulsion des particules n’est pas en accord avec la loi du rayonnement du corps noir découverte par Planck, qui elle est en très bon accord avec les résultats expérimentaux). Ces écarts sont considérés par les physiciens comme mettant en évidence la nécessité de traiter ces systèmes dans le cadre de la mécanique quantique (qui fait l’objet du chapitre V du livre de Souriau [1]).
Je présenterai pour terminer la généralisation, proposée par Souriau, de la notion d’état de Gibbs, dans laquelle le groupe de Lie abélien, de dimension 1, des translations temporelles est remplacé par un groupe de Lie de dimension quelconque, pas nécessairement abélien, agissant sur l’espace des phases (ou sur l’espace des mouvements) du système par une action hamiltonienne. On doit alors remplacer l’énergie (qui est le hamiltonien de l’évolution temporelle) par le moment de l’action hamiltonienne du groupe, `a valeurs dans le dual de son algèbre de Lie. La ”température généralisée” devient un élément de l’algèbre de Lie du groupe. Pour certains groupes ayant un intérˆet physique, comme par exemple le groupe de Galilée, il n’existe pas d’état de Gibbs généralisés, et on doit se contenter de rechercher des états de Gibbs généralisés pour des sous-groupes plutôt que pour le groupe entier. On peut ainsi traiter certains systèmes ayant une interprétation physique, par exemple un gaz dans un champ de pesanteur uniforme ou dans une centrifugeuse, classique ou relativiste. On peut cependant traiter aussi ces systèmes directement, sans avoir recours `a la notion d’état de Gibbs généralisé, et on obtient ainsi les mêmes résultats.
  • [1]  Souriau, J.-M. Structure des systèmes dynamiques, Dunod, Paris, 1969.
  • [2]  Souriau, J.-M. Mécanique statistique, groupes de Lie et cosmologie, Col- loques internationaux du CNRS numéro 237, Géométrie symplectique et physique mathématique, 1974, pp. 59–113.
  • [3]  Souriau, J.-M. Géométrie symplectique et Physique mathématique, Deux conférences de Jean-Marie Souriau, Colloquium de la Société Mathématique de France, 19 février et 12 novembre 1975.
  • [4]  Souriau, J.-M. Mécanique classique et Géométrie symplectique, preprint, Université de Provence et Centre de Physique Théorique, 1984.


Vendredi 30 septembre 2016

10h30 Hugo Jimenez Perez
Applications symplectiques et formes Liouvilliennes

Résumé: dans cette exposé on parlera d’une technique pour construire des applications symplectiques par la déformation de la forme canonique de Liouville. On utilise les variétés symplectiques spéciales de Tulczyjew comme base pour ce développement. Les applications symplectiques obtenues correspondent aux transformations de Cayley des matrices Hamiltoniennes. Elles nous permettent de définir une méthode numérique implicite `a un pas qui généralise les méthodes symplectiques d’Euler, vers un espace continu `a n(2n + 1) paramètres.

Dans la deuxième partie on parlera de la fonction obtenue `a partir du produit intérieur de la forme Liouvillienne avec le champ de vecteurs Hamiltonien. Cette fonction donne les variations du Hamiltonien le long du champ de Liouville (duale symplectique de la forme Liouvillienne) et elle fait partie de l’action élémentaire. Si cette fonction est constante le long des solutions du champ Hamiltonien le principe de moindre action de Hamilton est automatiquement satisfait. Dans ce cas, on dit que la forme Liouvillienne et le champs de vecteurs Hamiltonien forment une paire de Hamilton-Liouville.